EKONOMETRIA DYNAMICZNA WYKAD 4 Sabina Nowak Katedra Ekonometrii

EKONOMETRIA DYNAMICZNA WYKŁAD 4 Sabina Nowak Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania Uniwersytet Gdański

PRZYKŁAD WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017

PRZYKŁAD LOGARYTMICZNE STOPY ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017

PRZYKŁAD ARMA(2, 0) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Hipoteza zerowa: efekt ARCH nie występuje Statystyka testu: LM = 360, 806 z wartością p = P(Chi -kwadrat(5) > 360, 806) = 8, 24869 e-076

MODELOWANIE PROCESÓW FINANSOWYCH O WYSOKICH CZĘSTOTLIWOŚCIACH Specyficzne cechy szeregów o wysokich częstotliwościach: § występowanie wysokiej zmienności (volatility) niejednorodność składników zakłócających, MNK ? ? § estymatory parametrów strukturalnych klasy MNK stają się nieefektywne, choć nadal są nieobciążone i zgodne § estymatory wariancji zakłóceń są obciążone § wnioskowanie o istotności parametrów strukturalnych ? ? ? § jeśli niejednorodność składników zakłócających wynika z błędów specyfikacji modelu, wtedy specyfikację należy poprawić § jeśli poprawa specyfikacji nie jest możliwa, stosuje się uogólnioną wersję metody najmniejszych kwadratów § model szacowany jest metodą największej wiarygodności, a informacja zawarta w równaniu określającym zmiany wariancji jest wykorzystana w funkcji wiarygodności

MODELOWANIE PROCESÓW FINANSOWYCH O WYSOKICH CZĘSTOTLIWOŚCIACH Cechy charakterystyczne modeli ARCH: § możliwość objaśniania wielu skomplikowanych (także nieliniowych) mechanizmów generowania zmiennych § możliwość opisywania zjawiska tzw. grupowania wariancji (variance clustering), które polega na tym, że mała i duża zmienność badanego zjawiska występują po sobie, tworząc nieregularne serie zmniejszonej i zwiększonej zmienności. Możliwość zastosowań modeli typu ARCH do modelowania zjawisk grupowania wariacji spowodowała wzrost zainteresowania tego typu modelami przez ekonometrię finansową. Modele ARCH wykorzystywane są w teorii finansów, w wycenie aktywów oraz w analizie ryzyka.

MODELOWANIE PROCESÓW FINANSOWYCH O WYSOKICH CZĘSTOTLIWOŚCIACH Zwykła stopa zwrotu Kapitalizacja okresowa Rozkład taki sam jak rozkład ceny (z dokładnością do parametru skali i położenia) Logarytmiczna stopa zwrotu Kapitalizacja ciągła Rozkład jest logarytmicznym przekształceniem rozkładu ceny Rozkład zwykłe stopy zwrotu jest ucięty – nie można przybliżać go rozkładem normalnym Brak takiego ograniczenia – można przybliżać rozkład logarytmicznych stop zwrotu rozkładem normalnym Nie są addytywne: Są addytywne k-okresowa zwykła stopa zwrotu nie jest równa sumie k-okresowa logarytmiczna stopa zwrotu jest równa k jednookresowych zwykłych stóp zwrotu sumie k jednookresowych logarytmicznych stop zwrotu Analiza portfelowa Brak takiej własności dla logarytmicznych stóp zwrotu Stopa zwrotu z portfela jest średnią ważoną prostych stóp zwrotu z pojedynczych walorów należących do

MODELOWANIE PROCESÓW FINANSOWYCH O WYSOKICH CZĘSTOTLIWOŚCIACH

MODELOWANIE PROCESÓW FINANSOWYCH O WYSOKICH CZĘSTOTLIWOŚCIACH Przyczyny takiego sposobu kształtowania się rozkładów stóp zwrotu: § nieregularny dopływ informacji na rynek, na podstawie których podejmowane są decyzje inwestorów główna przyczyna grupowania wariancji § występowanie okresów bez transakcji (non-trading periods) § handel nie odbywa się w soboty i w niedziele oraz w święta dni niehandlowe są rozłożone w pewnym stopniu nierównomiernie § w dni handlowe handel odbywa się w wyznaczonych godzinach, kiedy przyjmowane są zlecenia kupna i sprzedaży; ale nawet w dni handlowe są walory, na które nie są składane zlecenia § decyzje są podejmowane są pod wpływem informacji; gdyby informacje z dni niehandlowych kumulowały się liniowo, wtedy np. wariancja stóp zwrotu z piątku na poniedziałek powinna być trzykrotnie większa niż z poniedziałku na wtorek, z wtorku na środę itp. Jednak w okresach niehandlowych informacje nie kumulują się liniowo. Chociaż efekt kumulowania informacji występuje, to na pewno w stopniu znacznie mniejszym, co może wynikać również z tego, że w dni niehandlowe dopływ informacji o istotnym znaczeniu jest dużo mniejszy

MODELOWANIE PROCESÓW FINANSOWYCH O WYSOKICH CZĘSTOTLIWOŚCIACH Przyczyny takiego sposobu kształtowania się rozkładów stóp zwrotu c. d. : § zmienność kursów instrumentów finansowych zależy od przewidywań dotyczących zdarzeń, których prawdopodobieństwo jest relatywnie wysokie. Rynek dyskontuje informacje, które są oczekiwane. Dotyczy to zdarzeń, które zachodzą na rynkach finansowych regularnie, np. ogłoszenia komunikatów o sytuacji finansowej spółek, zebrania Rady Polityki Pieniężnej, informacji ogłaszanych przez GUS, MF, NBP itp. Terminy ogłaszania tego typu informacji są z góry znane. Jednak niepewność odnośnie do tych informacji powoduje wysoką zmienność kursów, która te wydarzenia zwykle poprzedza § na rynkach finansowych występuje zjawisko silnej dodatniej korelacji między stopami zwrotu różnych walorów oraz skorelowania pomiędzy różnymi segmentami rynku (np. rynku akcji z rynkiem obligacji). Istnieje równie silne powiązanie zmienności kursów na różnych rynkach geograficznych – efekt globalizacji § istnieje zależność pomiędzy zmiennością kursów a otoczeniem makroekonomicznym rynku finansowego. Zmiany, szczególnie nieoczekiwane mają wpływ na zmienność cen i kursów na rynkach finansowych

MODEL ARCH(Q) Robert F. Engle (1982), Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. „Econometrica”, t. 50, s. 9871007. Wariancja warunkowa Warunki nieujemności wariancji warunkowej: Wariancja bezwarunkowa:

MODEL ARCH(Q) Model ARCH(1) Wariancja warunkowa Wariancja bezwarunkowa

MODEL GARCH(P, Q) Tim Bollerslev (1986), Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, “Journal of Econometrics”, t. 31, s. 307 -327. Wariancja warunkowa Wariancja bezwarunkowa: IGARCH Model GARCH(1, 1) Wariancja bezwarunkowa

WADY MODELI TYPU GARCH(P, Q)

PRZYKŁADY NIESTANDARDOWYCH MODELI GARCH Model GARCH in MEAN (GARCH-M): ~ GARCH-M stosowany jest do modelowania ryzyka (premii za ryzyko). Jeżeli ocena parametru δ jest dodatnia i parametr może zostać uznany za statystycznie istotnie różny od 0, wówczas wzrost wariancji warunkowej ht (czyli miary ryzyka) powoduje wzrost premii za ryzyko w postaci oczekiwanej stopy zwrotu z instrumentu finansowego (yt).

PRZYKŁADY NIESTANDARDOWYCH MODELI GARCH Model EGARCH (exponential GARCH) ~ ~

PRZYKŁAD ARMA(2, 0) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Hipoteza zerowa: efekt ARCH nie występuje Statystyka testu: LM = 360, 806 z wartością p = P(Chi -kwadrat(5) > 360, 806) = 8, 24869 e-076

PRZYKŁAD ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017

PRZYKŁAD ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Model po oszacowaniu Parametry w równaniu warunkowej wariancji istotnie różnią się od 0. Spełnione są warunki: Przeprowadzamy weryfikację modelu, korzystając z szeregu standaryzowanych reszt.

PRZYKŁAD ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Prawidłowo wyspecyfikowany model powinien spełniać dwa warunki: 1. Jeżeli standaryzowane reszty z modelu ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) są białym szumem, to równanie warunkowej średniej – ARMA(2, 0) – jest prawidłowo wyspecyfikowane. 2. Jeżeli kwadraty standaryzowanych reszt z modelu ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) są białym szumem, to równanie warunkowej wariancji – GARCH(1, 1) – jest prawidłowo wyspecyfikowane. Jeśli warunek 1 lub 2 nie są spełnione, przystępujemy do poprawy specyfikacji modelu.

PRZYKŁAD ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Korelogram dla standaryzowanych reszt Funkcja autokorelacji (ACF) i autokorelacji cząstkowej (PACF), test autokorelacji Ljunga-Boxa (Q) dla procesu: uhat 3; ***, * oznacza istotność przy poziomach: 1%, 5%, 10%, z wykorzystaniem błędu standardowego 1/T^0, 5 Opóźnienia ACF PACF p] 1 0, 0146 2 -0, 0099 -0, 0101 3 -0, 0114 -0, 0111 4 0, 0010 0, 0013 5 -0, 0139 -0, 0142 6 -0, 0055 -0, 0052 7 0, 0337 * 0, 0336 * 8 -0, 0154 -0, 0168 9 -0, 0048 -0, 0038 10 0, 0114 11 0, 0194 0, 0184 12 -0, 0056 -0, 0051 13 0, 0045 0, 0052 14 -0, 0024 -0, 0037 15 0, 0116 0, 0130 16 -0, 0145 -0, 0141 17 0, 0234 0, 0233 18 0, 0052 0, 0036 Ljung-Box Q [wartość 0, 5751 [0, 448] 0, 8406 [0, 657] 1, 1907 [0, 755] 1, 1936 [0, 879] 1, 7174 [0, 887] 1, 7998 [0, 937] 4, 8591 [0, 677] 5, 4977 [0, 703] 5, 5610 [0, 783] 5, 8863 [0, 825] 6, 9021 [0, 807] 6, 9867 [0, 858] 7, 0410 [0, 900] 7, 0568 [0, 932] 7, 4226 [0, 945] 7, 9877 [0, 949] 9, 4719 [0, 924] 9, 5438 [0, 946]

PRZYKŁAD ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Korelogram dla kwadratów standaryzowanych reszt Funkcja autokorelacji (ACF) i autokorelacji cząstkowej (PACF), test autokorelacji Ljunga-Boxa (Q) dla procesu: usq 3 ***, * oznacza istotność przy poziomach: 1%, 5%, 10%, z wykorzystaniem błędu standardowego 1/T^0, 5 Opóźnienia ACF PACF p] 1 0, 0010 2 -0, 0377 * 3 0, 0078 0, 0079 4 0, 0306 0, 0292 5 0, 0022 0, 0028 6 0, 0063 0, 0085 7 0, 0048 0, 0046 8 -0, 0025 -0, 0029 9 -0, 0047 10 0, 0065 0, 0058 11 0, 0220 0, 0214 12 -0, 0065 -0, 0060 13 0, 0075 0, 0092 14 0, 0083 0, 0072 15 -0, 0201 -0, 0207 16 -0, 0085 -0, 0078 17 0, 0346 * 0, 0323 * Ljung-Box Q [wartość 0, 0028 [0, 958] 3, 8347 [0, 147] 3, 9980 [0, 262] 6, 5265 [0, 163] 6, 5399 [0, 257] 6, 6471 [0, 355] 6, 7102 [0, 460] 6, 7269 [0, 566] 6, 7873 [0, 659] 6, 8996 [0, 735] 8, 2009 [0, 695] 8, 3151 [0, 760] 8, 4662 [0, 812] 8, 6540 [0, 853] 9, 7420 [0, 836] 9, 9378 [0, 870] 13, 1843 [0, 724]

PRZYKŁAD ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) DLA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU Z INDEKSU WIG 20, 2. 01. 2007 -30. 09. 2017 Wniosek: 1. Standaryzowane reszty z modelu ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) są białym szumem, a więc równanie warunkowej średniej, ARMA(2, 0), jest prawidłowo wyspecyfikowane. 2. Kwadraty standaryzowanych reszt z modelu ARMA(2, 0)-GARCH(1, 1) są białym szumem, a więc równanie warunkowej wariancji, GARCH(1, 1), jest prawidłowo wyspecyfikowane.