Sistemi simultanih jednaina Ekonometrija IV godina Predava Aleksandra

Sistemi simultanih jednačina Ekonometrija, IV godina Predavač: Aleksandra Nojković Beograd, školska 2016/17

SSJ: Struktura predavanja ¡ Uvod: osnovne definicije SSJ ¡ Posledice ignorisanja simultanosti ¡ Problem identifikacije ¡ Ocenjivanje sisitema simultanih jednačina

Sistemi simultanih jednačina (SSJ) ¡ Do sada analizirani ekonometrijski modeli razmatrali su problem jedne zavisne promenljive (Y) za date vrednosti objašnjavajućih promenljivih (X 1, X 2. . . ), definisan u okviru jedne jednačine. ¡ Međutim, ekonomske promenljive su veoma često međuzavisne. Usled uzajamnog dejstva nije moguće fiksirati jednu promenljivu i posmatrati njen efekat na drugu (npr. cene utiču na tražnju, ali tražnja zajedno sa ponudom utiče na formiranje cena). ¡ Kako bi smo razmatrali ovakve slučajeve, neophodno je posmatrati više jednačina u isto vreme.

Primer 1 : Model ponude i tražnje za određenim proizvodom ¡ Sistem: gde je Qt količina koja se nudi, odnosno traži, Pt je cena datog proizvoda, a Yt raspoloživi dohodak. ¡ Ove tri jednačine, za dati dohodak, određuju ponuđenu i traženu količinu i cenu proizvoda, kad je tržište u ravnoteži. Ove promenljive određene unutar sistema nazivamo endogenim promenljivima. ¡ Promenljiva dohodak je određena van posmatranog sistema i naziva se egzogena promeljiva.

Primer 2: Jednostavan makroekonomski model ¡ Strukturna forma modela: potrošnja - Ct = o + 1 Yt + 1 t investicije - It = 0 + 1 Yt + 2 Yt-1 + 2 t društveni pr. - Yt = Ct + It + Gt.

Strukturna forma sistema ¡ Razmatrani model ponude i tražnje sastoji se od jednačina koje imaju jasnu ekonomsku interpretaciju. ¡ Ove jednačine se nazivaju strukturne jednačine (jednačine strukturne forme). ¡ Strukurnim jednačinama se endogene promenljive izražavaju kao funkcija drugih endogenih promenljivih, predeterminisanih promenljivih (egzogene i endogene promenljive s docnjom) i grešaka. ¡ Strukturni parametri u svakoj jednačini mere direktne efekte objašnjavajućih promenljivih na zavisnu.

Posledice ignorisanja simultatnosti ¡ U strukturnoj formi narušena je pretpostavka KLRM da objašnjavajuće promenljive uzimaju fiksirane vrednosti (pokazati da postoji zavisnost greške jednačine i eksplanatorne promenljive). ¡ Primenom metoda ONK dobijaju se pristrasne ocene parametara strukturne forma. ¡ Pristrasnost neće nestati povećavanjem obima uzorka – ocene ONK su nekonzistentne…pokazati!

Redukovana forma modela ponude i tražnje ¡ Kada je broj jednačina jednak broju endogenih promenljivih (kompletan sistem), moguće ga je rešiti po egzogenim (predeterminisanim) promenljivima. ¡ Redukovana forma: gde je Qt ujedno tražena i ponuđena količina. ¡ Koeficijenti redukovane forme mere ukupne efekte (direktne i indirektne) promena predeterminisanih prom. na endogene promenljive.

Makroekonomski model (primer 2) ¡ Redukovana forma izražena preko parametara strukturne forme:

Ocenjivanje redukovane forme (nastavak) ¡ Metod ONK obezbeđuje dobijanje konzistentnih ocena. ¡ Endogenost ≠ Uzročnost ¡ Koncept slabe egzogenosti – korišćen prilikom definisanja redukovane forme. ¡ Koncept uzročnosti u smislu Granger-a…objasniti! ¡ Koncept jake egzogenosti: Xt je slabo egzogena promenljiva + ne uzrokuje je Yt-1 u smislu Granger-a.

Svojstva ocena dobijena različitim metodama ocenjivanja Metod ONK IP (2 SNK) Egzogenost Endogenost konzistentna, efikasna nekonzistentna, neefikasna konzistentna

Hausman-ov test specifikacije ¡ Formalno tvrđenje H 0 je da među ocenjenim koeficijentima nema sistematske razlike: ¡ Testiranje se zasniva na Wald-ovoj test statistici:

Hausman-ov test specifikacije (nastavak) ¡ Za izračunavanje asim. varijanse Hausman je predložio jednostavan postupak (usled nezavisnosti ovako dobijenih ocena): ¡ Postoji jednostavnije verzija ovog testa, poznatija kao Wu-ov test dodatih regresora – proverava sa endogenost pojedinačnih objašnjavajućih promenljivih…objasniti!

Hausman-ov test specifikacije (nastavak) ¡ U obe verzije testa hipoteze definišemo kao: H 0: Ocene dobijene po oba metoda (ONK i IP) su konzistentne, pri čemu su ocene ONK relativno efikasnije (razmatrana promenljiva je egzogena). H 1: Ocene dobijene metodom IP su konzistentne, dok metod ONK daje nekonzistentne ocene (razmatrana promenljiva je endogena).

Strukturna forma modela (matrična notacija) ¡ Strukturna forma: gde je u М jednačina sa yt’ obeležen vektor od М endogenih prom. (y 1 y 2…y. M); sa xt’ obeležen je vektor od K egzogenih/predeterminisanih prom. (x 1 x 2. . . x. K), dok je sa εt’ označen vektorslučajnih greški(εt 1 εt 2 … εt. M). ili transponovanjem sistem zapisujemo kao:

Strukturna forma modela (matrična notacija) - nastavak ¡ Strukturna forma u razvijenom obliku:

Redukovana forma (matrična notacija) ¡ Redukovana forma: odnosno: ¡ Nakon transponovanja redukovana forma postaje: ¡ Sistem je na ovaj način moguće rešiti ako je kompletan (matrica Γ nije singularna). ¡ Broj jednačina jednak broju endogenih promenljivih.

Redukovana forma (matrična notacija) - nastavak ¡ Redukovana forma u razvijenom obliku:

Makroekonomski model (primer 2) ¡ Redukovana forma izražena u matričnoj notaciji (pokazati…): ¡ Vektor grešaka u redukovanoj formi:

Redukovana forma (matrična notacija) – alternativni zapis ¡ Redukovana forma: gde se u okviru vektora xt odvojeno posmatraju pomaknute endogene (yt-1) i egzogene (wt) i pomaknute egzogene (wt-1) promenljive. ¡ Rekurzivnom zamenom izraza dolazimo do finalne forme modela – omogućava da sagledamo efekte egzogenih promenljivih (tekućih i nakon određenog broja perioda). ¡ Dinamički multiplikator – zbir tekućih i složenih efekata egzogene promenljive.

Ukupni (ravnotežni) multiplikator ¡ Dobija se sabiranjem tekućeg efekta i beskonačne serije složenih efekata: ¡ Model je stabilan ukoliko su sve karakteristične vrednosti matrice ∏ 1 po modulu manje od jedan. ¡ Takođe, predviđanje u SSJ se vrši iz ocenjene redukovane forme (pokazati…).

Problem identifikacije ¡ Veza između parametara strukturne i redukovane forme je: odnosno ¡ Mogućnost dobijanja rešenja za parametre strukturne forme preko ocenjenih parametara redukovane forme naziva se identifikacija.

Formalni uslovi identifikacije ¡ ¡ 1) 2) 3) ¡ ¡ Uslov reda (potreban uslov): Broj apriornih ograničenja (R) ne sme biti manji od broj endogenih promenljivih u sistemu (broj jednačina) umanjenih za jedan (M-1) Razlikujemo tri situacije: R < M-1 – jednčina je nedovoljno identifikovana R=M-1 - jednačina je tačno identifikovana. R > M-1 – jednčina je prekomerno identifikovana. Alternativno, potreban uslov (uslov reda) identifikovanosti jeste da broj egzogenih (predeterminisanih) promenljivih u sistemu ne bude manji od broja parametara u jednačini. Uslov ranga: potreban i dovoljan uslov identifikovanosti.

Metod indirektnih najmanjih kvadrata (INK) ¡ Jednoznačne ocene parametara strukturne forme mogu se dobiti iz ocenjenih koeficijenata redukovane forme ako je jednačina tačno identifikovana. ¡ Dodatno, mora biti ispunjen i uslov ranga, kao i pretposlavke o stohastičnosti KLRM u redukovanoj formi modela. ¡ Metod se još naziva i metod redukovane forme. ¡ Ocene su pristrasne, ali konzistentne (pristrasnost iščezava sa rastom uzorka).

Metod INK (nastavak) ¡ Metod INK je prevaziđen u praktičnim istraživanjima iz dva razloga: 1) Većina simultanih jednačina je prekomerno identifikovana. 2) Za sisteme sa većim brojem jednačina ponekad je vrlo zahtevno rešiti i oceniti jednačine redukovane forme. ¡ Alternativu predstavlja metod dvostepenih najmanjih kvadrata; 2 SNK (za tačno identifikovane jednačine ocene INK i 2 SNK su jednake).

Metod dvostepenih najmanjih kvadrata (2 SNK) ¡ Najvažnji metod ocenjivanja u grupi metoda ocenjivanja pojedinačnih jednalina. ¡ Primenjuje se i na tačno i na prekomerno identifikovane jednačine. ¡ Metod 2 SNK daje pristrasne, ali konzistentne ocene. ¡ Endogene promenljive koje su regresori u strukturnim jednačinama, zamenjuju se linearnim funkcijama svih predeterminisanih promenljivih.

Ocenjivanje u dva stepena ¡ U prvom stepenu ocenjivanja primenjuje se metod ONK na redukovanu formu, da se dobije ocenjena vrednost za endogenu objašnjavajuću promenljivu Pt ( ). ¡ U drugom stepenu ocenjivanja, po drugi put se primenjuje metod ONK u regresiji zavisne promenljive Qt na predeterminisane i ocenjene endogene promenljive (ocenjenu vrednost Pt iz redukovane forme):

Metod 2 SNK (nastavak) ¡ Endogene promenljive, korelisane sa greškama jednačine, zamenjuju se svojim ocenama iz redukovane forme (predeterminisane prom. u limesu verovatnoće nisu korelisane sa greškama jednačine). ¡ Reč je metodu instrumentalnih promeljivih, u kome se kao instrumenti za endogene prome. koriste njihove ocene iz redukovane forme. ¡ Ocene iz redukovane forme su najbolji instrumenti (u slučaju ispravne specifikacije modela): visoko korelisani sa orig. vednostima endogenih promenljivih i nekorelisae sa greškom jednačine).

Metod instrumentalnih promenljivih ¡ Metod 2 SNK se može predstaviti kao primena metoda instrumentalnih promenljivih na strukturne jednačine. ¡ Matrica instrumenata sadrži ocenjene vrednosti endogenih promenljivih iz prvog stepena ocenjivanja, a predeterminisane promenljive koje se javljaju u jednačini su sopstveni instrumenti: ¡ Jednostavno se pokazuje jednakost ocena ONK u drugom stepenu ocenjivanja i ocena dobijenih metodom inst. promenljivih: gde je X –vektor originalnih objašnjavajućih promenljivih iz strukturne forme (npr. u jednačini tražnje X = (Pt Yt), dok je y – zavisna promenljiva (Qt).

Metod IP (nastavak) ¡ U klasi instrumentalnih promenljivih koje su linearne funkcije predeterminisanih varijabli, varijable Z su najbolji instrumenti, odnosno imaju najmanje varijanse. ¡ Preko konzistentnosti ocena dobijenih metodom 2 SNK, dokazuje se da i metod instrumentalnih promenljivih daje konzistentene ocene.

Metodi ocenjivanja SSJ ¡ ¡ Metodi sa ograničenom informacijom (metodi ocenjivanja pojedinačnih jednačina): INK, 2 SNK (IP) i metod MV. Metodi sa potpunom informacijom (ocenjivanje svih jednačina istovremeno): 3 SNK i metod MV.

Metodi sa potpunom informacijom (3 SNK) ¡ Metod sa potpunom informacijom iz grupe metoda najmanjih kvadrata. ¡ Primenjuje se na sve jednačine sistema i daje ocene svih parametara sistema simultano. ¡ Uzima u obzir celu strukturu modela (sa svim ograničenjima na parametre), te je efikasniji od metoda kojim se ocenjuju pojedinačne jednačine. ¡ Koristi potpune informacije o strukturi modela, uključujući i međusobne zavisnosti grešaka pojedninih jednačina.

Metod 3 SNK (nastavak) ¡ Primena metoda NK u tri sukcesivna stepena. ¡ Komplikovanije računanje i zahteva veći broj opservacija nego metodi ocenjivanja pojedinačnih jednačina. Pretpostavke za primenu ovog metoda: Poznata je kompletna specifikacija celog sistema jednačina. Greške jednačina su neautokorelisane, ali su tekuće vrednosti grešaka međusobno zavisne. Sistem je identifikovan. Pre ocenjivanja se eliminišu identiteti i definicione jednačine, tako što zamenjuju odnosne varijable u sistemu. ¡ 1) 2) 3) 4)

Ocenjivanje u tri stepena ¡ U prvom stepenu ocenjivanja dobijaju se ocene endogenih promenljivih iz redukovane forme i zamenjuju na desnu stranu strukturnih jednačina. ¡ U drugom stepenu vrši se ocenjivanje tako transformisanih strukturnih jednačina (metod 2 SNK), da bi se dobile ocene grešaka raznih jednačina, iz kojih se ocenjuju njihove varijanse i kovarijanse. ¡ U trećem stepenu se te ocene varijansi i kovarijansi koriste za transformaciju originalnih promenljivih, odnosno primenu metoda UNK.

Osobine ocena 3 SNK ¡ Ocene 3 SNK su pristrasne, ali konzistentne. ¡ Ocene 3 SNK biće identične ocenama 2 SNK ako su greške jednačina međusobno nezavisne. ¡ Slično, ako su sve jednačine tačno identifikovane prema uslovu reda, ocene 2 SNK i 3 SNK su identične (moguće je primeniti ga samo na grupu/podskup prekomerno identifikovanih). ¡ Metod 3 SNK je efikasniji samo kad postoje međuzavisnosti grešaka različitih jednačina.

Nedostaci metoda 3 SNK ¡ Komplikovanije računanje, ali jednostavniji metod od MVPI. je i dalje ¡ Kako zahteva potpuno poznavanje specifikacije svih jednačina sistema i veliki broj opservacija, njegova primena se ne preporučuje kada je od interesa ocenjivanje samo jedne relacije u celom modelu. ¡ Vrlo je osetljiv na greške specifikacije (svaka od ovih grešaka se prenosi i u ostale relacije modela).

Izbor metoda ocenjivanja ¡ - Interes istraživača može biti: ocena ispravnosti nekih teorijskih koncepata (ocena parametara strukturne forme) - ocene numeričkih parametara radi donošenja odluka (koeficijenti redukovane forme) - uslovno predviđanje vrednosti endogenih promenljivih uz date pretpostavke o egzogenim (preko finalne forme modela).

Izbor metoda ocenjivanja (nastavak) ¡ Parametri strukturne forme se mogu konzistentno oceniti raznim ekonometrijskim tehnikama, kao i da se iz podataka uzorka za te ocene mogu izračunati ocene asim. varijanse. ¡ Koeficijenti redukovane forme se mogu oceniti metodom ONK, koja daje pristrasne i konzistentne ocene. ¡ Kod predviđanja vrednosti endogenih promenljivih (jedinstvene predviđene vrednosti) dobijaju se jednostavnom zamenom datih vrednosti predeterm. promenljivih u jednačinu finalne forme.

Izbor metoda ocenjivanja (nastavak) ¡ U slučaju upotrebe modela kod kojih se javlja nelinearnost promenljivih preporučuje se ocenjivanje metodom sa ograničenom informacijom (2 SNK). Prognoziranje i računanje multiplikatora u nelinearnim modelima je otežano. ¡ Sa dovoljnim brojem opservacija i ako su sve jednačine sistema identifikovane, svi parametri se mogu jedinstveno oceniti bilo kojim od razmatranih metoda. ¡ Metod 2 SNK je najčešće u upotrebi, osim u slučaju kada su greške jednačina međusobno zavisne, kada je potrebno koristiti metode sa potpunom informacijom.