METODA MONTE CARLO Numeryczne obliczanie caki oznaczonej Spis

METODA MONTE CARLO Numeryczne obliczanie całki oznaczonej

Spis treści • • • Rys historyczny Metoda Igły Buffona Objaśnienie metody MC Algorytm metody Monte Wady i zalety MC Prezentacja zastosowania

Rys historyczny • G. Buffon - 1777 r. Prawdopodobnie jednym z najwcześniejszych udokumentowanym użycie próbkowania losowego do obliczenia wielkośći nielosowej była „metoda igły”, która polegała na rzuceniu igły na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi prostymi. • M. Laplace – 1886 r. – wyznaczenie wartości liczby przy pomocy metody Buffona. • Lord Kelvin – 1901 r. – obliczanie pewnych całek w kinetycznej teorii gazów przy użyciu próbkowania losowego.

Rys historyczny cd. • W. S. Gosset – 1908 r. – podobne losowanie pomogło mu w odkryciu rozkładu współczynnika korelacji oraz potwierdzeniu rozkładu t-Studenta. • E. Fermi – ok. 1930 r. – eksperymenty losowania numerycznego dotyczące dyfuzji i transportu neutronów w reaktorach jądrowych (skonstruował FERMIAC – mechaniczne urządzenie losujące). • • J. von Neumann, S. Ulam, N. Metropolis, R. Feynman i in. –ok. 1940 r. – pierwsze na dużą skalę rachunki oparte o użycie liczb losowych; dotyczyły rozpraszania i absorpcji neutronów w ramach projektu , , Manhattan”. Nazwa , , Monte Carlo” została wymyślona jako kryptonim dla tego typu rachunków i odpowiednich metod matematycznych.

Metoda igły Buffona W statystyce matematycznej, Igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a. Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

Metoda igły Buffon cd. • Igłę o długości l rzucamy losowo na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi liniami prostymi o odstępie L (L ≥ l). Jeżeli rzucona igła przetnie linię, to liczymy , , trafienie”, w przeciwnym wypadku liczymy , , chybienie”. Przez zliczanie trafień i chybień wyznaczyć wartość liczby π.

Obliczanie całki za pomocą metody MC Niech X 1, X 2, . . . Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [a, b] oraz niech f będzie funkcja rzeczywista taka, ze Ef(X 1) istnieje i jest skończona. Przy powyższych założeniach f(X 1), f(X 2), . . . f(Xn) jest także ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, przy czym istnieje wartość oczekiwana i jest skończona Z Mocnego Prawa Wielkich Liczb Kołmogorowa mamy:

Algorytm obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej Możemy zatem do obliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej zastosować następujący algorytm: I losujemy niezależnie liczby u 1, u 2, . . . , un z rozkładu jednostajnego U[0, 1]; II przekształcamy dla k = 1, 2, . . . , n otrzymując w ten sposób próbkę z rozkładu U(a, b); III jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy

Wady i zalety metody MC • Zalety możliwość obliczenia złożonych całek, gdy bardziej niż precyzja liczy się szybkość rosnąca moc obliczeniowa komputerów prosta forma zastąpienia rozwiązań analitycznych • Wady eksperyment dla skończonej liczby prób wyniki zależą od generatora liczb pseudolosowych

Autorzy • • • Piotr Szczepański Piotr Sobczak Radosław Misiuk Michał Cieślak Piotr Lemański Wojciech Fabiańczuk