Monte Carlo Quntico para Frmions Fortemente Correlacionados Raimundo

Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Raimundo Rocha dos Santos rrds@if. ufrj. br Apoio: Esta apresentação pode ser obtida do site http: //www. if. ufrj. br/~rrds/rrds. html seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc. ”

Esquema do mini-curso I. Introdução II. MC para Sistemas Clássicos III. QMC a T finita: Preliminares IV. QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com Determinante Fermiônico V. Instabilidade a Baixas Temperaturas VI. O Problema do Sinal Negativo VII. Exemplos VIII. Supercondutividade IX. O Modelo de Hubbard Atrativo X. Metais, Isolantes ou Supercondutores? XI. Efeitos de Desordem XII. Conclusões e Perspectivas

Introdução A aproximação de elétrons independentes com o modelo de bandas explica boa parte dos comportamentos observados: • metais • isolantes • semicondutores

Elétrons (independentes) em sólidos: potencial cristalino periódico a a elétrons quase-livres [menos localizados] a limite atômico [mais localizados] d. E Pergunta: quantos estados quânticos há num intervalo de energia d. E ? d. E

Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding) Metal Isolante ou Semicondutor Depende da magnitude do gap: • isolante se e. V • semicondutor se 0. 1 e. V

Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ): maior tendência à localização elétron passa mais tempo perto do núcleo tem maior chance de encontrar outro elétron no mesmo núcleo interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons não pode mais ser desprezada os e se movimentam solidariamente, para minimizar a energia fortemente correlacionados

Supercondutores de Alta Temperatura

Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0): Metal ? ? Incluindo correlação, o comportamento isolante (correto!) é obtido

Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar propriedades coletivas Mecânica Estatística Perguntas típicas que se quer responder sobre um determinado sistema: • ele pode ser magnético? qual o arranjo? • é metálico? • é isolante? • pode ser supercondutor? • como a carga está distribuída espacialmente? • estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?

Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais, os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo fundamental Espectro: Pelo menos duas escalas de energia: k. BT e : • se k. BT >> , o fato dos níveis serem discretos não importa sistema “clássico” • se k. BT , a ausência de estados acessíveis pode ser crucial (e. g. , gap supercondutor) sistema quântico fenômenos temporais inseparáveis: h/2 dimensões extras

Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p. ex. , elétrons, buracos, etc. ) em cristais: interplay entre graus de liberdade de carga i. e. , distribuição espacial de carga, propriedades de transporte (condutividade) e de spin Ordenamento magnético Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado

Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes (spins localizados serão pensados como um caso limite) Modelos: através de modelos (essencialmente de uma Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento observado Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”, ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que permitam caracterizar as propriedades físicas. As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a extrema importância da análise de dados.

Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg i j Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo 1 os. viz. apenas Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo N. B. : Os mágnons são as excitações de mais baixa energia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0 em d 2. O que ocorre no estado fundamental? • Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d • E os AFM’s ? ? ?

Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numa rede bipartite: (i. e. , que pode ser decomposta em duas subredes, e , equivalentes, como as redes quadrada, cúbica simples, etc) Flutuações quânticas efeitos não-triviais no estado fundamental (T = 0) de antiferromagnetos P. ex. , ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de comutação não são preservadas se S < : ? ? • d = 1 quase-ordem (correlações decaem com lei de potência, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato). • d = 2 há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]

Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard Favorece o salto dos férmions entre sítios (termo de banda) Competição entre graus de liberdade de carga e de spin Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e ’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação† Hubbard Heisenberg AFM para um e por sítio (banda semi-cheia) quando U t para uma apresentação. ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja http: //www. if. ufrj. br/~rrds/rrds. html e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc. ” †

O papel da dimensão espacial: em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance quase-ordem itinerância onda de densidade de spin (SDW)

Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s Brown and Grüner (1994)

Se período da CDW incomensurável com a rede [i. e. , r a; r racional e a parâmetro de rede] transporte de corrente é não -ômico não-ômico Explicação: analogia mecânica Brown and Grüner (1994) Importante determinar o período da CDW

Acredita-se que nos supercondutores de alta temperatura haja um equilíbrio entre o ordenamento de spin (AFM, não SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig. ): As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM

Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores Formação de CDW [onda de densidade de carga] novo ingrediente: ordenamento direcional dos orbitais d do Mn

Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para sistemas de tamanhos finitos? P. ex. , comportamento magnético (FM de Ising) magnetização: (não há quebra de simetria) suscetibilidade: tem máximo na transição OK função de correlação: (r) decai com a distância com lei de potência (se crítica)

Magnetização e suscetibilidade: Como o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos aspectos quânticos (i. e. , não-comutação) : evolução “temporal”

MC para sistemas clássicos Modelo de Ising (spin-½): S Sz S= 1 N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois estados Espaço de fases tem 2 N configurações: Para modelos clássicos, cada configuração corresponde a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a ela uma energia E ({S}).

Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma sobre todas as configurações. Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é algumas configurações são menos prováveis que outras por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as configurações como se fossem igualmente importantes?

Amostragem por importância: um exemplo simples Aproximemos a integral por uma soma discreta: se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no intervalo [0, 1]: fi f (xi), i = 1, . . . M são variáveis aleatórias independentes dois modos de se diminuir o erro: 1. M 2. diminuir f

Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que Definindo a integral I pode ser escrita como Amostragem de f/w sobre pontos y distribuídos uniformente

Escolhendo w t. q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um erro pequeno w y dx=dy/w x Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior Amostragem por importância

O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por importância do espaço de fases: as configurações vão sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior {S}’ A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma propriedade local; i. e. , depende apenas dos spins em torno daquele que se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J

A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é: • Se W > 1, a nova configuração é aceita. • Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W N. B. : A possibilidade de aceitar uma configuração menos provável simula o efeito das flutuações térmicas! Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o spin e verifique se a nova configuração é aceita. Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule grandezas de interesse A({S}). A pode ser, p. ex. , magnetização, energia, suscetibilidades, calor específico, etc.

Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e uma estimativa para a média no ensemble é dada por Alguns comentários técnicos, mas muito importantes: 1. Cada varredura da rede é considerada como um passo de MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de “tempo”. 2. Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo número de passos até que o sistema termalize e as médias passem a flutuar pouco; este número de passos depende da temperatura e de características do próprio sistema, como, p. ex. , interações e/ou desordem.

3. Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por construção, as configurações mantêm uma certa correlação entre si. Solução: promediar diferentes Ā M Ā1 barra de erro M M Ā2 . . ĀG

4. Efeitos de tamanho finito. • Quais as escalas de comprimento importantes? o tamanho linear, L; o comprimento de correlação, |T – Tc| • Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duas escalas: L / • Segue daí a teoria de finite-size scaling [prevê como os máximos nas diferentes grandezas (p. ex. , suscetibilidade, calor específico, , etc. ) se tornam singularidades ao nos aproximarmos do limite termodinâmico]: X é qq grandeza TD FSS auxilia nas determinações de Tc , da natureza das fases e dos expoentes críticos.

QMC a T finita: Preliminares Discutiremos agora apenas • sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior abrangência ümodelo de Hubbard, por ser o mais simples gran-canônico! V K Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada partícula (a rigor, sítio), mas [dos Santos (2003) e refs. lá contidas]

Solução: fórmula de Trotter (1/ ) termos

• Interpretação de : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos • Para uma dada temperatura T, = ( k. BT )-1 temos então M fatias “temporais” , M = . . . i 1 i 2 i 3 i. M i 1

• O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na direção temporal dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 ) M quando T 0 • Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função de partição, Z , a qual deve, em princípio, ser extrapolada para 0 • Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os estados de cada sítio individualmente, mas precisamos de uma nova aproximação

2 a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez Exemplo em d = 1: H = HA + HB HA = H 12 + H 34 + H 56 + HB = H 01 + H 23 + H 45 + 2 0 1 2 3 4 x

Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas: H = HA + HB Resumindo as 2 aproximações: 1. Trotter para introduzir dimensão temporal introduz erros sistemáticos da ordem de 2 2. Decomposição em tabuleiro de xadrez introduz erros sistemáticos também da ordem de 2 Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases

QMC a T finita : Amostrando o Espaço de Fases com determinante fermiônico A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação sob a forma cc cccc bilinear “integrável” (e. g. , livre) não-integrável façamos uma transformação que o leve a cc

A transformação de Hubbard-Stratonovich: Inspirada na identidade (A é um operador) A forma quadrática em A é transformada em linear! Custo: introdução de um “campo auxiliar” x. 1 a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação Lembrando que, para férmions, n 2 = n = 0, 1 temos m (magnetização) n (carga)

Usando a forma em que aparece m 2 temos m U > 0 !!!! x se acopla com m ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n 2: n U < 0 !!!! x se acopla com n

Para simulações, é mais conveniente que a transformação de Hubbard-Stratonovich seja discreta: Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são equivalentes a férmions livres em um campo magnético flutuante Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo flutuante acoplando-se com a carga

Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo), podemos escrever a gran-função de partição como onde Dℓ ( ) e Os expoentes que aparecem em Dℓ ( ) são bilineares nos operadores fermiônicos. . .

. . . e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas. Demonstração [2 estágios; ver d. S (2003) p/ detalhes]: 1. Demonstra-se a identidade onde são os autovalores da matriz 2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante: No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobre os spins fermiônicos. . .

. . . isto é, O traço fermiônico pode então ser efetuado: Matrizes Ns Fator de Boltzmann? Cuidado! O det · det não é necessariamente > 0 Se não for, tome |det · det| (mais sobre isto depois)

A simulação: Tomando det O ·det O como fator de Boltzmann, fazemos a simulação nos {s} Escrevamos O passo de QMC: Estamos no sítio da fatia Obs: det não se altera p/ perm. cíclica dos B’s Todos os elementos são nulos, menos o da posição i da diagonal

Este passo de QMC é aceito com probabilidade Cálculo de R : Necessitamos da função de Green instantânea, i. e. , calculada na fatia ℓ, 1 ℓ M , para uma dada configuração {s}: A razão entre det’s fica trivial se pudermos calcular as g’s instantâneas

Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O , ou, equivalentemente, as funções de Green: Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada: Ns 2 operações! • Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal ü Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna Ns 2 operações! OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma; periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição

A manipulação através de funções de Green é uma das grandes vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já que os valores médios de interesse também podem ser expressos em termos das g’s: O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}: expressos em termos das g’s

Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes problemas que discutiremos em seqüência : 1. instabilidade a baixas temperaturas; 2. sinal negativo do determinante fermiônico.

Instabilidade a Baixas Temperaturas Durante a simulação fazemos o produto de muitas matrizes, como, p. ex. , no cálculo de Z ou no cálculo da própria função de Green a partir da definição • O Problema: B mal condicionada autovalores que crescem exponencialmente com o inverso da temperatura níveis de energia negativa (quase sempre ocupados) autovalores ~ 1 níveis de (alta) energia positiva, raramente ocupados (mas Gran-Canônico!) mistura de escalas difícil de acompanhar numericamente

Este problema se manifesta mais gravemente no update das g: • à medida em que T diminui, inicialmente aumenta a freqüência com que g tem que ser calculada a partir da definição • à medida em que T diminui ainda mais, o cálculo de g fica impraticável, mesmo a partir da definição Como é baixa a escala de temperaturas de interesse, tem-se que resolver este problema

• 1 a Solução Possível: Formulação espaço-tempo [Hirsch 88] Na formulação “espacial” original, (M L) Matrizes Nx. N N 2 ops. por update de g N 3 por fatia N 3 L por rede xt Um outro extremo é a formulação espaço-temporal: Matrizes NL x NL (NL)2 ops. por update N 3 L 2 por fatia (NL)3 por rede xt A razão entre os maiores e os menores autovalores desta matriz cresce algebricamente com L melhor comportada para inversão

Esta formulação espaço-temporal é inviável: fator L 2 sobre a espacial O melhor mesmo é um procedimento intermediário: • agrupe apenas uma fração p das fatias temporais, de modo que L 0=L/p fatias sejam colapsadas Matriz Np x Np cujo maior autovalor é da ordem de exp( 0 ), onde é uma escala típica de energias de 1 partícula, e 0 = L 0

Vantagem adicional: a inversa de OLo fornece diretamente um conjunto de g’s: OLo (ℓ) é definida, de modo semelhante, aumentando-se cada indice da matriz anterior de ℓ-1; analogamente para g A escala de updates agora fica (NL)3/L 02 por rede xt, e pode-se atingir ~ 20

• 2 a Solução Possível: Fatorização de matrizes [White et al 89] Suponha que m matrizes possam ser multiplicadas sem deterioração: Usa-se ortogonalização de Gram-Schmidt para escrever o produto como Matriz ortogonal bem condicionada Matriz diagonal com grande variação no espectro Matriz triangular bem condicionada Multiplica-se à esquerda por mais m matrizes e assim sucessivamente, agrupando-se M/m multiplicações:

Para calcular g, devemos isolar D, devido à sua grande variação espectral Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20

O Problema do Sinal Negativo Para o modelo de Hubbard repulsivo, na banda semi -cheia, n = 1, det > 0, devido à simetria partícula-buraco Demonstração: 1. Transformação partícula-buraco

A Hamiltoniana fica invariante pela simetria partícula-buraco se condição para banda semi-cheia Obs. : No caso de hopping entre 2 os. vizinhos, p. ex. , não há simetria partícula-buraco, de modo que a condição para banda semi-cheia não é conhecida a priori. 2. “Det” sob transformação partícula-buraco

Logo, não há problema de sinal para Hubbard repulsivo (hopping de 1 os vizinhos apenas) com n =1 Para o modelo atrativo, pode-se mostrar que, para qualquer n , como resultado do campo auxiliar se acoplar com a carga.

Vejamos agora o que acontece quando o produto dos det’s é < 0 soma sobre configurações c OK enquanto s ’ 1

2 D 3 D

Fora da banda semi-cheia, desde que trabalhemos na região em que s 0. 6, pagando o preço de realizar amostragens mais longas, as médias ainda têm algum sentido. Tamanho da amostragem (independente de s ) determina os erros estatísticos O “problema do sinal negativo” ainda não foi resolvido; veja discussão sobre problemas correntes

Exemplos 1. O diagrama de fases do modelo de Hubbard 2 -D, a T = 0 Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)

Propriedades magnéticas: operador magnetização: operador momento local: fator de estrutura: suscetibilidade:

Função de correlação: n = 1, L = 10 U = 4, β = 10 ··· n = ½, L = 8 U = 4, β = 10 ··· Correlações AFM’s enfraquecem ao nos afastarmos da banda semi-cheia [White et al 89]

Fator de estrutura magnético qx Pico em S ( , ) a T = 0 cresce com L S ( , ) S (qx, qy) S (q) tem pico em ( , ) β [White et al 89]

Aproximação de onda de spin: Extrapola para um valor finito ordem de longo alcance S/N 1/L [White et al 89] Erros sistemáticos não são muito dependentes de β [Hirsch & Tang (89)]

Fator de Estrutura para outras densidades: S ( , ) só cresce significativamente com para n = 1 Logo, para n 1 o sistema é PM [Hirsch (85); Hirsch & Tang (89)]

[Moreo et al. (90)] Pico incomensurável para <n> 1; c. f. espalhamento de neutrons para LSCO

Transição Metal-isolante: Compressibilidade: U/2 [Moreo et al. (90)] Isolante: não se consegue adicionar partículas através de pequenas variações do potencial químico (nível de Fermi) 0 U/2 Mais tarde: outros critérios para M ou I

2. CDW no modelo de Hubbard 1 -D, a T = 0 Previsão da teoria de líquidos de Luttinger: k -k. F [Voit(1994)] 2 k. F n; n é a densidade eletrônica K caracteriza a intensidade da interação Kr cos(2 k. F x) cos(4 k. F x) n(0)n( x) + A 1 1+ K 3 / 2 + A 2 4 K 2 (p x) x ln x x Para o modelo de Hubbard prevê-se que K 1/2 2 k. F mais importante que 4 k. F

Distribuição de carga: operador densidade de carga: fator de estrutura: suscetibilidade:

n 1/6 U crescente: 4 k. F ainda cresce 2 k. F estabiliza (Ns 36 sites) Sem efeitos de tamanho finito ou temperatura finita: simulações com Ns 96 N(4 k. F) ln [Paiva & d. S (00 a)] para T 0,

Logo, o modo de carga com 4 k. F de fato predomina sobre o com 2 k. F, ao menos para valores de U suficientemente grandes. Acordo com descrição de LL : amplitude A 1(n, U) de 2 k. F 0 para U U (n) Esquematicamente: n 1 2 k. F U (n) 4 k. F 0 U [Paiva & d. S (00 a)]

3. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 1 -D Diagrama de fases para U=0 Simetria partícula-buraco: n 1 - n e t 2 - t 2 Questões de interesse: (1. Supercondutividade/ Gap de Spin? ) 2. Rota para o Ferromagnetismo? t 2

Compostos do tipo “escadas” (ladder) Sr 2 Cu 3 O 5 Sr. Cu 2 O 3 t 1 Sr. Cu. O 2 t 2

Ferromagnetismo [Ghosh e RRd. S, 99] U = 2 t

A presença de t 2 estabiliza a fase FM em uma região de parâmetros FM U = 2 t O pico FM já aparece para U 6 t quando t 2 = 0. 15 a região FM do diagrama acima move-se para baixo quando U aumenta “Problemas de sinal negativo” não permitem verificar a SUC para valores maiores de t 2

Supercondutividade 1. Fenomenologia Resistência nula Metal normal

Efeito Meissner

2. Condução em Metais Considere cargas negativas em um potencial periódico energia E momento dens. de corrente Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis

Como evitar dissipação? Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi

3. Interação elétron-elétron íon A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons; pode chegar a ser atrativa em alguns casos. constante dielétrica

4. A Teoria BCS: termo livre (banda) Solução variacional:

A equação do gap: SUC’s convencionais

A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinte forma: Estados desocupados F 2 Estados ocupados Gás de e `s + interação atrativa

Condução por pares (cada par tem KCM=k 1+k 2): todos têm KCM = 0 energia E momento Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado: KCM dos demais pares alto custo energético (gap!) Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência

5. Supercondutividade no modelo de Hubbard repulsivo 2 D? Por quê [Anderson, 87] ? • O estado fundamental do modelo de Hubbard, fora da banda semicheia, seria o de fortes correlações AFM’s de curto alcance. • Os férmions (buracos no contexto da maioria dos SUC’s de alta T) formariam pares singletes ressonantes [RVB] pares de Cooper?

Propriedades supercondutoras: operador de emparelhamento: fr (k) = 1 pares no estado s fr (k) = cos kx cos ky pares no estado d fr (k) = cos kx + cos ky pares no estado s* (estendido) suscetibilidade uniforme (q=0):

1 os resultados de QMC [Hirsch & Lin ’ 88] Ao ligar a interação, as suscetibilidades de pares ficam menores que as do caso livre. Pr U=4 Sem tendência a emparelhamento

Outros resultados de QMC [White et al ’ 89] Suscetibilidade total Parte descorrelacionada retirada Se o enhancement tivesse sido significativo (FSS, T mais baxas, etc), seria forte evidência para a formação de pares Logo não há, ainda, sérias evidências numéricas para SUC no modelo de Hubbard repulsivo

6. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 2 -D Densidades de estados (U=0) Singularidade de van Hove Há expectativas de que a presença da singularidade de van Hove favoreça um estado supercondutor [BCS: Tc~ exp[-1/ ( F)|V|] Só que quando t 2=0, a singularidade ocorre no estado isolante; se t 2 0, a singularidade fica deslocada para a região metálica.

Solução de campo médio (Hartree-Fock) a T = 0: t 2=0. 4 t 2=0

[Huang et al. (01)] • t 2<0 as correlações magnéticas na direção diagonal diminuem; aumentam na direção da face • t 2>0 comportamento oposto [c. f. espalhamento de nêutrons em cupratos] 8 8, n = 42/64 0. 66 • As correlações de carga têm comportamento com t 2 oposto ao das correlações magnéticas. Sem evidência de FM nos intervalos estudados 10 10, n =0. 74

Indicações de SUC: A presença de U aumenta a suscetibilidade de pares (onda-d), quando comparada ao caso livre. Não foi possível à época realizar um estudo mais sistemático: FSS, <n>, etc. ; probs: sinal negativo, tempo, etc. [dos Santos, 89] 4 x 4, t 2 = 0. 4 n = 1. 1 ¾ U=0 U=4 6 x 6, t 2 = 0. 4 n = 1. 5 ¾ U=0 U=4

[Kuroki e Aoki (98)] t /’ ty ü tx t ’ t’’ Estendem o espaço de parâmetros para que o espectro fique com níveis pouco espaçados 12 x 12 <n>=0. 82 t’=-0. 43 t’’= 0. 07 U=1 12 x 12 <n>=1. 32 t’=-0. 5 t’’= 0 U=1 ü ü

O Modelo de Hubbard Atrativo Características: • Emparelhamento no espaço real, ao contrário de BCS. • Equivale a BCS para |U| << t • Apresenta gap (para excitações) de spin SUC’s de alta T • Mais amigável para cálculos numéricos pode ser usado como modelo efetivo para entender diversas propriedades de supercondutores (p. ex. , desordem) T* (região de pares pré-formados; gap de spin) Tc |U| [Micnas et al. (90)]

Algumas propriedades [Emery (76), d. S(93)] : 1. Transformação partícula-buraco parcial: Interação Repulsiva acoplamento com campo magnético (z)

Ainda como conseqüência desta transformação, U<0 U>0 correlações de pares correlações antiferromagnéticas XX e YY correlações de carga correlações antiferromagnéticas ZZ

2. Limite de acoplamento forte U >> t : Façamos o limite de acoplamento forte em H ’ AFM de Heisenberg com campo uniforme na direção z: • se h = 0, ordem tipo Heisenberg isotrópico • se h 0, ordem tipo XY O que isto implica para nosso modelo atrativo original? • se a banda é semi-cheia: coexistência CDW + SUC • fora da banda semi-cheia: somente SUC a dimensão espacial define se a ordem é de longo alcance, e/ou se persiste a T > 0

Análise de QMC em 2 D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, d. S et al. (04)]: sem sinal negativo! Função de corelação de pares com Em 2 D: • banda semi-cheia: Heisenberg isotrópico só há ordem de longo alcance a T=0 • fora da banda semi-cheia: modelo XY há quase-ordem a T < Tc Kosterlitz-Thouless Finite-size scaling: K-T: = ¼

L=4 Cruzamentos: estimativa de Tc para <n> 18 Variando-se <n> obtém-se Tc (<n>) [Paiva, d. S, et al. (04)]

Em 3 D: Expansões em série para o modelo XY: = 0 FSS: L = 3 ? ? L=4 L=6 [dos Santos (94)]

Lz Qual a dimensão linear deste sistema? Ly Lx Para 4 x 4 x 2, temos L 1 = 2. 83, L 2 = 3, e L 3 = 3. 17 Escolhe-se a definição que aproxima os encontros no scaling plot [dos Santos (94)]

Suscetibiliade uniforme: tipo Pauli (na rede) tipo spin gap pares pré-formados [dos Santos (94)]

QMC no mod repulsivo Sols. variacionais U O máximo de Tc não parece variar muito com U. [dos Santos (94)]

Metais, Isolantes ou Supercondutores? Motivação: Como determinar, através de simulações, se o estado fundamental é SUC, sem supor qualquer simetria para o estado do par? (E, caso não seja, determinar se é isolante ou metal) Idéia básica: resposta do sistema (anel ou toróide) a um fluxo magnético [Scalapino et al. (93)] Considere a componente x do operador densidade de corrente e sua função de correlação espaço – i-temporal

Tomemos a transformada de Fourier (no espaço e no i-tempo) da função de correlação Agora podemos definir os limites longitudinal transverso

Definamos também a energia cinética associada aos links na direção x Regra de soma impõe que deve sempre ser verificada através de cálculos explícitos Testes: Hubbard repulsivo e atrativo na rede quadrada com QMC

Kx N. B. : Os q são discretos: limq 0 sujeito a erros de extrapolação OK: L = Kx a cada temperatura Kx

Como resultado do Efeito Meissner, o parâmetro de ordem supercondutor (densidade superfluida) é dado por Fase SUC: s 0 como resultado da simetria L -T (ou Kx- T) ser quebrada

s = 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante Kx Hubbard atrativo fora da banda semi-cheia Note efeito de temperatura: para = 2, s = 0 para = 6, 10 s 0 consistente com transição de K-T a T finita Kx

Kx Hubbard atrativo a = 10: s extraída a partir de T calculada no menor qy disponível Hubbard atrativo Cuidado com análise a T fixa: aparente fase SUC na banda semi-cheia.

Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia (sinal negativo!): s = 0: não-SUC; mas cuidado com efeitos de tamanho finito

E quando o sistema não fôr SUC, podemos dizer se é M ou I? Examinemos, então, a condutividade: D é o peso de Drude ( densidade de transportadores/massa); logo Isolante D = 0 Metal D 0 D pode ser calculado como O lim 0 é mais eficientemente tomado numericamente em termos das freqüências de Matsubara

-Kx D D 0 : Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia é metálico. Cuidado: isto não quer dizer que o sistema seja metálico a T > 0. Isto é pq T < para excitações de partícula-buraco; para T fixa e L , teríamos, necessariamente, D 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante; atenção para efeitos de tamanho -Kx

Hubbard atrativo a = 10: D D 0 (zero resistência) Kx

Efeitos de Desordem Motivação: Todos os sistemas estudados até agora eram puros. Quais são os efeitos de impurezas – isto é, componentes que se comportam de modo diferente da maioria – nas propriedades físicas dos materiais? Exemplos: • átomos magnéticos diluídos em matrizes não-magnéticas; • átomos de uma espécie diluídos em matrizes de outra; diferentes níveis atômicos ou integrais de hopping • sítios com U = 0 diluídos em matriz de sítios com U < 0 • etc.

2 tipos de desordem, caracterizadas pelas relações entre as escalas de tempo envolvidas: Sejam • – tempos característicos da dinâmica das interações; p. ex. : tempos de flutuação dos spins; tempos de hopping de elétrons, pares de Cooper, etc. • i – tempos associados à difusão das impurezas pela matriz hospedeira Se ~ i a configuração (posição, etc. ) das impurezas é determinada pelas condições de equilíbrio desordem recozida (annealed) P. ex. , para um isolante magnético: Se << i a configuração (posição, etc. ) das impurezas é totalmente aleatória e congelada. desordem temperada (quenched) P. ex. , para um isolante magnético:

Consideraremos aqui apenas desordem temperada • No caso de simulações, gera-se uma configuração de desordem e executa-se os passos como antes: termalização, promediação, etc. • Repete-se para um certo número de configurações de desordem, e faz-se a média das grandezas sobre as diferentes realizações de desordem.

Supercondutores desordenados Quanto podemos dopar um supercondutor até que ele fique normal (isolante ou metal)? Questão ainda mais interessante em 2 -D (filmes bem finos): • supercondutividade é marginal transição de Kosterlitz-Thouless • coomportamento metálico (e- livres) também marginal Localização para qq desordem (expts. recentes: MIT possível? )

Sheet resistance: t ℓ ℓ � independe do tamanho do quadrado R�a uma temperatura fixa pode ser usada como medida de disordem CRITICAL TEMPERATURE Tc (kelvin) Desordem em escalas atômicas: filmes amorfos sputtered Mo 77 Ge 23 film SHEET RESISTANCE AT T = 300 K (ohms) Tc decresce com a desordem: blindagem da repulsão coulombiana é enfraquecida [J Graybeal and M Beasley (1984)]

Modelo para estudo da desordem: Ui = 0 com prob f Ui = U com prob 1 -f Potencial químico: controla # de elétrons Inicialmente T 0: efeito da desordem no estado fundamental QMC onde Aprox de onda de spin [Hurt, . . . , F Mondaini, T Paiva, & d. S (05)] gap supercondutor

Transição não-percolativa: fc < 0. 41 aumento da ordem por desordem Impurezas inibem CDW só resta parâmetro de ordem de 2 componentes (reflexo do que ocorre a T >0) Em andamento: T > 0 [D Hurt, . . . , F Mondaini, T Paiva, & d. S (05)]

Conclusões e Perspectivas • QMC é um método poderoso para o estudo de sistemas fortemente correlacionados • Deve ser acompanhado de uma análise de dados criteriosa • O problema da instabilidade a baixas T foi contornado • O problema do sinal ainda está aberto (veja próximo slide) • Perspectivas: • Adaptação para o estudo de modelos multi-orbitais deve ser buscada; e. g. , Anderson • Acoplamento de férmions com momentos localizados (tipo Kondo): propostas de THS já feitas em alguns trabalhos [Assaad (99)] • Dissipação Quântica [Capriotti et al. , (2002)]

O sinal negativo A origem do problema: Façamos a THS nas ℓ primeiras fatias temporais P 0 = Z > 0 2 N valores de P 1 emergem de P 0 ℓ A amostragem é feita em ℓ=M; se considerássemos todas as possíveis configurações, PM teria # de valores positivos ligeiramente (exp a baixas T ’s!) maior que negativos. {SW Zhang [1999(a)(b)]}

Referências • PW Anderson, Science 235, 1196 (1987). • FF Assaad, Phys Rev Lett 83, 796 (1999) • S Brown and G Grüner, Sci Am 270 (4), 28 (1994) • L Capriotti et al, Europhys Lett 58, 155 (2002) • R R dos Santos, Phys Rev B 39, 7259 (1989) • R R dos Santos, Phys Rev B 48, 3976 (1993) • R R dos Santos, Phys Rev B 50, R 635 (1994) • R R dos Santos, Braz J Phys 33, 36 (2003) • VJ Emery, Phys Rev B 14, 2989 (1976) • H Ghosh and R R dos Santos, J. Phys. : Condens. Matt 11, 4499 (1999) • J Graybeal and M Beasley, Phys Rev B 29, 4167 (1984) • J E Hirsch, Phys. Rev. B 31, 4403 (1985) • J E Hirsch, Phys. Rev. B 38, 12023 (1988) • J E Hirsch and HQ Lin, Phys. Rev. B 37, 5070 (1988) • J E Hirsch and S Tang, Phys. Rev. Lett. 62, 591 (1989) • Z B Huang et al. , Phys. Rev. B 64, 205101 (2001)

• D Hurt, E Odabashian, W Pickett, RT Scalettar, F Mondaini, T Paiva e R R dos Santos, Phys Rev B 72, 144513 (2005). • K Kuroki e H Aoki. , J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1533 (1998) • R Micnas et al. , Rev Mod Phys 62, 113 (1990) • A Moreo et al. , Phys Rev B 41, 2313 (1990) • A Moreo and DJ Scalapino, Phys. Rev. Lett. 66, 946 (1991) • T Paiva and R R dos Santos, Phys. Rev. B 61, 13480 (2000) [a] • T Paiva, R R dos Santos, RT Scalettar, e PJH Denteneer, Phys Rev B 69, 184501 (2004). • J D Reger and A P Young, Phys. Rev. B 37, 5978 (1988) • D J Scalapino et al. , Phys. Rev. B 47, 7995 (1993) • J Voit, Rep. Prog. Phys. 57, 977 (1994) • W von der Linden, Phys. Rep. 220, 53 (1992) • S Wessel et al. , Phys Rev Lett 86, 1086 (2001) • S R White et al. , Phys. Rev. B 40, 506 (1989) • Yokoyama and Shiba, J Phys Soc Jpn 56, 3582 (1987) • S W Zhang, cond-mat/9909090 [a] • S W Zhang, Phys Rev Lett 83, 2777 (1999) [b]