1 Computacion Inteligente Relaciones fuzzy 2 Contenido Vectores

1 Computacion Inteligente Relaciones fuzzy

2 Contenido Vectores y matrices fuzzy Relaciones crisp Relaciones fuzzy Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp Extension de un conjunto fuzzy por una relacion fuzzy: composicion

3 Vectores y matrices fuzzy

4 Vectores y matrices fuzzy Un vector fuzzy es un vector cuyos elementos tienen valores dentro del intervalo [0, 1] Una matriz fuzzy es la aglomeracion de vectores fuzzy.

5 Suma de matrices fuzzy

6 Multiplicacion de matrices fuzzy

7 Relaciones crisp

8 Conjunto Producto Sean A y B dos conjuntos no vacíos, el conjunto producto Cartesiano A × B se define como A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B } El concepto de producto Cartesiano puede ser extendido a n conjuntos.

9 Conjunto Producto: ejemplo A = {a 1, a 2, a 3}, B = {b 1, b 2}

10 Relaciones crisp Sean A y B dos conjuntos y existe una propiedad especifica entre los elementos x de A e y de B, Esta propidedad puede ser descrita usando el par ordenado (x, y). Un conjunto de tales pares (x, y), x ∈ A and y ∈ B, es denominado una relacion R.

11 Relaciones crisp R = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B } R es una relacion binaria y un subconjunto de A × B. El termino “x esta en relacion R con y” se denota como (x, y) ∈ R o x R y B. con R ⊆ A ×

12 Relacion crisp: ejemplo Sea: A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4} El producto carteciano A × B: {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} R = “el primer elemento no es menor que el segundo elemento” R = {(2, 2), (3, 3)}

13 Relacion crisp como un mapeo R = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, y = f(x)} f: A→B

14 Dominio y rango de una relacion Sea R una relacion entre A y B Dominio dom(R) = { x| x ∈ A, (x, y) ∈ R para algun y ∈ B} Rango ran(R) = { y | y ∈ B, (x, y) ∈ R para algun x ∈ A }

15 Relacion crisp: representacion Grafica Grafico dirigido

16 Relacion crisp: representacion Matricial O tambien: R = {(a 1, b 1), (a 2, b 2), (a 3, b 2), (a 4, b 2)} Una relacion es un conjunto en el espacio producto

17 Relacion crisp: ejemplo Sea: A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4} R = “el primer elemento no es menor que el segundo elemento” R = {(2, 2), (3, 3)}

18 Relaciones crisp: ejemplo x esta en relacion R con y “y es el cuadrado de x”

19 Operaciones sobre relaciones Union: T = R ∪ S • Si (x, y)∈R o (x, y)∈S, entonces (x, y)∈T Interseccion: T = R ∩ S • Si (x, y)∈R y (x, y)∈S, entonces (x, y)∈T Complemento

20 Operaciones sobre relaciones Composicion R ⊆ A × B, S ⊆B × C T=R • S⊆A×C si y solamente si al menos existe un que tal

21 Composicion de relaciones Relacion composicion Ejercicio: R = “es el hermano de” S = “es el padre de” Expresar verbalmente: R • S, S • S

22 Composicion: ejemplo Sea: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} y C = {1, 2, 3} R = “el primer elemento no es menor que el segundo elemento” R = {(2, 2), (3, 3)} S = “el primer elemento es mayor que el segundo elemento” S = {(2, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R • S = {(2, 1), (3, 2)}

23 Relaciones fuzzy

24 Relaciones crisp La relacion clasica representa la presencia o ausencia de interaccion entre elementos de dos conjuntos. La relacion se puede expresar por la funcion caracteristica μR : A × B → {0, 1}

25 Relaciones difusas En las relaciones fuzzy la fuerza de la asociacion (correlacion) se representa por grados de pertenencia.

26 Relaciones multidimensionales En general: Tanto las relaciones crisp como las difusas se pueden definir en un espacio carteciano multidimensional. . .

27 Relaciones difusas La relacion R ⊆ A × B se considera como un conjunto fuzzy en el espacio A × B

28 Relacion difusa: ejemplo La relacion R se considera como un conjunto fuzzy en el espacio A × B

29 Relacion Fuzzy Ejemplos: • x esta cerca de y (x e y son numeros) • x depende de y (x e y son eventos) • x e y se parecen (x, e y son personas u objectos) • Si x es grande, entonces y es pequeña (x es una observacion e y es una accion correspondiente)

30 Relacion fuzzy : representacion

31 Relacion fuzzy: Forma matricial

32 La relacion con expresion de conocimiento La relación fuzzy es principalmente útil para expresar conocimiento: Asumamos que el conjunto A es un conjunto de eventos y R una regla Entonces por la regla R, la posibilidad de ocurrencia del evento c luego de ocurrir el evento a es de 0. 8, en el ejemplo

33 Dominio y rango de una relacion fuzzy Sea R una relacion fuzzy entre los conjuntos crisp A y B Dominio Rango

34 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B y S ⊆ A × B. Relacion Union: ∀ (x, y) ∈ A × B ¿Cómo es la forma matricial de la union? μR∪S (x, y) = Max [μR(x, y), μS(x, y)] = S(μR(x, y) , μS(x, y)) Operador generalizado

35 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B y S ⊆ A × B. Relacion Interseccion: ∀ (x, y) ∈ A × B μR∩S (x, y) = Min [μR(x, y), μS(x, y)] = T(μR(x, y) , μS(x, y)) Operador generalizado

36 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B Relacion Complemento: ∀ (x, y) ∈ A × B

37 Operaciones sobre relaciones fuzzy Ejercicio: Sean R ⊆ A × B y S ⊆ A × B Encontrar la union, la interseccion y el complemento.

38 Composicion de relaciones fuzzy Dos relaciones fuzzy R y S estan definidas sobre los conjuntos A, B y C: R ⊆ A × B, S ⊆ B × C. La composition S • R de las dos relaciones R y S se expresa por la relacion de A a C S • R⊆A×C

39 Composicion de relaciones fuzzy Asumimos que R ⊆ A × B y S ⊆ B × C. Composicion max-min: ∀ (a, b) ∈ A × B (b, c) ∈ B × C

40 Composicion de relaciones fuzzy Otra composicion: max-prod En general: Operador generalizado

41 Composicion de relaciones fuzzy Forma matricial

42 Composicion de relaciones fuzzy Otra representacion de la composicion

43 La composicion con expresion de conocimiento Las relaciones R y S son las expresiones de reglas que guian la ocurrencia de un evento o un hecho. • La regla R indica la posibilidad de B cuando A ocurre. • La regla S indica la posibilidad de C cuando B existe. • Entonces, la posibilidad de C cuando A ha ocurrido puede ser inducida de S • R Esta manera de actuar es llamada una “inferencia” Este es un proceso que produce nueva información

44 Propiedades de la composicion Asociatividad: Distributividad sobre la union: Distributividad sobre la intersection: Monotonicidad:

45 Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp

46 Extension por relacion crisp. Def. Sea R ⊆ A × B una relacion crisp de A a B Esta relacion crisp puede ser expresada por el mapeo f

47 Extension por relacion crisp. Def. Dada la relacion crisp expresada por el mapeo f, Entonces podemos obtener el conjunto fuzzy B’ en B por R y A’

48 Ejemplo Sea el conjunto fuzzy A “el conjunto de personas con una enfermedad contagiosa” y el conjunto B el conjunto crisp “el conjunto de personas en contacto con personas infectadas”

49 Ejemplo La relacion de contacto R esta dada por la figura Notese que R es una relacion crisp. De la figura, b 1 estuvo en contacto con a 1 y a 3

50 Ejemplo Con tal relacion y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por • Para b 1 • Para b 2 • Para b 3

51 Ejemplo Forma matricial

52 El principio de extensión Podemos generalizar la extension de un conjunto fuzzy. Sea la funcion f del espacio X a Y, f(x 1, x 2, . . . , xr) : X → Y Entonces el conjunto fuzzy B en Y puede ser obtenido por la funcion f y los conjuntos fuzzy A 1, A 2, . . . , Ar en X como sigue:

53 El principio de extensión Ai son cojuntos fuzzy en X La imagen de A bajo f(. ) es un conjunto fuzzy B

54 El principio de extensión Por ejemplo, El principio de extension permite, la extensión de las operaciones con números (valores crisp) 5+4 numero real a operaciones conjuntos difusos “aprox 5”+ “aprox 4” valor fuzzy funcion

55 El principio de extensión Ejercicio: Hallar B y = f (x) = x + 4: A = 0. 1/2 + 0. 4/3 + 1/4 + 0. 6/5; y = f (x 1, x 2) = x 1 + x 2 : A 1 = 0. 1/2 + 0. 4/3 + 1/4 + 0. 6/5; A 2 = 0. 4/5 + 1/6;

56 Fuzzy Sets Extension de un conjunto fuzzy por relacion fuzzy

57 Extension por relacion fuzzy Dados • un conjunto fuzzy A’ definido en A, • y una relacion fuzzy R ⊆ A × B Puede existir una funcion de mapeo que exprese la relacion fuzzy R

58 Extension por relacion fuzzy Dados • un conjunto fuzzy A’ definido en A, • y una relacion fuzzy R ⊆ A × B Entonces podemos obtener el conjunto fuzzy B’ en B por R y A’

59 Calculo de la extension por relacion fuzzy La funcion de pertenencia del conjunto fuzzy B’ in B esta dada por donde A y R representan matrices fuzzy

60 Calculo de la extension por relacion fuzzy: Composicion Notese el simbolo usado: La operacion realizada es definida como composicion (Zadeh, 1973)

61 Extension por relacion fuzzy Ejemplo

62 Ejemplo Sea el conjunto fuzzy A “el conjunto de personas con una enfermedad contagiosa” y el conjunto B el conjunto crisp “el conjunto de personas en contacto con personas infectadas”

63 Ejemplo El grado de contacto esta dada por la relacioin R Notese que R es una relacion fuzzy. De la figura, b 1 tuvo cierto grado de contacto con a 1 y a 3

64 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por • Para b 1

65 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por • Para b 2

66 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B’ en B esta dado por • Para b 3 • El conjunto B’

67 Ejemplo Forma matricial

Extension por relacion fuzzy: interpretacion grafica 68

69 Ejercicio Dada la relacion fuzzy R y el conjunto singleton A Calcular el conjunto fuzzy correspondiente B en Y

70 Solucion Dada una relacion fuzzy R y el conjunto singleton A el conjunto fuzzy correspondiente B es

Extension por varias relaciones fuzzy La extension de un conjunto fuzzy por relacion fuzzy tambien es posible con varias relaciones Es decir, el conjunto fuzzy A puede ser propagado a traves de mas de una relacion mediante la operación composicion 71

72 Ejercicio Dados los conjuntos y las relaciones Encontrar C’

73 Fuentes J. -S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro. Fuzzy and Soft Computing. CS Dept. , Tsing Hua Univ. , Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000 Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

74 Fuentes R. Babuska, H. B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995. Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L. X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1. 994

75 Fuentes Kwang-Hyung Lee, Textbook CS 670 Fuzzy Theory, http: //if. kaist. ac. kr/lecture/cs 670/textbook/, septiembre 2001 J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002? Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001