INSTRUMENTY POCHODNE Opcje delta hedging wycena przy cigej

INSTRUMENTY POCHODNE Opcje – delta hedging, wycena przy ciągłej kapitalizacji odsetek, zależność wyceny od ceny akcji, stopy procentowej, ceny realizacji wartość wewnętrzna, wartość czasowa, call-put parity Kontrakty – forward: charakterystyka, ustalenie ceny wykonania, wartość kontraktu; futures: charakterystyka, rozliczenie, rodzaje zabezpieczeń (długie, krótkie)

Terminy: the money in the money, out of the money, at Opcja kupna Opcja sprzedaży in the money Cena instrumentu bazowego jest wyższa od ceny wykonania. Cena instrumentu bazowego jest niższa od ceny wykonania. out of the money Cena instrumentu bazowego jest niższa od ceny wykonania. Cena instrumentu bazowego jest wyższa od ceny wykonania. at the money Cena instrumentu bazowego jest zbliżona lub równa cenie wykonania

UWAGI O DELCIE delta hedging W analizie jednookresowego modelu wyceny opcji ustaliliśmy liczbę akcji przypadającej na jedną opcję w pozycji krótkiej Jest on jednocześnie proporcją liczby akcji do liczby opcji (w pozycji krótkiej) dla portfela całkowicie zabezpieczonego (hedge ratio). W modelu wielookresowym delta może być różna w każdym węźle siatki zmienności ceny akcji (zatem dla każdego etapu, dla każdej sytuacji) Jeżeli w każdym momencie portfel akcji i opcji ma być całkowicie zabezpieczony, należy modyfikować jego skład w zależności od scenariusza zmiany ceny akcji.

Wzory na wycenę opcji przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek § W modelu jednookresowym § W modelu wielookresowym

Wartość wewnętrzna i wartość czasowa Wartość wewnętrzna opcji jest to różnica między ceną instrumentu bazowego, a ceną wykonania w przypadku opcji kupna, natomiast w przypadku opcji sprzedaży wartość wewnętrzna jest równa różnicy między ceną wykonania, a ceną instrumentu bazowego (funkcja wypłaty opcji). Wartość czasowa (zewnętrzna) opcji jest to różnica między ceną opcji (premią), a jej wartością wewnętrzną jeśli różnica ta jest nieujemna, w przeciwnym razie wartość czasowa jest równa zeru.

Zależność między premią (ceną opcji) a ceną instrumentu bazowego oraz wartością wewnętrzną opcji gdzie TV- ( time value ) wartość czasowa IV – (intristic value) wartość wewnętrzna

Cena opcji (różowy), wartość wewnętrzna opcji (żółty) w zależności od ceny akcji. Oś OX cena akcji (zadanie z arkusza 12)

Wykresy zależności ceny opcji od ceny akcji dla różnych wartości stóp procentowych. Wartość wewnętrzna opcji - kolor różowy. Oś OX - cena akcji (zadanie z arkusza 12)

Zależność ceny opcji od ceny realizacji K (zad. z arkusza 12)

Kontrakty forward Kontraktem terminowym typu forward jest umowa między dwoma podmiotami, dotycząca dostawy określonej ilości towaru (waloru) w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie (jedna strona zobowiązuje się do sprzedania towaru zaś druga do kupienia)

Typowe instrumenty bazowe dla kontraktów forward § § Metale Surowce energetyczne Stopy procentowe Kursy wymiany walut

Elementy kontraktu forward § § § Cena jednostkowa Ilość towaru Jakość Miejsce dostawy Data rozliczenia

Po co zawierane są kontrakty ? § Zabezpieczenie przed ryzykiem § § wzrostu cen surowców (kontrakty towarowe) spadku cen surowców (kontrakty towarowe) § Zabezpieczenie przed wahaniami kursów walutowych (kontrakty na kursy walutowe) § Zabezpieczenie przed wzrostem kosztu kredytu (kontrakty na stopę procentową) § Osiągnięcie zysku § Osłona innych inwestycji

Kto zawiera kontrakty (handluje kontraktami) ? § Producenci metali bądź surowców energetycznych § Odbiorcy metali lub surowców § Importerzy , eksporterzy § Inwestorzy § Spekulanci § Arbitrażysci

Charakterystyka kontraktów forward § Obrót pozagiełdowy (brak wartości giełdowej) § Warunki negocjowane między stronami kontraktu § Brak standaryzacji § Ceny nie są podawane do publicznej wiadomości § Strony kontraktu znają się nawzajem § Brak ograniczeń czasowych na handel kontraktami § Możliwe trudności w zamknięciu pozycji § Dostawa fizyczna towaru będącego przedmiotem kontraktu § Każda ze stron ponosi ryzyko niewywiązania się z kontraktu drugiej strony

Dwie strony kontraktu forward Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji odpowiadających stronom w kontrakcie, w zależności od roli, jaką mają w umowie § Pozycję długą („nabycie kontraktu” – w konsekwencji kupno towaru będącego przedmiotem transakcji) § Pozycję krótką („wystawienie kontraktu” w konsekwencji sprzedaż towaru będącego przedmiotem transakcji)

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Rozważmy w chwili t = 0 kontrakt forward na walor, którego przechowanie nic nie kosztuje oraz nie przynosi do chwili t = T żadnych dochodów. Cena fair kontraktu K 0, T, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek, rocznej nominalnej stopie procentowej r jest dana wzorem K 0, T= S 0 er. T Termin realizacji T - wyrażony jest w latach, S 0 – cena waloru w chwili t = 0

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie (z punktu widzenia właściciela waloru będącego przedmiotem kontraktu) § Podmiot posiadający walor (sprzedający) może w chwili t = 0 sprzedać walor za cenę S 0 i uzyskany przychód zdeponować – uzyskując w chwili t = T kwotę S 0 er. T

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie (z punktu widzenia osoby nie posiadającej waloru, ani środków na jego nabycie) § Przypuśćmy, że K 0, T > S 0 er. T w chwili t=0 należy: pożyczyć w banku kwotę S 0 zakupić walor na rynku za S 0 zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną K 0, T w chwili t = T należy: Zrealizować kontrakt z ceną K 0, T Zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S 0 er. T Różnica K 0, T - S 0 er. T jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Określenie ceny wykonania kontraktu terminowego Uzasadnienie (z punktu widzenia osoby nie posiadającej waloru, ani środków na jego nabycie) § Przypuśćmy, że K 0, T < S 0 er. T w chwili t = 0 należy: pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S 0 (krótka sprzedaż waloru) kwotę S 0 zdeponować w banku zawrzeć kontrakt kupna z ceną K 0, T w chwili t = T należy: Wycofać z banku depozyt w kwocie S 0 er. T Zrealizować kontrakt kupna z ceną K 0, T Oddać walor zamykając krótką sprzedaż Różnica S 0 er. T - K 0, T jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Wartość kontraktu terminowego kupna Kontrakt terminowy może być przedmiotem obrotu, zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T]. Przyjmuje się że wartość kontraktu kupna w chwili t = 0 to V 0 = S 0 - e-r. T K 0, T, zaś w chwili t: Vt = St - e-r(T-t) K 0, T Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży § Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania. § Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to § Vt = e-r(T-t) K 0, T - St

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S 0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: a) w chwili T: S(T) < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K-S(T) opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K-S(T), zatem - nie uwzględniając kosztów transakcji – przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S(T) > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Wniosek 2. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem te wartości muszą być także równe w chwili początkowej, czyli C 0 = P 0 + V gdzie C 0 , P 0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, V - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C 0 =P 0 + S 0 - e-r. T K 0, T

cena wykonania kontraktu forward przy dodatkowych przepływach finansowych § Rozważmy kontrakt kupna na taki walor, którego posiadanie generuje dodatkowe przepływy (dodatnie np. dywidenda lub ujemne np. koszty magazynowania) § K 0, T = [S 0 – (CF 1 exp(-r t 1) +…+ CFn exp(-r tn) )] er. T gdzie CF 1, …, CFn przepływy występujące w chwilach t 1, …, tn należących do przedziału (0; T)

Kontrakty futures Kontraktem typu futures jest umowa między dwoma podmiotami dotycząca dostawy określonej ilości towaru lub określonych aktywów w ustalonej chwili w przyszłości po ustalonej cenie. Kontrakt ma szczegółową specyfikację i jest przedmiotem obrotu giełdowego.

Futures / towarowe instrumenty bazowe § § Metale szlachetne i strategiczne Surowce energetyczne: ropa naftowa, paliwa, gaz Rośliny oleiste: ziarna, nasiona, włókna Artykuły spożywcze: cukier kawa, kakao

Futures / finansowe instrumenty bazowe § § § Stopy procentowe Kursy wymiany walut Ceny obligacji Indeksy akcji Indeksy giełdowe

Futures/ Standaryzacja kontraktów towarowych § § § Ustalony standard jakości Ustalona ilość towaru przypadająca na jeden kontrakt Określenie daty i miejsca dostawy Ustalony system rozliczenia kontraktu Cena kontraktu ustalana jest na parkiecie giełdowym Kontrakty forwards i futures na towary mają wiele podobieństw, różnice występują w § możliwościach obrotu kontraktami, § warunkach dostaw § metodach rozliczenia § dystrybucji ryzyka inwestycyjnego

Futures/ Charakterystyka kontraktów § Obrót giełdowy (istnieje cena giełdowa kontraktu) § Specyfikacje kontraktów są standaryzowane i publicznie znane § Ceny są podawane do publicznej wiadomości § Uczestnicy rynku są anonimowi § Godziny obrotu są określone § Pozycje łatwe do zamknięcia § Brak konieczności dostawy fizycznej towaru § Od każdej strony pobierany jest depozyt zabezpieczający przez instytucję rozliczającą kontrakt § Bieżąca kompensacja zobowiązań i należności w wyniku wahań cen kontraktu § Każda ze stron jest zabezpieczona przed ryzykiem niedotrzymania kontraktu przez drugą stronę

Rozliczenie kontraktu futures § W przypadku kontraktów terminowych notowanych na warszawskiej giełdzie regulowanie zobowiązań następuje wyłącznie w formie rozliczenia pieniężnego, mimo że kupno lub sprzedaż kontraktu oznacza zobowiązanie do dostawy lub odbioru instrumentu bazowego

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20 § Wartość kontraktu to: § kurs kontraktu*10 zł , § czyli 24 700 zł, przy poziomie kursu 2470 pt. § Inwestor zajmujący pozycję na kontrakcie wnosi wstępny depozyt zabezpieczający § ( wysokość jest ustalona przez Kraj. Dep. Pap. Wart. ) § Niech wielkość depozytu wynosi - 8 % wart. kontraktu z poprz. zamknięcia, czyli 1976 zł przy kursie 2470 pt § Jeżeli kurs kontraktu wzrośnie o 1% czyli wyniesie 2494, 7 to zysk inwestora zajmującego długą pozycję wyniesie 2494, 7*10 zł - 2470* 10 zł =247 zł. § Zysk procentowy wyniesie (247/1976)*100% = 12, 5% Do depozytu dopisana jest kwota 247 zł.

Rozliczenie kontraktu futures na indeks giełdowy WIG 20 § Jeżeli kurs kontraktu spadnie o 1%, to kwota straty inwestora wyniesie 247 zł. § Strata procentowa wyniesie 12, 5%. § Od depozytu odjęta jest kwota 247 zł. Aktualny depozyt wynosi 1729 zł , co stanowi 7, 07 % aktualnej wartości kontraktu § Jeżeli depozyt po dziennym rozliczeniu jest mniejszy niż tzw. właściwy depozyt zabezpieczający, czyli 5, 8 % wartości kontraktu, to inwestor musi go uzupełnić § Zyski i straty inwestora zajmującego krótką pozycję są odwrotne do zajmującego pozycję długą

Rodzaje ryzyka inwestowania w kontrakty terminowe § Ryzyko rynkowe – zmiany kursów potęgowane są przez efekt dźwigni finansowej (małe wahania kursów powodują duże procentowe zmiany wartości kontraktów) § Ryzyko płynności – niska aktywność innych graczy może utrudniać zamknięcie pozycji, zwłaszcza kontraktów o odległym terminie wygaśnięcia § Ryzyko makroekonomiczne – dotyczy kontraktów na waluty i wiąże się z wpływem polityki monetarnej na kształtowanie się kursów wymiany walut

Dwie strony kontraktu futures § Każdy inwestor może otworzyć jedną z dwóch pozycji na kontrakcie § Pozycję długą (kupić kontrakt) § Pozycję krótką (sprzedać kontrakt) Pozycję można § Utrzymać do dnia wygaśnięcia (po czym następuje rozliczenie ) § Zamknąć wycofując się z rynku, (sprzedać jeśli kupił, kupić jeśli wcześniej sprzedał)

Futures /Uczestnicy rynku Producenci i odbiorcy metali, surowców energetycznych, roślin oleistych, artykułów spożywczych Importerzy , eksporterzy Inwestorzy , zabezpieczający swoje pozycje na rynku kasowym - zajęcie równej co do wartości lecz przeciwnej w stosunku do pozycji na rynku kasowym (poz. długa na rynku kasowym (akcje) + krótka pozycja na kontrakcie na indeks) Spekulanci (wykorzystanie lewara finansowego) Zajęcie długiej pozycji w kontrakcie – przy przewidywanym wzroście jego ceny Zajęcie krótkiej pozycji w kontrakcie – przy przewidywanym spadku jego ceny Arbitrażyści Kupno i sprzedaż kontraktów wykorzystujące różnice cenowe między poszczególnymi rynkami lub giełdami

Futures / ZABEZPIECZENIE KRÓTKIE Portfel: długa pozycja w akcjach + krótka pozycja na kontraktach Współrzędne portfela=(n 1, n 2, …, nk, -m 1, -m 2, …, -ml), ni liczba akcji i-tej spółki, mi – liczba kontraktów i-tego rodzaju Wartość portfela= suma iloczynów współrzędnych portfela i cen akcji lub wartości kontraktów Scenariusz 1: ceny akcji rosną Akcje przynoszą zysk, kontrakty - stratę Scenariusz 2: ceny akcji spadają Akcje przynoszą stratę, kontrakty - zysk

Futures / ZABEZPIECZENIE DŁUGIE Portfel: krótka pozycja w akcjach (tzn. sprzedaż akcji) + długa pozycja na kontraktach Współrzędne portfela=(-n 1, -n 2, …, -nk, m 1, m 2, …, ml) ni - liczba akcji i-tej spółki, mi – liczba kontraktów i-tego rodzaju Scenariusz 1: ceny akcji rosną Krótka pozycja w akcjach przynosi stratę, kontrakty - zysk Scenariusz 2: ceny akcji spadają Krótka pozycja w akcjach przynosi zysk, kontrakty - stratę

RYNEK GIEŁDOWY, RYNEK POZAGIEŁDOWY

KONTRAKTY FORWARD I FUTURES

Literatura § Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 § Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 § Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005 § Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 § Inżynieria finansowa A. Weron, R. Weron Warszawa 1998