Ekonometrija 5 a Ekonometrija Osnovne studije Predava Aleksandra

Ekonometrija 5 a Ekonometrija, Osnovne studije Predavač: Aleksandra Nojković Napomena: U izradi prezentacija korišćena je literatura predviđena IP predmeta i materijali prof. Zorice Mladenović.

Struktura predavanja • Klasični dvostruki (višestruki) linearni regresioni model - matrična notacija • Pretpostavke višestrukog KLRM • Svojstva ocena dobijenih primenom metoda ONK • Zaključivanje u višestrukom lineranom regresionom modelu • Testiranje linearnih ograničenja na parametre modela

Višestruki linearni regresioni model (matrična notacija) ¡ U matričnoj notaciji (k=3): y=XB + e, gde je: y (nx 1) vektor kolona; X (nxk) matrica; B (kx 1) vektor kolona; e (nx 1) vektor kolona. ¡ Matrica X: svaki red predstavlja vrednost svih eksplanatornih prom. koje odgovaraju jednoj opservaciji, a svaka kolona predstavlja sve vrednosti jedne eksplanatorne prom. u uzorku.

Dvostruku linearni regresioni model (k=3): matrična notacija ¡ Model: Y=XB + e, gde je:

Klasicni višestruki linearni regresioni model ¡ Analiticki oblik višestrukog linearnog regresionog modela: ¡ Parametri β 1, β 2, . . . , βk-1 su parcijalni koeficijenti nagiba. Npr: ako se X 1 i poveća za jednu jedinicu, očekivana promena Yi je β 1 jedinica, pod pretpostavkom da se ne menja uticaj ostalih objašnjavajućih promenljivih X 2, X 3, . . . , Xk-1.

Uopštena forma višestrukog linearnog regresionog modela ¡ ¡ Model sa (k-1) objašnjavajućom promenljivom (ukupno k parametra). Matrični zapis:

Metod ONK (matrična notacija) ¡ Primenom metoda ONK dobijamo sledeću ocenu modela: ¡ Vektor B sadrži ocene parametara. ¡ Ocene b 1, b 2, …, bk-1 predstavljaju ocene parcijalnih koeficijenata nagiba.

Višestruki linearni regresioni model (matrična notacija, nastavak) ¡ Odgovarajuća regresiona uzoračka funkcija je: ¡ Metodom ONK minimizira se Σei 2, koja se može predstaviti kao: ¡ Rezidulana suma kvadrata S je: ¡ Napomena: Kako su B’X’Y i Y’XB skalari, njihov zbir je dat u jednobraznoj formi 2 B’X’Y.

Metod ONK (nastavak) ¡ Ocene se dobijaju uz uslov minimiziranja rezidulane sume kvadrata. ¡ Izjednačavanjem prvog parcijalnog izvoda sa nulom dobijamo: ¡ Odatle dobijmo kompletan sistem jednačina: B=(X’X)-1 X’Y, pri čemu su za k=3 matrice X’X (dim. 3 x 3) i vektor X’Y (dim. 3 x 1):

Metod ONK (nastavak) ¡ Dakle, izraz za vektor ocena: B=(X’X)-1 X’Y. ¡ Matrica X’X (dim. k x k) i vektor X’Y (dim. k x 1) u opštem slučaju definišu se na sledeći način:

Metod ONK (matrična notacija) ¡ Da bi rešenje bilo definisano potrebno je da postoji inverzna vrednost matrice (X’X). Rang matrice X treba da je k (očekivano je da je n>k) da bi rešenje postojalo. ¡ Dodatno, drugi parcijalni izvod: je pozitivno definitna matrica (bez dokaza). ¡ Pri tome, polazeći od sistema normalnih jednačina: (X’X)B=(X’ Y), gde je: (X’X)B=X’ (e+XB)=X’e + (X’X)B, proizilazi da je: X’ e = 0

Metod ONK (matrična notacija) ¡ Uslov X’ e = 0 možemo zapisati u razvijenom obliku kao: iz čega sledi: - Kako je zbir reziduala jednak nuli (element 1 x 1), to je i aritmetička sredina reziduala jednaka nuli. - Zbir proizvoda svake od objašnjavajućih promenljivih i reziduala je nula (pokazano za k=3).

Alternativna forma polaznog modela ¡ Matrična forma matričnog modela u centriranim podacima: y=xb + e, pri čemu je:

Alternativna forma polaznog modela (nastavak) ¡ Primenom metoda ONK na matrični model: y=xb + e, dobijamo ocene sadržane u vektoru b:

Alternativna forma polaznog modela (nastavak) ¡ Pri tome su nova matrica x’x i vektor x’y:

Ocene metodom ONK (nastavak) ¡ Ukoliko su podaci izraženi u centriranim podacima (za k=3) regresiona uzoračka funkcija je: ¡ Tada je vektor reziduala (ista forma kao polaznog modela): e=y-xb. ¡ Prema uslovu za dobijanje ocena ONK: b=(x’x)-1 x’y.

Ocene metodom ONK (za k=3) ¡ Izraz za ocene parcijalnih koeficijenata nagiba b=(x’x)1 x’y, možemo zapisati razvijeno kao: ¡ Kako je izraz na desnoj strani gornje jednakosti jednak: konačno dobijamo poznate ocene:

Pretpostavke višestrukog KLRM – I (svojstva sučajne greške modela) 1) E(e)=0, podrazumeva da je očekivana vrednost svake od komponenti slučajne greške jednaka nuli, tj. E(εi)=0, za i=1, 2, . . . , n; E(Y)=XB. 2) E(ee’)=σ2 In, gde je In jedinična matrica dimenzija (nxn). U pitanju je simetrična kovarijaciona matrica:

Pretpostavke višestrukog KLRM (nastavak) Prema pretpostavci 2) sve komponente slučajne greške modela poseduju istu varijansu (σ2), dok je kovarijansa Između svake dve slučajne komponente jednaka nuli, E(εiεj)=0, za i≠j. - Ovim su definisane homoskedastične i neautokorelisane greške (sferične greške). 3) e: N(0, σ2 In), vektor slučajnih greški poseduje višedimenzionu normalnu raspodelu sa vektorom srednje vrednosti nula (prva pretpostavka) i kovarijacionom matricom σ2 In (druga pretpostavka). - Kako su komponente u slučajnom vektoru nekorelisane i svaka od njih normalno raspodeljena, sledi da je i Y slučajna prom. sa višedimenzionom N raspodelom (veza Y i e je linearna).

Pretpostavke višestrukog KLRM - II (svojstva objašnjavajućih promenljivih) 4) Elementi matrice X su nestohastički sa fiksim vrednostima u ponovljenim uzorcima. - Objašnjavajuće promenljive sadžane u matrici X nisu slučajne promenljive. 5) Matrica X, dimenzija (n x k), k<n, je ranga k. - Isključuje se mogućnost da postoji tačna linearna kombinacija između objašnjavajućih promenljivih. - U tom slučaju bi se proizvoljna od k kolona mogla izraziti kao tačna linearna kombinacija preostalih kolona, odnosno rang matrice X bi bio manji od k. - Tada matrica (X’X) postaje singularna, tako da nije moguće odrediti njenu inverznu matricu, a time ni vektor ocena B.

Ocena varijanse slučajne greške modela ¡ Varijansa slučajne greške σ2 ocenjuje se na osnovu vektora reziduala: ¡ Na osnovu postavke matrice M sledi: Martrica M je simetrična dimenzija n x n (M=M’). Matrica M je idempotentna (M’M=MM’=M) MX=0. 1. 2. 3. ¡ Odatle, vektor reziduala je: e=M(XB+e)=Me. ¡ Rezidualna suma kvadrata je: e’e=e’Me.

Ocena varijanse slučajne greške modela (nastavak) ¡ Očekivana vrednost sume kvadrata reziduala je: E(e’e)=E (e’Me)=E (tr(e’Me)), jer je e’Me skalar = E (tr(Mee’))=σ2 tr(M), usled neautokorelisanosti. ¡ Dalje, sledi: tr(M)=tr(In)-tr(X(X’X)-1 X’)= tr(In)-tr((X’X)-1 X’X)=n-k. E(e’e)=(n-k) σ2 , odnosno ¡ Dakle, nepristrasna ocena varijanse σ2 se dobija kao suma kvadrata reziduala podeljena sa brojem stepeni slobode (n-k).

Svojstva ocena dobijenih metodom ONK Lineranost Vektor ocena slobodnog člana i parcijalnih koef. nagiba je: B=(X’X)-1 X’Y=CY, 1) gde C matrica dimenzija k x n, čiji su elemeti konstante (opšti član matrice cij, i=0, 1, . . . , k-1; j=1, 2, . . . , n). Pokazati za k=3. 2) Nepristrasnost Vektor ocena B može se predstaviti u funkciji od vektora slučajnih greški: B= (X’X)-1 X’Y= (X’X)-1 X’(XB+e)=(X’X)-1 X’XB+(X’X)-1 X’e= = B + Ce; Sledi: E(B) = B + C E(e) =B, dakle ocene su nepristrasne. Pokazati za k=3.

Svojstva ocena dobijenih metodom ONK (nastavak) 4) Najbolja ocena Ocene ONK su linearne i nepristrasne, a da bi bile najbolje potrebno je da njihova varijansa bude najmanja moguća. Ispunjeno u slučaju sferičnih grešaka (bez dokaza). 5) Konzistentnost Vektor ocena B može se predstaviti kao: B= (X’X)-1 X’Y =B + (X’X)-1 X’e, pri čemu je granična vrednost drugog sabirka jednaka nuli (pokazati…).

Varijanse ocena bo, b 1, b 2, . . . , bk-1 ¡ Posmatramo simetričnu matricu (k x k): E(B-B)’ = E(Ce)’ =C E(ee’)C ’ = σ2 CC ’ = (X’X)-1 X’ E (ee’)X (X’X)-1 = σ2 (X’X)-1 ¡ Reč je o matrici varijansi i kovarijansi ocena vektora B, V(B).

Varijanse ocena bo, b 1, b 2, . . . , bk-1 (nastavak) ¡ Odnosno, matrica varijansi i kovarijansi ocena vektora B, V(B):

Varijanse ocena bo, b 1, b 2, . . . , bk-1 (nastavak) ¡ Pojedinačne varijanse se često označavaju sa σ2 aii, i=0, 1, . . . , k-1, gde je sa aii označen i-ti dijagonalni element matrice (X’X)-1. ¡ Za model sa centriranim podacima: E(b-b)’ = V(b)= σ2 (x’x)-1

Varijanse ocena bo, b 1, b 2, . . . , bk-1 (nastavak) ¡ Odnosno, razvijeno za model sa centriranim podacima: ¡ Pokazati za k=3.

Varijanse i kovarijnsa ocena b 1 i b 2 (za k=3) ¡ Varijansa ocene b 1 je: pri čemu je sa r – koeficijent korelacije između X 1 i i X 2 i. Slično se izračunava i varijansa ocene b 2. ¡ Kovarijansa ocena između b 1 i b 2:

Raspodela relevantne test -statistike ¡ Kako je raspodela vektora slučajnih greški, e: N(0, σ2 In), sledi da i vektor zavisne promenljive poseduje višedimenzionu N raspodelu, Y: N(XB, σ2 In). ¡ Vektor ocena parametara B je linerana funkcija vektora Y, te sledi: B: N(B, σ2(X’X)-1). ¡ Svaka od proizvoljnih ocena je normalno raspoređena sa parametrima: bj: N (βj, σ2 ajj), pri čemu je ajj j-ti dijagonlani element matrice (X’X)-1.

Raspodela relevantne test –statistike (nastavak) ¡ Kako e’e/σ2 poseduje χ2 n-k stepeni slobode, odakle imamo: pri čemu je sbj oznaka za standardnu grešku ocene patrametra bj. ¡ Uobičajen postupak testiranja.

Testiranje pojedinačne značajnosti parametara ¡ Pretpostavimo da je hipoteza od interesa: H 0: βj = 0, H 1: βj ≠ 0 j=1, 2, . . . , k-1. ¡ Diskriminacija između postavljenih hipoteza realizuje se primenom t - testa, primenom test-statistika : ¡ Odnosno, značajnost pojedinačnog uticaja svake od objašnjavajucih promenljivih na zavisnu promenljivu se proverava kao: ¡ Pokazati da ova test-statistika poseduje t-raspodelu sa (n-k) stepeni slobode. . .

Testiranje statističke značajnosti cele regresije ¡ Hipoteze od interesa: ¡ Nulta hipoteza: regresija nije statistički značajna (zajednički uticaj objašnjavajućih promenljivih nije statistički značajan). ¡ Alternativna hipoteza: objašnjavajuće promenljive ostvaruju statistički značajan uticaj na kretanje zavisne promenljive (bar jedan od parametara je značajno različit od nule).

Ispitivanje kvaliteta regresije na osnovu koeficijenta determinacije ¡ Relevantna statistika je: ¡ Pravilo odlučivanja: l Ako je izračunata vrednost date statistike veća od kritične vrednosti F-raspodele sa k-1 i n-k stepeni slobode, tada se nulta hipoteza odbacuje uz izabrani nivo značajnosti (objasniti br. stepeni slobode tri relevantna varijabiliteta. . . ). ¡ Različite situacije sa stanovišta statističke značajnosti ocena koef. determinacije i pojedinačnih regresionih koeficijenata (objasniti!).

Parcijalni modeli ¡ ¡ ¡ U višestrukom KLRM parametar uz datu objašnjavajuću promenljivu (βj) označava reakciju Y na njenu jedničnu promenu, pod pretpostavkom da se fiksira uticaj preostalih objašnjavajućih promenljivih. Apriori se eliminiše dejstvo ostalih promenljivih u modelu prilikom interpretacije parcijalnog koeficijenta nagiba. Potvrda u konceptu parcijalnih modela: pri čemu je prva grupa promenljivih sadržana u matrici X 1, a preostale promenljive se nalaze u drugoj grupi, sadržanoj u matrici X 2.

Parcijalni modeli (nastavak) ¡ Za analizu uticaja samo promenljivih sadržanih u X 1, potrebno je izdvojiti efekat dejstva promenljivih X 2 iz modela, odnosno iz Y i X 1. Ocenjuju se parametri sledeće dve zavisnosti: 1) Model zavisnosti Y od X 2 (reziduali ovog modela M 2 Y) 2) Model zavisnosti X 1 od X 2 (reziduali ovog modela M 2 X 1), gde je M 2=In-X 2(X 2’X 2)-1 X 2 ’. ¡ Novi (parcijalni) model sačinjavaju promenljive iz kojih je odstranjen uticaj X 2: M 2 Y=M 2 X 1 B*+e*, gde je B* vektor novih parametara, dok je e* vektor novih slučajnih greški. ¡

Parcijalni modeli (nastavak) ¡ Vektor novih ocena parcijalnog modela B* je: ¡ Vektor novih reziduala parcijalnog modela e* je: e*= M 2 Y-M 2 X 1 B*.

Frish-Waugh-Lovell-ova (Friš-Uo-Lovel-ova) teorema U tom slučaju važi: B 1=B* i e=e*. ¡ Dokaz: Sistem normalnih jednačina: (X’X)B=X’Y možemo zapisati kao: ¡ pri čemu iz druge jednačine sledi da je: ¡ Nakon zamene B 2 u prvu jednačinu dobijamo da je B 1=B*:

Frish-Waugh-Lovell-ova teorema (nastavak) ¡ Slično tome, dokazujemo da je e=e*. Krećemo od vektora reziduala polaznog modela: ¡ Množenje sa leve strane sa M 2 daje: ¡ jer je M 2 X 2=0. ¡ Na levoj strani jednakosti imamo reziduale polaznog modela e, jer je M 2 e=e (posledica uslova metoda ONK: X 2’e=0, odnosno e=M(XB+e)=Me), odakle je e=e*.

Frish-Waugh-Lovell-ova teorema (nastavak) ¡ Vektoru ocena uz k-g promenljivih u modelu sa ukupno k promenljivih odgovara vektor ocena iz modela sa samo k-g promenljivih, u kome su zavisna promenljiva i svaka od k-g objaš. prome. korigovane za uticaj g promenljivih. ¡ Alternativno rečeno, dodavanjem novog skupa objašnjavajućih promenljivih u model ne menja se ocena uticaja prvobitno uključenih promenljivih, koja je izvedena iz modela sa promenljivima iskazanim u funkciji odstupanja od tog dodatog skupa promenljivih.

Model sa podacima iz koga je izdvojena komponenta determinističkog rasta ¡ ¡ U AVS često se koristi model koji uključuje promenljivu linearnog trenda (t=1, 2, . . . , n). Polazni model je: ¡ Umesto ovog modela za ocene parcijalnih koeficijenata nagiba može se koristiti parcijalna verzija modela. ¡ Sve promenljive u parcijalnom modelu predstavljaju reziduale iz modela u kome se konkretna promenljiva ocenjuje u funkciji od slobodnog člana i linearnog trenda.

Postupak detrendiranja podataka ¡ Od ukupno k+1 parametra polaznog modela, parcijalni model sadrži k-1 parametar: gde ydi, označava vrednost i-te opservacije zavisne promenljive, koja je korigovana za efekat slobodnog člana i trenda. Slično, xd 1 i predstavlja i-ti rezidual iz regresije X 1 i na konstantu i linearni trend. ¡ Da bi smo od početnog došli do parcijalnog modela definišemo matricu M 2 prema: M 2=In-X 2(X 2’X 2)-1 X 2 ’

Model sa centriranim podacima ¡ Model sa centriranim podacima: y=xb+e. ¡ Dobijaju se identične ocene parcijalnih koeficijenata nagiba. ¡ Može se tretirati kao parcijalni model: sve promenljive su prethodno ocenjene kao funkcija slobodnog člana (ta ocena parametra je aritmetička sredina date promenljive). ¡ Razlika polazne promenljive i aritm. sredine daje nove promenljive parcijalnog modela.

Testiranje statističke značajnosti podskupa parametara (test dodatih regresora) ¡ ¡ Ako je particija matrice objašnjavajućih promenljivih: X=(X 1 X 2). Prvu grupu čini (k-g), a drugu grupu preostalih g promenljivih. Ocenjujemo polazni model (model bez ograničenja): ¡ Model koji ne sadrži matricu X 2 zasniva se na pretpostavci B 2=0 (model sa ograničenjem): ¡ U modelu sa ograničenjem na parametre modela vektor ocena (k-g) parametra B 1 označen je sa Bo i dobija se kao: pri čemu je korespondirajući vektor reziduala iz ovog modela: e 0=Y-X 1 B(o).

Test statističke značajnosti podskupa parametara ¡ Test-statistika kojom se proverava validnost nulte hipoteze H 0: B 2=0 je data u formi F-testa: gde se slovo o u indeksu odnosi na sumu kvadrata reziduala i koeficijent determinacije modela ocenjenog sa ograničenjem. ¡ Za specijalan slučaj hipoteze H 0: B 2=0 za g=1, test se svodi na testiranje značajnosti pojedinačnih parametara (F 1 n-k=t 2 n-k).

Testiranje opštih linearnih ograničenja na parametre ¡ ¡ 1) 2) Ekonomski kriterijumi često zahtevaju da koeficijenti u ocenjenom modelu zadovoljavaju izvesna ograničenja (npr. konstantni prinosi u Cobb-Douglasovoj funkciji; odsustvo iluzije novca (zbir elastičnosti tražnje s obzirom na nominalni dohodak i cene je jednak nuli i sl. )). Dva alternativna postupka: Oceniti f-ju ne vodeći računa o ograničenjima, a zatim testirati da li ocenjeni koeficijenti zadovoljavaju zahtevane restrikcije. Oceniti model sa inkorporiranim ograničenjima, a zatim testirati značajnost razlike između ocena takvog modela (pod ograničenjem) i modelom bez ograničanje.

Testovi linearnih ograničenja na parametre ¡ ¡ Pri testiranju jednog ograničenja (jednostavna nulta hipoteza) koristi se t-test (ili alternativno, F-test). U slučaju testa više ograničenja (kad je nulta hipoteza složena) Fstatistika.

Prvi postupak testiranja: t-test Testiranje jednog linearnog ograničenja ¡ Posmatramo nultu hipotezu kojom se tvrdi da je istinito linearno ograničenje oblika: ¡ Alternativna hipoteza je: pri čemu su parametri r 0, r 1, . . . , rk-1 poznati. ¡ Primenom metoda ONK na polazni model (model bez ograničenje) dobijaju se ocene b 0, b 1, . . . , bk-1 i obrazuje se ocena linearne kombinacije prema nultoj hipotezi (poseduje N raspodelu):

Testiranje jednog linearnog ograničenja (nastavak) ¡ Standardna greška linearne kombinacije dobija se kao: ¡ Skalarni oblik ove ocene varijanse je: ¡ Nulta hipoteza se testira na osnovu tn-k raspodele:

Prvi postupak testiranja: jedno ograničenje Jedno postavljeno ograničenje: H 0: RB=r ; H 1: RB≠r, gde je R’ vektor konstanti specifikovanih da odgovaraju ograničenju, a r poznata konstanta. ¡ ¡ Npr. Hipoteza o konstantnim prinosima (β 1+β 2=1) u Cobb-Douglasovoj f-ji Q=β 0 Kβ 1 Lβ 2 se definiše: R=[1 1], B’=[β 1 β 2], r =1.

Testiranje g=1 ograničenja ¡ Ukoliko je potrebno testirati samo jedno ograničenje na parametre modela (g=1), kao alternativa t-testu, može se koristiti F 1 n-k raspodela. ¡ Uopštavanjem: F test statistika za proveru tačnosti više ograničenja H 0: RB=r (test Wald-ovog tipa): ¡ Nije uvek jednostavno da se izračuna, te se u praksi koristi varijanta (isto kao kod testiranja podskupa parametara):

Drugi postupak testiranja: složenija ograničenja (I) Za višestruki linearni model: Y=XB+e, može se govoriti o opštim lineranim ograničenjima. ¡ Nulta i alternativna hipoteza se definišu na sledeći način: H 0: RB=r ; H 1: RB≠r, gde je R poznata matrica tipa (g x k) i ranga g (g je broj ograničenja), a r je vektor poznatih vrednosti dimenzije g x 1. ¡ Npr. ukoliko u je modelu sa tri objašnjavajuće promenljive g=2, odnosno testiramo dva ograničenja(β 1=β 2 i β 3=0), tada su u nultoj hipotezi:

Drugi postupak testiranja: složenija ograničenja (II) ¡ U glavi 9 udžbenika MP(2017) razmatran je model zavisnosti tražnje za hranom (Yi) od: ukupnog raspoloživog dohotka (X 1 i), cene hrane (X 2 i) i stope inflacije (X 3 i). Očekuje se da i promenljive iz prethodnog perioda utiču na tražnju, pa je početni model dat na sledeći način: ¡ Formulisati tvrđenje nulte hipoteze, kojom se može proveriti sledeće: 1) Da li cena hrane uopšte utiče na sopstvenu tražnju, jer je reč o osnovnom dobru. Postoji visok stepen inercije u kretanju tražnje za hranom (parcijalni koef. nagiba uz tražnju iz prethodnog perioda je jednak jedan) i postoji identičan stepen uticaja dohotka iz prethodnog i iz tekućeg perioda na kretanje tražnje. 2)

Drugi postupak testiranja: F-test ¡ Distinkcija između nulte i alternativne hipoteze: H 0: RB=r ; H 1: RB≠r, vrši se pomoću sledeće F statistike: gde se oznaka (O) odnosi na model sa ograničenjem, dok se za model bez ograničenja ponekad koristi oznaka (B), g je broj ograničenja. ¡ Na ovaj način se testira važenje većeg broj ograničenja (značajnost podskupa parametara modela predstavlja specijalan slučaj ovog testa).

Ocenjivanje parametara metodom ONK modela pod ograničenjem ¡ ¡ ¡ Vektor parametara takvog modela označen je sa (B*). Minimizira se rezidualna suma kvadrata, uz uslov postavljen nultom hipotezom: RB=r, tj. u centriranim podacima Rb=r. Formira se pomoćna funkcija Lagranžovih multiplikatora: gde je λ’ vektor od g elemenata Lagranžovih multiplikatora. ¡ Uslov za minimum: prvi izvodi funkcije Q po b* i λ se izjednačavaju sa nulom.

Ocene dobijene metodom ONK modela pod ograničenjem ¡ ¡ Metod ONK pod ograničenjem dobijaju se NLNO (bez dokaza)! E(b*)=β, odnosno ocene su nepristrasne ukoliko važi nulta hipoteza. Pri tome: Ocene dobijene metodom ONK modela pod ograničenjem daje manje varijanse ocenjenih parametara nego ocena bez ograničenja.

Primer ¡ ¡ Ako je Cobb-Douglasova proizvodna funkcija oblika Y=β 0 Kβ 1 Lβ 2 eu, gde je Y proizvodnja, K kapital i L rad, ocenjena na bazi podataka za SAD za period 1 Q 19601 Q 1991 (primer: Asteriou and Hall, 2015): T=125

Primer (nastavak) a) b) c) d) e) Testirati statističku značajnost pojedinačnog uticaja rada i kapitala na proizvodnju, na nivou značajnosti α = 0, 05. Testirati statističku značajnost istovremenog uticaja objašnjavajućih promenljivih na zavisnu, na nivou značajnosti α = 0, 05. Testirati hipotezu da rad i kapital ostvaruju jednak efekat na kretanje proizvodnje. Testirati hipotezu da rad ostvaruje dvostruko veći efekat na kretanje proizvodnje u odnosu na kapital. Testirati hipotezu da su u datoj grani industrije prinosi konstantni (β 1+β 2=1). Predložiti pojednostavljenje funkcije ako se ocenjuje pod datim ograničenjem.

Primer: CD funkcija (nastavak) ¡ Model bez ograničenja: cov(b 1, b 2)=-0. 0003372; ¡ ¡ Model ocenjen pod ograničenjem (pod e)H 0: β 1+β 2=1): Rezultat Wald-ovog testa: t-statistic F-statistic 0. 082798 122 0. 006855 (1, 122) 0. 9341