Ekonometria stosowana WYKAD 1 Piotr Cikowicz Katedra Midzynarodowych

Ekonometria stosowana WYKŁAD 1 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Plan Czym się zajmiemy: 1. Ograniczenia i błędy modelowania ekonometrycznego 2. Modelowanie makroekonomiczne – perspektywa historyczna i współczesna 3. MNK – przypomnienie

Ograniczenia i błędy w modelowaniu ekonometrycznym

Ograniczenia i błędy w modelowaniu ekonometrycznym 1. Mechaniczne i bezkrytyczne stosowanie metod ekonometrycznych prowadzi do poważnych błędów 2. Modelowanie ekonometryczne musi być poprzedzone zrozumieniem relacji łączących analizowane zjawiska i przemyślanym formułowaniem hipotez badawczych 3. Bardzo ważne jest zrozumienie ograniczeń wynikających ze sposobu gromadzenia i charakterystyki danych używanych w analizie 4. Modele ekonometryczne mają ograniczenia i w efekcie nie zawsze są najlepszym narzędziem prognozowania zjawisk ekonomicznych

Ad. 1. Błędna postać modelowanej zależności ► Te same wyniki estymacji metodą MNK można otrzymać dla zupełnie różnych relacji łączących w rzeczywistości zmienne y i x. ► W przypadku większej liczby zmiennych objaśniających zidentyfikowanie tego typu problemu jest trudniejsze i wymaga zastosowania odpowiednich testów specyfikacji Źródło: Maddala, Ekonometria

Ad. 1. Błędna postać modelowanej zależności ► W analizie danych panelowych: zastosowanie modelu typu pooled w przypadku, w którym parametry strukturalne są zróżnicowane między jedostkami tzn. vs. Źródło: Maddala, Ekonometria

Ad. 2. Analiza trendów – jaki horyzont? (1) Kurs USD/PLN i EUR/PLN w ostatnich kilku miesiącach ► Kurs walutowy: w horyzoncie kilku miesięcznym nastąpiło silne osłabienie złotego w drugiej połowie 2008 r… Źródło: Reuters Ecowin.

Ad. 2. Analiza trendów – jaki horyzont? (2) Kurs USD/PLN i EUR/PLN w latach 1999 -2008 … jednakże horyzont wieloletni pokazuje, że z porównywalnymi wahaniami kursu złotego mieliśmy już do czynienia. Źródło: Reuters Ecowin.

Ad. 2. Analiza trendów – jaki horyzont? (3) Ceny nieruchomości w USA (indeks, ostatnie 10 lat) ► Ceny nieruchomości w USA: w ostatnich kilku latach miał miejsce systematyczny wzrost cen nieruchomości; ► Analiza trendu za ostatnie 10 lat sugeruje utrzymanie tej tendencji w przyszłości… Źródło: Shiller R. J. , The New Financial Order and the Current Financial Crisis, Marzec 2008.

Ad. 2. Analiza trendów – jaki horyzont? (4) Ceny nieruchomości w USA (indeks, ostatnie 117 lat) ► …dane za ostatnie 100 lat pokazują jednak, że dynamika cen w ostatnich latach była wyjątkowo duża i istotnie odbiegała od tendencji długookresowych; ► Wahania cen porównywalne do obecnych miały miejsce tylko w czasie I i II Wojny Światowej. Źródło: Shiller R. J. , The New Financial Order and the Current Financial Crisis, Marzec 2008.

Ad. 3. Skoki zatrudnienia w sektorze przedsiębiorstw na początku roku ► „Sezonowy” wzrost (spadek) zatrudnienia w sektorze przedsiębiorstw w styczniu w okresie przyspieszania (spowolnienia) gospodarczego wynika głównie z dostosowania próby przez GUS w styczniu każdego roku.

Ad. 4. Prognozowanie cen surowców – modelowanie czy oceny eksperckie? Średni błąd prognozy 1 kw. 4 kw. OE M Aluminium * Miedź * Ołów Nikiel 8 kw. Prognozowanie punktów zmiany trendu 1 kw. 4 kw. 8 kw. OE M * * * * Cyna * Cynk Pszenica OE M * * * * * * * * Kukurydza * * Soja * * * Mąka sojowa * * * Olej sojowy * * * Cukier * * * Bawełna * * * * * Kawa łagodna * * Kawa mocna * * Wynik 1 14 0 15 11 4 6 9 11 4 * * * ► Średni błąd prognozy jest niższy w modelach ekonometrycznych (M) niż przy ocenach eksperckich (OE)… ► …jednakże, oceny eksperckie często okazują się lepsze w prognozowaniu punktów zmiany trendu. OE – ocena ekspercka M – modelowanie ekonometryczne Źródło: Bowman, Husain, „Forecasting Commodity Prices: Futures Versus Judgment”, MFW, 2004.

Modele makroekonomiczne – perspektywa historyczna i współczesna

Modele makroekonomiczne – perspektywa historyczna (1) ►W latach 50 -tych i 60 -tych: ► wielorównaniowe modele składające się nierzadko z kilkuset, czasem kilku tysięcy równań (np. model Kleina dla gospodarki USA) ► luźno związane z teorią ekonomii, często oparte na koncepcji wektorowej autoregresji (VAR); ► prognozowały poprawnie w warunkach stabilności makroekonomicznej w latach 50 -tych i 60 -tych; ► od początku lat 70 -tych – prognozy bardzo mocno odbiegające od rzeczywistości.

Modele makroekonomiczne – perspektywa historyczna (2) ► Zmiana paradygmatu podejścia do modelowania wynikająca z hipotezy racjonalnych oczekiwań i tzw. krytyki Lucasa (lata 70 -te): ► uwzględnienie możliwości zmiany sposobu, w jaki gospodarstwa domowe formułują oczekiwania dotyczące przyszłości w reakcji na zmiany w polityce gospodarczej; ► uwzględnienie niepewności odnośnie do przyszłych zmian w gospodarce jako integralnej części modelu – poprzez wprowadzenie szoków o charakterze stochastycznym; ► efekt: modele DSGE (dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej), w których gospodarka jest poddawana różnym zaburzeniom o losowym, nie w pełni przewidywalnym charakterze.

Modele makroekonomiczne – perspektywa historyczna (3) ► Próba „zbliżenia” modeli DSGE do danych tzn. uwzględnienia tendencji wynikających z danych historycznych w ramach zdefiniowanych zależności teoretycznych (późne 80 te i wczesne 90 te). ► Efekt: modele hybrydowe złożone z (1) ścieżki równowagi długookresowej (wynikającej z teorii) oraz (2) ścieżki dochodzenia do równowagi (konstruowanej na podstawie danych) ► Modele hybrydowe I rodzaju: ► równowaga oparta o dość luźne założenia teoretyczne (np. proporcje w jakich pozostają zmienne), ► brak bezpośredniej specyfikacji ścieżki równowagi dla poszczególnych zmiennych, ► ścieżka dostosowań krótkookresowych – estymowana na podstawie danych z uwzględnieniem mechanizmu korekty błędem (Error Correction Mechanism, ECM).

Modele makroekonomiczne – perspektywa historyczna (4) ► Modele hybrydowe II rodzaju: ► głębsze osadzenie w teorii ekonomii: równowaga wyprowadzona z podstaw teoretycznych; ► uwzględnienie oczekiwań w opisie zachować podmiotów gospodarczych; ► bezpośrednia specyfikacja ścieżek równowagi długookresowej dla zmiennych; ► ścieżka dochodzenia do równowagi wyznaczana jak w modelach I rodzaju.

Modele makroekonomiczne – perspektywa historyczna (5) ► Wprowadzenie zasad teorii ekonomii uwzględnianych w modelowaniu równowagi długookresowej do modelowania ścieżki krótkookresowych dostosowań ► Efekt: niekompletne modele DSGE (Incomplete DSGE, IDSGE) ► Podobny stopień osadzenia w teorii ekonomii co w modelach DSGE ► Podział wstrząsów występujących w gospodarce na trwałe i przejściowe

Modele makroekonomiczne – wymienność celów (1) ► Główny problem w podejściu do modelowania makroekonomicznego to wymienność między: ► spójnością z teorią ekonomii, tzn. możliwością wyjaśnienia wyników modelu poprzez odniesienie do koncepcji funkcjonowania gospodarki ► spójnością z danymi, tzn. zdolnością modelu do wyjaśnienia obserwowanych w przeszłości zachowań gospodarki.

Modele makroekonomiczne – wymienność celów (2) Spójność teoretyczna ► Problem można przedstawić w postaci krzywej (Pagan, 2005): DSGE IDSGE ► Lewy kraniec: modele ściśle teoretyczne, lecz nie pokrywające się z rzeczywistymi obserwacjami Hybrydowy (typ II) ► Prawy kraniec: modele idealnie dopasowane do danych, których wyniki nie nadają się do interpretacji Hybrydowy (typ I) VARs Spójność empiryczna Źródło: Pagan, „Report on modelling and forecasting at the Bank of England”. ► W efekcie do oceny zjawisk zachodzących w gospodarce stosuje się zwykle kilka modeli różniących się konstrukcją

Przykład: modele makroekonomiczne EBC (1) ►Modele makroekonomiczne wykorzystywane w Europejskim Banku Centralnym: ►Podstawowe ► Area-Wide Model (AWM) ► Multi-Country Model (MCM) ►Pomocnicze ► Coenen-Wieland (C-W) ► Smets-Wouters (SW) ► Credit, Money and the Real sector (CMR) Źródło: Angeloni, Karlsson, „Econometric Models in Central Banks and the ECB Experience, Monetary Policy Conference, Norges. Bank; European Central Bank.

Przykład: modele makroekonomiczne EBC (2) ►Area-Wide Model (AWM) ►Wykorzystywany do tworzenia podstawowych prognoz oraz odpowiedzi na niektóre pytania związane z prowadzeniem polityki monetarnej (np. skutki szoków gospodarczych) ►Multi-Country Model (MCM) ►Składający się z około 1500 równań model tworzony przez kraje strefy euro wykorzystywany jest do uzyskiwania podstawowych prognoz makroekonomicznych. Źródło: Angeloni, Karlsson, „Econometric Models in Central Banks and the ECB Experience, Monetary Policy Conference, Norges. Bank; European Central Bank.

Przykład: modele makroekonomiczne EBC (3) ►Smets-Wouters (SW) ►Wykorzystywany do określania optymalnej ścieżki polityki monetarnej w warunkach niepewności oraz do identyfikacji szoków gospodarczych ►Coenen-Wieland (C-W) ►Wykorzystywany do analizy specyficznych zagadnień makroekonomicznych (np. ocena alternatywnych strategii dotyczących polityki monetarnej) ►Credit, Money and the Real sector (CMR) ►Wykorzystywany do analizy specyficznych zagadnień makroekonomicznych (np. rola pieniądza w gospodarce). Źródło: Angeloni, Karlsson, „Econometric Models in Central Banks and the ECB Experience, Monetary Policy Conference, Norges. Bank; European Central Bank.

Przykład: modele makroekonomiczne EBC (4) Modelowanie na poziomie krajowym Liczba równań Tworzenie regularnych prognoz Oparty na mikro podstawach Sektor finansowy Otwarty AWM nie 119 tak nie tak MCM tak 1498 tak nie tak C-W nie 6 nie tak nie S-W nie 9 nie tak nie CMR nie 26 nie tak nie Źródło: Angeloni, Karlsson, „Econometric Models in Central Banks and the ECB Experience, Monetary Policy Conference, Norges. Bank;

Metoda Najmniejszych Kwadratów przypomnienie

Postać liniowego modelu ekonometrycznego ► Analizujemy model regresji, w którym stosujemy k zmiennych objaśniających (wyraz wolny stanowi jedną ze zmiennych) postaci… ► …lub w postaci macierzowej

MNK – idea (3) ► MNK polega na wyznaczeniu ocen parametrów strukturalnych minimalizujących sumę kwadratów reszt , czyli odchyleń wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej od wartości empirycznych tej zmiennej tzn. funkcji postaci ► Przyrównując pochodną do zera otrzymujemy ► Otrzymany w ten sposób estymator MNK jest więc funkcją losową, gdyż wyznacza się go z wykorzystaniem wektora obserwacji empirycznych określonych wzorem na poprzednim slajdzie, którego rozkład jest zależny od rozkładu składnika losowego

MNK – idea (1)

MNK – założenia 1. Składniki losowe mają identyczne i niezależne rozkłady o wartości oczekiwanej 0 i skończonej wariancji σ2, czyli IID (0, σ2); czasami założenie to zastępuje się założeniem o normalności rozkładu składnika losowego 2. Zmienne objaśniające są liniowo niezależne, więc rz(X) = k, przy czym k jest mniejsze lub równe liczbie obserwacji n 3. Zmienne objaśniające są nielosowe, więc niezależne od składnika losowego

MNK – własności estymatora (1) ► Przy założeniach przedstawionych na slajdzie (29) estymator MNK ma następujące własności: ► Liniowy – parametry strukturalne są liniową funkcją poszczególnych wartości zmiennej objaśnianej ► Nieobciążony – wartość oczekiwana estymowanych parametrów jest równa ich rzeczywistej wartości ► Zgodny – estymowane wartości parametrów są stochastycznie zbieżne do prawdziwych wartości tzn. przez zwiększanie próby n możemy otrzymać estymator o wartości dowolnie bliskiej rzeczywistej wartości parametru z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 ► Najefektywniejszy – charakteryzuje się najmniejszą wariancja w klasie nieobciążonych, zgodnych estymatorów liniowych ► W skrócie mówimy, że estymator MNK jest liniowym nieobciążonym estymatorem liniowym o najmniejszej wariancji - BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) – jest to tzw. twierdzenie Gaussa – Markowa

MNK – własności estymatora (2) ► Jeśli potraktujemy strzał do tarczy jako estymator środka tarczy to poszczególne własności wyglądają następująco: ► Nieobciążony: strzały „skupiają” się wokół środka tarczy, a nie obok niego tzn. mamy celną wiatrówkę ► Zgodny: z każdym strzałem poprawiają się zdolności strzelającego tzn. przy pewnej liczbie powtórzonych strzałów z zadanym prawdopodobieństwem będzie strzelał w określonej odległości od środka tarczy ► Najefektywniejszy: strzelający jest mistrzem świata w strzelaniu do tarczy

MNK – własności estymatora (3) ► Liniowość estymatora MNK dotyczy liniowości względem parametrów, a nie względem zmiennych ► Oznacza to, że MNK można stosować do modeli ► trendu liniowego (mimo dyskretnego charakteru zmiennych) ► trendu innych postaci (potęgowego, logarytmicznego itp. ) ► wielomianowych ► logarytmicznych ► wykładniczych ► potęgowych ► ze zmiennymi binarnymi ► ze zmiennymi porządkowymi ► …. . ► …i stąd tak duża popularność MNK w modelowaniu

MNK – Własności arytmetyczne estymatora MNK (1) ► Przy oznaczeniach jak na slajdzie 4 estymator MNK dany jest wzorem: ► Obowiązują przy tym następujące zależności: ► Ponadto dla modelu z wyrazem wolnym i jedną zmienną objaśniającą odpowiednie macierze mają następującą postać:

MNK – Własności arytmetyczne estymatora MNK (2) ► Dla modelu z wyrazem wolnym i dwiema zmiennymi objaśniającymi macierze te mają postać:

MNK – Macierz kowariancji estymatora MNK (1) ► Macierz kowariancji estymatora MNK dana jest wzorem gdzie jest wariancją składnika losowego, która nie jest znana ► Estymator wariancji składnika losowego dany jest wzorem: stąd estymator macierzy kowariancji estymatora MNK przybiera postać:

MNK – Macierz kowariancji estymatora MNK (2) ► Macierz jest macierzą kwadratową i symetryczną o wymiarze równym liczbie szacowanych parametrów tzn. k+1 ► Jeśli poszczególne elementy macierzy oznaczymy jako to elementy stanowią oszacowania wariancji estymatorów poszczególnych parametrów strukturalnych.

Błędy szacunków parametrów ► Do wnioskowania o dokładności szacunków parametrów strukturalnych stosuje się odchylenia standardowe estymatora tych parametrów czyli: ► Wartość te nazywa się średnim błędem szacunku parametru j. Wartość ta stanowiłaby przeciętne odchylenie wartości wyestymowanego parametru, jeśli możnaby dokonać estymacji na innych próbach o tej samej liczebności. ► Do wnioskowania wygodniejszy jest tzw. średni względny błąd szacunku wyrażony w procentach wyestymowanej wartości parametru i opisany wzorem:

Testy istotności parametrów (1) ► Podstawowym testem stosowany do oceny istotności oszacowań parametrów strukturalnych jest test bazujący na statystyce t-Studenta. ► Testowany jest zestaw hipotez postaci: ► Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład t- Studenta z T-(k+1) stopniami swobody

Testy istotności parametrów (2) ► Sposoby testowania: a) Jeśli zachodzi gdzie to wartość odczytana z tablic rozkładu dla zadanej liczby stopni swobody i ustalonego poziomu istotności, to odrzucamy hipotezę zerową o braku istotności, zaś w przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do jej odrzucenia b) W praktyce łatwiej posługiwać się tzw. empirycznym poziomem istotności oznaczanym jako „wartość p” lub „p- value”. Jest to najniższy poziom istotności, przy którym odrzucalibyśmy hipotezę zerową. Jeśli wartość empirycznego poziomu istotności jest niższa od ustalonej do testowania wartości poziomu istotności to odrzucamy hipotezę zerową.

Testy łącznej istotności parametrów (test Walda) (1) ► Test Walda służy do testowania łącznej istotności zmiennych ujętych w modelu ► Testowany jest zestaw hipotez postaci: ► Ujmując to inaczej jest to test porównujący jakość dopasowania do danych dwóch modeli:

Testy łącznej istotności parametrów (test Walda) (2) ► Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład F-Snedecora przy liczbie stopni swobody k i T-(k+1) ► Hipotezę zerową o braku istotności należy odrzucić jeśli gdzie to wartość statystyki odczytana z tablic rozkładu

Uogólniony test Walda dla restrykcji liniowych ► Test Walda łącznej istotności parametrów jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego testu, gdzie weryfikacji poddawany jest zestaw hipotez ► Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład F-Snedecora przy liczbie stopni swobody q i T-(k+1), gdzie q liczba nałożonych restrykcji, e i v to wektory reszt dla modeli, odpowiednio, bez i z resrykcjami ► Ta postać testu wykorzystywana jest m. in. do testowania postaci funkcyjnej modelu (test RESET), stabilności strukturalnej (test Chowa), kompletności zestawu zmiennych objaśniających (test Davidsona –Mac. Kinona)

Współczynnik determinacji (1) ► Współczynnik determinacji (R^2) jest naturalna miarą jakości dopasowania modelu do danych empirycznych ► Informuje w jakim stopniu zmienność zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona przez model ► Wyprowadzenie wzoru

Współczynnik determinacji (2)

Współczynnik determinacji (3) ► Dzieląc stronami przez otrzymujemy:

Współczynnik determinacji (4) ► Inne postacie wzorów (w zapisie macierzowym): ► Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału <0; 1> ► Interpretacja: współczynnik determinacji informuje, ile procent zmienności zmiennej objaśnianej zostało wyjaśnione przez model. ► Ograniczenia współczynnika determinacji: ► Nadaje się do oceny dopasowania modelu, w którym relacja między zmiennymi objaśniającymi a objaśnianą jest liniowa, a parametry zostały wyestymowane MNK

Współczynnik determinacji (5) ► Ograniczenia współczynnika determinacji: ► nadaje się do oceny dopasowania modelu, w którym relacja między zmiennymi objaśniającymi a objaśnianą jest liniowa, a parametry zostały wyestymowane MNK; ► przyjmuje wartości unormowane (od 0 do 1), jeśli w modelu jest wyraz wolny ► jest on rosnącą funkcją liczby zmiennych objaśniających modelu (dlaczego? ), stąd nie nadaje się do porównywania jakości dopasowania modeli o różnej liczbie zmiennych

Współczynnik determinacji (6) ► Inne postacie współczynnika determinacji: ► Skorygowany: koryguje wpływ różnej liczby zmiennych na R^2 nakładając „karę” za każdą dodatkową zmienną; stosuje się go przy porównywaniu modeli o różnej liczbie zmiennych; współczynnik ten nie jest unormowany i może przyjmować ujemne wartości ► Niescentrowany: stosowany do oceny dopasowania modeli bez wyrazu wolnego; przyjmuje wartość z przedziału <0; 1>

Alternatywne miary dopasowania modelu – kryteria informacyjne ► Kryteria informacyjne bazują na koncepcji, w której z jednej strony brana jest pod uwagę ilość informacji zawarta w modelu (mierzona logarytmem funkcji wiarygodności), z drugiej zaś poziom złożoności (liczba zmiennych modelu). Im większa wartość kryterium, tym gorsze dopasowanie modelu. ► Kryterium Akaike’a: ► Kryterium Schwarza: ► Kryterium Hannana-Quinna:

Dziękuję za uwagę