Ekonometria stosowana WYKAD 4 Piotr Cikowicz Katedra Midzynarodowych

Ekonometria stosowana WYKŁAD 4 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Modele zmiennej jakościowej ► Zmienne jakościowe stosowane są do kwantyfikacji cech jakościowych np. płci, przedziału dochodów, jakości produktu itp. ► Bardzo często zmienne te przyjmują postać binarną (zerojedynkową) np. 1 - kobieta, 0 - mężczyzna ► Modele zmiennej jakościowej to takie, w których zmienną objaśnianą w modelu jest zmienna jakościowa zazwyczaj zerojedynkowa. ► Zmienne objaśniające mogą być zarówno zmiennymi jakościowymi, jak i ilościowymi ► Postać funkcyjna zależności może być różna, w szczególności może mieć charakter nieliniowy

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (1) ► LMP w postaci teoretycznej zapisujemy jako gdzie y(i) jest zmienną zero-jedynkową ► Wartości empiryczne zmiennej objaśnianej są równe 0 lub 1, jednak wartości teoretyczne (wynikające z modelu) nie mają takich ograniczeń ► Jaka jest interpretacja wartości teoretycznych y(i)? Co oznacza wartość 0. 3, jeśli zmienna objaśniana przyjmuje wartość 1, gdy dana osoba jest bezrobotna, a 0 gdy pracująca? ► Należy zauważyć, że: natomiast z postaci funkcyjnej modelu wynika, że

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (2) ► Z powyższego wynika że: co oznacza, że wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej może być interpretowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna y(i) przyjmie wartość 1 ► Interpretacja parametrów strukturalnych LMP odnosi się do zmian prawdopodobieństwa w reakcji na jednostkową zmianę wartości zmiennej objaśniającej przy innych czynnikach niezmienionych.

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (3) ► Przykład: oszacowano LMP postaci: gdzie y(i) przyjmuje wartość 1, gdy dane gospodarstwo domowe posiada mieszkanie na własność i 0 w pozostałych przypadkach, zaś zmienna x określa miesięczny dochód rozporządzalny gospodarstwa domowego w tys. zł. ► Przy dochodzie rozporządzalnym równym 10 tys. zł prawdopodobieństwo tego, że dane gospodarstwo domowe posiada mieszkanie na własność wynosi 0. 5, zaś wzrost dochodu o 1 tys. zł prowadzi do wzrostu prawdopodobieństwa posiadania mieszkania o 0. 03.

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (4) Główne ograniczenia LMP: ► Ograniczenie nr 1: ► składniki losowe w LMP nie mają rozkładu normalnego; ► analizując własności składnika losowego na podstawie poznanych wcześniej testów, dochodzimy do wniosku, że charakteryzuje się on heteroskedastycznością gdyż zachodzi: ► utrudniona jest więc ocena istotności dokonywana na podstawie standardowych testów ► Ograniczenie nr 2: ► teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej mogą być mniejsze od 0 i większe od 1 ► uniemożliwia to ich interpretację w kategoriach prawdopodobieństwa

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (5)

Estymacja modelu logitowego i probitowego ► Metoda estymacji: Metoda Największej Wiarygodności ► Metoda ta umożliwia dobranie parametrów rozkładu tak, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zaobserwowania bieżącej próby ► W zależności od modelu (logitowy vs probitowy) funkcja F przybiera postać lub ► W praktyce stosuje się postać zlogarytmowaną:

Model logitowy (1) ► Model logitowy bazuje na funkcji logistycznej określonej wzorem ► Przykład funkcji logistycznej:

Model logitowy (2) ► Funkcję logistyczną można sformułować w innej wersji, w której przyjmuje wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do modelowania prawdopodobieństwa: ► Model prawdopodobieństwa ma więc postać: gdzie: ► Z powyższego wynika, że

Model logitowy (3) ► Logit to logarytm ilorazu szans, czyli relacji prawdopodobieństwa zdarzenia, dla którego y przyjmuje wartość 1 i zdarzenia przeciwnego – relacja z zakładów bukmacherskich ► Przykład: przy strzelaniu do tarczy i prawdopodobieństwie trafienia w jej środek równym 0. 33 iloraz szans wynosi ½, czyli szansa na trafienie vs. szansa na nietrafienie mają się jak 1 do 2. ► Iloraz szans ma postać zaś logit:

Model logitowy (4) ► Z powyższego wynika interpretacja parametrów strukturalnych, która jest inna niż w LMP. ► Z powyższego wynika, że zmiana wartości zmiennej jednostkę prowadzi do wzrostu ilorazu szans o o ► Wpływ zmian wartości zmiennej na wartość prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną objaśnianą wartości 1 definiujemy jako efekt krańcowy i wyznaczamy ze wzoru

Model logitowy (5) ► Uwaga do interpretacji efektu krańcowego: wartość efektu krańcowego jest funkcją wartości pozostałych zmiennych objaśniających modelu. Oznacza to, że efekt krańcowy jest nieliniowy: ► wpływ na prawdopodobieństwo tej samej zmiany jednostkowej zmiennej objaśniającej prowadzi do innej zmiany prawdopodobieństwa w zależności od pozostałych wartości zmiennych objaśniających ► wartość efektu krańcowego podaje się dla zadanej wartości wszystkich zmiennych objaśniających modelu. ► W pakietach ekonometrycznych podaje się efekty krańcowe dla średniej wartości prawdopodobieństwa.

Model logitowy (6) ► Standardowe miary dopasowania (stosowane w przypadku zwykłego modelu liniowego) w modelu logitowym nie znajdują zastosowania. ► W modelu logitowym stosuje się inne metody estymacji, gdyż jest to model nieliniowy. Zazwyczaj jest to Metoda Największej Wiarygodności, gdzie maksymalizuje się funkcję wiarygodności postaci ► Na podstawie tej metody wyznacza się (wyliczany standardowo w większości pakietów) współczynnik pseudo-R^2 Mc. Fadena : gdzie LMP to wartość funkcji wiarygodności dla pełnego modelu (zawierającego wszystkie zmienne objaśniające) zaś LMZ to wartość funkcji wiarygodności dla modelu zredukowanego do wyrazu wolnego

Model logitowy (6) ► Druga standardowa miara dopasowania bazuje na tzw. tablicy trafności prognoz ex post konstruowanej według następujacej procedury: ► po estymacji parametrów modelu dokonuje się oszacowania wartości teoretycznych prawdopodobieństw według wzoru: ► dla tak wyznaczonych prawdopodobieństw wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej według ► (1) jeśli próba jest zbilansowana tzn. liczba 0 i 1 dla zmiennej objaśnianej jest mniej więcej równa ► (2) jeśli próba jest niezbilansowana, przy czym jest równa udziałowi wartości 1 w wartościach Y(i) (tzw. metoda optymalnej wartości granicznej Cramera)

Model logitowy (7) ► w kolejnym kroku tworzy się tablicę postaci: Empiryczne Teoretyczne Razem Y=1 Y=0 Y=1 N 10 N 1. Y=0 N 01 N 00 N 0. Razem N. 1 N. 0 N ► wyznaczamy wartość tzw. R^2 zliczeniowego postaci

Model probitowy ► W modelu probitowym wartość prawdopodobieństwa określona jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego tzn. gdzie: ► Efekty krańcowe w tym modelu mają postać gdzie jest funkcją gęstości standardowego rozkładu normalnego ► Relacja między parametrami modelu logitowego i probitowego jest dana wzorem

Uporządkowany model zmiennej jakościowej (1) ► W wielu sytuacjach jakościowa zmienna objaśniana ma postać dyskretną, lecz przyjmuje więcej niż dwie wartości np. ► zatrudnienie: brak, część etatu, cały etat ► wybór środka transportu: tramwaj, autobus, samochód ► W takim przypadku modele binarne zastępowane są modelami wielomianowymi (multiresponse model). ► W zależności od rodzaju zmiennej objaśnianej rozróżniamy modele ► uporządkowane (1 przykład), w których zmienna objaśniana zawiera ustrukturyzowane logicznie odpowiedzi; w takim modelu wyniki estymacji modelu są wrażliwe na zmianę uporządkowania ► nieuporządkowane (2 przykład) – odwrotnie; w wielu przypadkach bazują na założeniu, że alternatywne wartości zmiennej objaśnianej mają przypisane losowe użyteczności, z których wybierana jest najwyższa

Uporządkowany model zmiennej jakościowej (2) ► Dla postać modelu uporządkowanego: ► Wartości graniczne dla poszczególnych przedziałów nie są znane, przyjmuje się natomiast ► Prawdopodobieństwo, że zmienna y przyjęła wartość j jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna y* znalazła się między wartościami granicznymi i. ► Zakładając, że składnik losowy ma rozkład normalny otrzymujemy uporządkowany model probitowy, w przypadku rozkładu logistycznego – uporządkowany model logitowy.

Uporządkowany model zmiennej jakościowej (3) ► Przykład: badanie rynku pracy w województwie ze zmienną jakościową o wartościach: ► 1 - brak zatrudnienia ► 2 - zatrudnienie na część etatu ► 3 – zatrudnienie na pełny etat ► Dla wybranego zestawu zmiennych objaśniających x zakładamy, że istnieje określona wartość indeksu wyznaczona przez , taka, że wartości powyżej tego indeksu odpowiadają przeciętnie wyższym wartościom zmiennej y*. ► W takim przypadku model ma postać:

Uporządkowany model zmiennej jakościowej (4) ► Prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną y poszczególnych wartości są równe (dla modelu probitowego) ► Wartość parametru granicznego jest estymowana łącznie z parametrami strukturalnymi ► Interpretacja znaku parametru strukturalnego w takim modelu jest podobna jak w przypadku modelu binarnego ► O ile jednak przy dodatnim parametrze strukturalnym wzrost wartości danej zmiennej objaśnianej podwyższa prawdopodobieństwo y(i)=3 i obniża prawdopodobieństwo y(i)=1, o tyle wpływ na prawdopodobieństwo y(i)=2 jest niejednoznaczny!

Uporządkowany model zmiennej jakościowej (5) ► Standardowo w uporządkowanym modelu probitowym i logitowym nakłada się ograniczenia pozwalające na normalizację wyników. Restrykcje te dotyczą zazwyczaj wariancji składnika losowego (wartość 1 ) oraz wyrazu wolnego (wartość 0). ► W modelu probitowymbez nałożonych restrykcji normalizacyjnych mamy: ► Prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną y wartości 1 jest więc równe ► Oznacza to, że zmiana parametrów nie prowadzi do zmiany prawdopodobieństw, jeśli relacja parametrów są stałe

Dziękuję za uwagę