Vectores CAPTULO 7 Contenidos 7 1 Vectores en

  • Slides: 149
Download presentation
Vectores CAPÍTULO 7

Vectores CAPÍTULO 7

Contenidos • • 7. 1 Vectores en 2 Dimensiones 7. 2 Vectores en 3

Contenidos • • 7. 1 Vectores en 2 Dimensiones 7. 2 Vectores en 3 Dimensiones 7. 3 Producto Escalar 7. 4 Producto Vectorial 7. 5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones 7. 6 Espacios Vectoriales 7. 7 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

7. 1 Vectores en 2 Dimensiones • Repaso de Vectores Vuelva a la Fig

7. 1 Vectores en 2 Dimensiones • Repaso de Vectores Vuelva a la Fig 7. 1 después de la Fig 7. 6.

Fig 7. 1 (Vectores geométricos)

Fig 7. 1 (Vectores geométricos)

Fig 7. 2 (Vectors equivalentes)

Fig 7. 2 (Vectors equivalentes)

Fig 7. 3 (Vectores paralelos)

Fig 7. 3 (Vectores paralelos)

Fig 7. 4 (suma)

Fig 7. 4 (suma)

Fig 7. 5 (resta)

Fig 7. 5 (resta)

Fig 7. 6 (vectores de posición)

Fig 7. 6 (vectores de posición)

Ejemplo 1 • Observe la Fig 7. 7

Ejemplo 1 • Observe la Fig 7. 7

DEFINICIÓN 7. 1 Suma, Producto por un Escalar, Igualdad Sea a = <a 1,

DEFINICIÓN 7. 1 Suma, Producto por un Escalar, Igualdad Sea a = <a 1, a 2>, b = <b 1, b 2> vectores en R 2 (i) Suma: a + b = <a 1 + a 2, b 1 + b 2> (1) (ii) Producto por un escalar: ka = <ka 1, ka 2>, k es un escalar (2) (iii)Igualdad: a = b si y sólo si a 1 = b 1, a 2 = b 2 (3) a – b = <a 1− b 1, a 2 − b 2> (4)

Solución Gráfica • Fig 7. 8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta

Solución Gráfica • Fig 7. 8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.

Ejemplo 2 Si a = <1, 4>, b = <− 6, 3>, hallar a

Ejemplo 2 Si a = <1, 4>, b = <− 6, 3>, hallar a + b, a − b, 2 a + 3 b. Solución Usando (1), (2), (4), tenemos

Propiedades • (i) a + b = b + a (ii) a + (b

Propiedades • (i) a + b = b + a (ii) a + (b + c) = (a + b) + c (iii) a + 0 = a (iv) a + (−a) = 0 (v) k(a + b) = ka + kb k escalar (vi) (k 1 + k 2)a = k 1 a + k 2 a k 1, k 2 escalares (vii) k 1(k 2 a) = (k 1 k 2)a k 1, k 2 escalares (viii) 1 a = a (ix) 0 a = 0 = <0, 0> • 0 = <0, 0>

Longitud, Norma • a = <a 1 , a 2>, entonces Naturalmente, tenemos ||a||

Longitud, Norma • a = <a 1 , a 2>, entonces Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0

Vector Unitaros • Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u

Vector Unitaros • Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que

Ejemplo 3 • Dado a = <2, − 1>, el vector unitario en la

Ejemplo 3 • Dado a = <2, − 1>, el vector unitario en la misma dirección u es y

Los vectores i, j • Si a = <a 1, a 2>, entonces (5)

Los vectores i, j • Si a = <a 1, a 2>, entonces (5) Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se transforma en a = a 1 i + a 2 j (6)

Fig 7. 10

Fig 7. 10

Ejemplo 4 • (i) <4, 7> = 4 i + 7 j (ii) (2

Ejemplo 4 • (i) <4, 7> = 4 i + 7 j (ii) (2 i – 5 j) + (8 i + 13 j) = 10 i + 8 j (iii) (iv) 10(3 i – j) = 30 i – 10 j (v) a = 6 i + 4 j, b = 9 i + 6 j son paralelos y b = (3/2)a

Ejemplo 5 Sea a = 4 i + 2 j, b = – 2

Ejemplo 5 Sea a = 4 i + 2 j, b = – 2 i + 5 j. Dibujar a + b, a – b Solución Fig 7. 11

7. 2 Vectores en 3 Dimensiones • Repaso Vualva a la Fig 7. 22

7. 2 Vectores en 3 Dimensiones • Repaso Vualva a la Fig 7. 22 después de la Fig 7. 24. • Fig 7. 22

Fig 7. 23

Fig 7. 23

Fig 7. 24

Fig 7. 24

Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (− 2, 0). Solución Fig

Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (− 2, 0). Solución Fig 7. 25.

Formula de Distancia (1) • Fig 7. 26

Formula de Distancia (1) • Fig 7. 26

Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, − 3, 6) y (− 1, −

Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, − 3, 6) y (− 1, − 7, 4) Solución

Formula del Punto Medio (2)

Formula del Punto Medio (2)

Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, − 3, 6) y (− 1, −

Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, − 3, 6) y (− 1, − 7, 4) Solución De (2), tenemos

Vectores en 3 Dimensiones • Fig 7. 27.

Vectores en 3 Dimensiones • Fig 7. 27.

DEFINICIÓN 7. 2 Definiciones en 3 Dimensiones Sea a = <a 1, a 2

DEFINICIÓN 7. 2 Definiciones en 3 Dimensiones Sea a = <a 1, a 2 , a 3>, b = <b 1, b 2, b 3 > en R 3 (i) a + b = <a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3> (ii) ka = <ka 1, ka 2, ka 3> (iii) a = b si y sólo si a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3 = b 3 (iv) –b = (− 1)b = <− b 1, − b 2, − b 3> (v) a – b = <a 1 − b 1, a 2 − b 2, a 3 − b 3> (vi) 0 = <0, 0 , 0> (vi)

Fig 7. 28

Fig 7. 28

Ejemplo 4 Hallar el vector que va de (4, 6, − 2) a (1,

Ejemplo 4 Hallar el vector que va de (4, 6, − 2) a (1, 8, 3) Solución

Ejemplo 5 • De la Definición 7. 2, tenemos

Ejemplo 5 • De la Definición 7. 2, tenemos

Los vectores i, j, k • i = <1, 0, 0>, j = <0,

Los vectores i, j, k • i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1> a = < a 1 , a 2 , a 3 > = a 1 i + a 2 j + a 3 j

Fig 7. 29

Fig 7. 29

Ejemplo 6 a = <7, − 5, 13> = 7 i − 5 j

Ejemplo 6 a = <7, − 5, 13> = 7 i − 5 j + 13 j Ejemplo 7 (a) a = 5 i + 3 k está en el plano xz (b) Ejemplo 8 Si a = 3 i − 4 j + 8 k, b = i − 4 k, hallar 5 a − 2 b Solución 5 a − 2 b = 13 i − 20 j + 48 k

7. 3 Producto Escalar DEFINICIÓN 7. 3 Producto Escalar de Dos Vectores El producto

7. 3 Producto Escalar DEFINICIÓN 7. 3 Producto Escalar de Dos Vectores El producto escalar de a y b es el escalar (1) donde es el ángulo que forman los vectores 0 .

Fig 7. 32

Fig 7. 32

Ejemplo 1 • De (1) obtenemos i i = 1, j j = 1,

Ejemplo 1 • De (1) obtenemos i i = 1, j j = 1, k k = 1 (2)

Producto Escalar en Forma de Componentes (3) (4) • Fig 7. 33

Producto Escalar en Forma de Componentes (3) (4) • Fig 7. 33

Fig 7. 33

Fig 7. 33

Ejemplo 2 • Si a = 10 i + 2 j – 6 k,

Ejemplo 2 • Si a = 10 i + 2 j – 6 k, b = (− 1/2)i + 4 j – 3 k, entonces

Propiedades • (i) a b = 0 si y sólo si a = 0

Propiedades • (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0 (ii) a b = b a (iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b) (v) a a 0 (vi) a a = ||a||2

Orthogonal Vectors • (i) a b > 0 si y sólo si es agudo

Orthogonal Vectors • (i) a b > 0 si y sólo si es agudo (ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2 TEOREMA 7. 1 Criterio de Vectores Ortogonales Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0. • Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.

Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales. i j = j i =

Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales. i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0 (5) Ejemplo 4 Si a = − 3 i − j + 4 k, b = 2 i + 14 j + 5 k, entonces a b = – 6 – 14 + 20 = 0 Son ortogonales.

Ángulo que Forman Dos Vectores (6)

Ángulo que Forman Dos Vectores (6)

Ejemplo 5 Hallar el ángulo entre a = 2 i + 3 j +

Ejemplo 5 Hallar el ángulo entre a = 2 i + 3 j + k, b = −i + 5 j + k. Solución

Cosenos Directores Observando la Fig 7. 34, los ángulos , , se llaman ángulos

Cosenos Directores Observando la Fig 7. 34, los ángulos , , se llaman ángulos directores. Ahora por (6) decimos que cos , cos son cosenos directores, y cos 2 + cos 2 = 1

Fig 7. 34

Fig 7. 34

Ejemplo 6 Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2

Ejemplo 6 Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2 i + 5 j + 4 k. Solución

Componentes de a en b • Como a = a 1 i + a

Componentes de a en b • Como a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, entonces Escribimos los componentes de a como (7) (8) Observe la Fig 7. 35. El componente de a en cualquier vector b es compba = ||a|| cos (9) escribiendo (9) como (10)

Fig 7. 35

Fig 7. 35

Ejemplo 7 Sea a = 2 i + 3 j – 4 k, b

Ejemplo 7 Sea a = 2 i + 3 j – 4 k, b = i + j + 2 k. Hallar compba y compab. Solución De (10), a b = − 3

Interpretación Física • Observe la Fig 7. 36. Si F produce un desplazamiento d

Interpretación Física • Observe la Fig 7. 36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es W=F d (11)

Fig 7. 36

Fig 7. 36

Ejemplo 8 Sea F = 2 i + 4 j. Si el bloque se

Ejemplo 8 Sea F = 2 i + 4 j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a (4, 6), hallar el trabajo realizado por F. Solución d = 3 i + 5 j W = F d = 26 N-m

Proyección de a sobre b • Observe la Fig 7. 37. La proyección de

Proyección de a sobre b • Observe la Fig 7. 37. La proyección de a sobre i es • Observe la Fig 7. 38. La proyección de a sobre b es (12)

Fig 7. 37

Fig 7. 37

Fig 7. 38

Fig 7. 38

Ejemplo 9 Hallar la proyección de a = 4 i + j sobre b

Ejemplo 9 Hallar la proyección de a = 4 i + j sobre b = 2 i + 3 j. Solución

Fig 7. 39

Fig 7. 39

7. 4 Cross Product DEFINICIÓN 7. 4 Producto Vectorial de Dos Vectores El producto

7. 4 Cross Product DEFINICIÓN 7. 4 Producto Vectorial de Dos Vectores El producto vectorial de dos vectores a y b es (1) donde es el ángulo entre ellos, 0 , y n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha.

Fig 7. 46

Fig 7. 46

Ejemplo 1 • Para entender el sentido físico del producto vectorial, observe las Fig

Ejemplo 1 • Para entender el sentido físico del producto vectorial, observe las Fig 7. 37 y 7. 48. El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F. Fig 7. 47 Fig 7. 48

Propiedades • (i) a b = 0, if a = 0 or b =

Propiedades • (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0 (ii) a b = −b a (iii) a (b + c) = (a b) + (a c) (iv) (a + b) c = (a c) + (b c) (v) a (kb) = (ka) b = k(a b) (vi) a a = 0 (vii) a (a b) = 0 (viii) b (a b) = 0 TEOREMA 7. 2 Criterio de Vectroes Paralelos Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo si si a b = 0.

Ejemplo 2 • (a) De propiedades (iv) i i = 0, j j =

Ejemplo 2 • (a) De propiedades (iv) i i = 0, j j = 0, k k = 0 (2) (b) Si a = 2 i + 3 j – k, b = – 6 i – 3 j + 3 k = – 3 a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0 • Si a = i, b = j, entonces (3) Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j=k

Ejemplo 3 • De Fig 7. 49, tenemos (4)

Ejemplo 3 • De Fig 7. 49, tenemos (4)

Fig 7. 49

Fig 7. 49

Alternative Definition • Como (5) tenemos (6)

Alternative Definition • Como (5) tenemos (6)

También podemos escribir (6) como (7) Por otro lado, (7) se transforma en (8)

También podemos escribir (6) como (7) Por otro lado, (7) se transforma en (8)

Ejemplo 4 Sea a = 4 i – 2 j + 5 k, b

Ejemplo 4 Sea a = 4 i – 2 j + 5 k, b = 3 i + j – k, hallar a b. Solución De (8), tenemos

Productos Especiales • Tenemos (9) se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se

Productos Especiales • Tenemos (9) se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio. (10)

Area y Volumen • Area de un paralelograma A = || a b|| Area

Area y Volumen • Area de un paralelograma A = || a b|| Area de un triángulo A = ½||a b|| Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)| Fig 7. 50 y Fig 7. 51 (11) (12) (13)

Fig 7. 50

Fig 7. 50

Fig 7. 51

Fig 7. 51

Ejemplo 5 Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1),

Ejemplo 5 Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, – 1). Solución Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, – 1, – 2>

Vectores Coplanarios a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c

Vectores Coplanarios a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

7. 5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones • Rectas: Ecuación Vectorial Fig 7.

7. 5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones • Rectas: Ecuación Vectorial Fig 7. 55. Hallamos que r 2 – r 1 es paralelo a r – r 2, entonces r – r 2 = t(r 2 – r 1) (1) Si escribimos a = r 2 – r 1 = <x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1> = <a 1, a 2, a 3> (2) luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es r = r 2 + ta donde a se llama vector director.

Fig 7. 55

Fig 7. 55

Ejemplo 1 Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –

Ejemplo 1 Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, – 1, 8) y (5, 6, – 3). Solución Definimos a = <2 – 5, – 1 – 6, 8 – (– 3)> = <– 3, – 7, 11>. Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta: (3) (4) (5)

Ecuación Paramétrica • También podemos escribir (2) como (6) las ecuaciones (6) se denominan

Ecuación Paramétrica • También podemos escribir (2) como (6) las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas.

Ejemplo 2 Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1. Solución De

Ejemplo 2 Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1. Solución De (3), se tiene x = 2 – 3 t, y = – 1 – 7 t, z = 8 + 11 t (7) De (5), x = 5 + 3 t, y = 6 + 7 t, z = – 3 – 11 t (8)

Ejemplo 3 Determinar un vector a que sea paralelo a la recta: x =

Ejemplo 3 Determinar un vector a que sea paralelo a la recta: x = 4 + 9 t, y = – 14 + 5 t, z = 1 – 3 t Solución a = 9 i + 5 j – 3 k

Ecuación continua • De (6) siendo ai son no nulos. Entonces (9) se dice

Ecuación continua • De (6) siendo ai son no nulos. Entonces (9) se dice que es una ecuación continua.

Ejemplo 4 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (4, 10,

Ejemplo 4 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (4, 10, − 6) y (7, 9, 2) Solución Definimos a 1 = 7 – 4 = 3, a 2 = 9 – 10 = – 1, a 3 = 2 – (– 6) = 8, luego

Ejemplo 5 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (5, 3,

Ejemplo 5 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (5, 3, 1) y (2, 1, 1) Solución Definimos a 1 = 5 – 2 = 3, a 2 = 3 – 1 = 2, a 3 = 1 – 1 = 0, luego

Fig 7. 56

Fig 7. 56

Ejemplo 6 Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa

Ejemplo 6 Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, – 3) y es paralela a a = 5 i – 10 j + 2 k. Solución Ec. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, – 3> + t(5, – 10, 2) Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5 t, y = 6 – 10 t, z = – 3 + 2 t, Ec. Continua:

Planos: Ecuación Vectorial • Fig 7. 57(a) ilustra el concepto del vector normal a

Planos: Ecuación Vectorial • Fig 7. 57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es n (r – r 1) = 0 (10)

Fig 7. 57

Fig 7. 57

Ecuaciones Cartesianas • Si el vector normal es ai + bj + ck ,

Ecuaciones Cartesianas • Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene a P 1(x 1, y 1, z 1) es a(x – x 1) + a(y – y 1) + c(z – z 1) = 0 (11)

Ejemplo 7 Determine el palno que contiene (4, − 1, 3) y es perpendicular

Ejemplo 7 Determine el palno que contiene (4, − 1, 3) y es perpendicular a n = 2 i + 8 j − 5 k Solución De (11): 2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0 ó 2 x + 8 y – 5 z + 15 = 0

 • ecuación (11) también puede escribirse como ax + by + cz +

• ecuación (11) también puede escribirse como ax + by + cz + d = 0 (12) TEOREMA 7. 3 Plano con Vector Normal La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0, a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal n = ai + bj + ck

Ejemplo 8 • Un vector normal al plano 3 x – 4 y +

Ejemplo 8 • Un vector normal al plano 3 x – 4 y + 10 z – 8 = 0 es n = 3 i – 4 j + 10 k.

 • Dados tres puntos no alineados, P 1, P 2, P 3, elegimos

• Dados tres puntos no alineados, P 1, P 2, P 3, elegimos P 1 como le punto origen. Observe la Fig 7. 58, Podemos obtener (13)

Fig 7. 58

Fig 7. 58

Ejemplo 9 Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 − 1), (3,

Ejemplo 9 Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 − 1), (3, 1, 4) y (2, − 2, 0). Solución Obtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.

Ejemplo 9 (2) Si escogemos (2, − 2, 0) como el punto origen, entonces

Ejemplo 9 (2) Si escogemos (2, − 2, 0) como el punto origen, entonces <x – 2, y + 2, z – 0> <− 11, − 3, 5> = 0

Gráficas • La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo

Gráficas • La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.

Ejemplo 10 Gráfica 2 x + 3 y + 6 z = 18 Solución

Ejemplo 10 Gráfica 2 x + 3 y + 6 z = 18 Solución Poniendo: y = z = 0 nos da x = 9 x = z = 0 nos da y = 6 x = y = 0 nos da z = 3 Fig 7. 59.

Fig 7. 59

Fig 7. 59

Ejemplo 11 Gráfica 6 x + 4 y = 12 Solución Esta ecuación carece

Ejemplo 11 Gráfica 6 x + 4 y = 12 Solución Esta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto que x = 0 nos da y = 3 y = 0 nos da x = 2 Fig 7. 60.

Fig 7. 60

Fig 7. 60

Ejemplo 12 Gráfica x + y – z = 0 Solución Priemro observamos que

Ejemplo 12 Gráfica x + y – z = 0 Solución Priemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.

Fig 7. 61

Fig 7. 61

 • Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig

• Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig 7. 62. Fig 7. 63 ilustra la intersección de una recta con un plano.

Fig 7. 62

Fig 7. 62

Fig 7. 63

Fig 7. 63

Ejemplo 13 Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de 2

Ejemplo 13 Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de 2 x – 3 y + 4 z = 1 x–y–z=5 Solución Priemro dejamos que sea z = t, 2 x – 3 y = 1 – 4 t x–y=5+t luego x = 14 + 7 t, y = 9 + 6 t, z = t.

Ejemplo 14 Determinar el punto de intersección del plano 3 x – 2 y

Ejemplo 14 Determinar el punto de intersección del plano 3 x – 2 y + z = − 5 y la recta x = 1 + t, y = − 2 + 2 t, z = 4 t. Solución Suponemos que (x 0, y 0, z 0) es el punto de intersección. 3 x 0 – 2 y 0 + z 0 = − 5 y x 0 = 1 + t 0, y 0 = − 2 + 2 t 0, z 0 = 4 t 0 entonces 3(1 + t 0) – 2(− 2 + 2 t 0) + 4 t 0 = − 5, t 0 = − 4 Así, (x 0, y 0, z 0) = (− 3, − 10, − 16)

7. 6 Espacios Vectoriales • n Dimensiones Similar al de 3 dimensiones (1) (2)

7. 6 Espacios Vectoriales • n Dimensiones Similar al de 3 dimensiones (1) (2)

DEFINICIÓN 7. 5 Espacio Vectorial Sea V un conjunto de elemntos en el que

DEFINICIÓN 7. 5 Espacio Vectorial Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente.

DEFINICIÓN 7. 5 Espacio Vectorial Axiomas para la suma vectorial (i) Si x y

DEFINICIÓN 7. 5 Espacio Vectorial Axiomas para la suma vectorial (i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V. (ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x (iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z (iv) Existe un único vector 0 de V, tal que 0+x=x+0=x (v) Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0

DEFINICIÓN 7. 5 Espacio Vectorial Axiomas para el producto por un escalar (vi) Si

DEFINICIÓN 7. 5 Espacio Vectorial Axiomas para el producto por un escalar (vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V. (vii) k(x + y) = kx + ky (viii) (k 1+k 2)x = k 1 x+ k 2 x (ix) k 1(k 2 x) = (k 1 k 2)x (x) 1 x = x Propiedades (i) y (vi) are called the closure axioms.

Ejemplo 1 Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y

Ejemplo 1 Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales. Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas. (b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial. Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.

Ejemplo 2 Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x

Ejemplo 2 Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como x + y = xy y producto por un escalar como kx = xk Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.

Ejemplo 2 (2) Solución Repasamos los 10 axiomas. (i) Pra x = x >

Ejemplo 2 (2) Solución Repasamos los 10 axiomas. (i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0 (ii) Para todo x = x, y = y de V, x+y=y+x= y+x (iii) Para x = x , y = y, z = z de V x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z (iv) Como 1 + x = 1 x = x, x + 1 = x = x El vector nulo 0 es 1 = 1

Ejemplo 2 (3) (v) Si definimos −x = 1/x, entonces x + (−x) =

Ejemplo 2 (3) (v) Si definimos −x = 1/x, entonces x + (−x) = x(1/x) = 1 = 0 −x + x = (1/x)x = 1 = 0 (vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = xk > 0 (vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky (viii) (k 1+k 2)x = xk 1+k 2 = xk 1 xk 2 = k 1 x+ k 2 x (ix) k 1(k 2 x) = (xk 2 )k 1 = xk 1 k 2 = (k 1 k 2)x (x) 1 x = x 1 = x

DEFINICIÓN 7. 6 Subespacio Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es

DEFINICIÓN 7. 6 Subespacio Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V.

TEOREMA 7. 4 Criterios para un Subespacio Un conjunto no vacío W es un

TEOREMA 7. 4 Criterios para un Subespacio Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V: (i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W. (ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.

Ejemplo 3 • Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor

Ejemplo 3 • Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (− , ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(− , ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (− , ).

Ejemplo 4 • El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que

Ejemplo 4 • El conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(− , ).

DEFINICIÓN 7. 7 Independencia Lineal Un conjunto de vectores {x 1, x 2, …,

DEFINICIÓN 7. 7 Independencia Lineal Un conjunto de vectores {x 1, x 2, …, xn} se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen k 1 x 1 + k 2 x 2 + …+ knxn = 0 (3) son k 1= k 2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente.

 • Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente. <1, 1, 1> ,

• Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente. <1, 1, 1> , <2, – 1, 4> y <5, 2, 7> son linealmente dependiente, porque 3<1, 1, 1> + <2, – 1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0> 3 a + b – c = 0

DEFINICIÓN 7. 8 Base de un Espacio Vectorial Considere un conjunto de vectores B

DEFINICIÓN 7. 8 Base de un Espacio Vectorial Considere un conjunto de vectores B = {x 1, x 2, …, xn} de un Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V. • Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R 3. Por ejemplo <1, 0, 0>, <1, 1, 1>

 • Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e 1 = <1,

• Base Estándar: {i, j, k} Para Rn : e 1 = <1, 0, …, 0>, e 2 = <0, 2, …, 0> …. . en = <0, 0, …, 1> (4) Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que (5) donde estos escalares ci, i = 1, 2, . . , n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.

DEFINICIÓN 7. 8 Dimensión de un Espacio Vectorial Se dice que el número de

DEFINICIÓN 7. 8 Dimensión de un Espacio Vectorial Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio.

Ejemplo 5 (a) Las dimensiones de R, R 2, R 3, Rn son respectivamente

Ejemplo 5 (a) Las dimensiones de R, R 2, R 3, Rn son respectivamente 1, 2, 3, n. (b) Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x 2, …, xn}. La dimensión es n + 1 (c) La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.

ED Lineales • La solución general de la siguiente ED (6) puede escribirse como

ED Lineales • La solución general de la siguiente ED (6) puede escribirse como y = c 1 y 1 + … cnyn y se dice que es espacio solución. Así {y 1, y 2, …, yn} es una base.

Ejemplo 6 La solución general de y” + 25 y = 0 es y

Ejemplo 6 La solución general de y” + 25 y = 0 es y = c 1 cos 5 x + c 2 sen 5 x entonces {cos 5 x , sin 5 x} es una base.

Span • Si S denota un conjunto cualquiera de vectores {x 1, x 2,

Span • Si S denota un conjunto cualquiera de vectores {x 1, x 2, …, xn} entonces al combinación lineal k 1 x 1 + k 2 x 2 + … + k nx n se llama span de los vectores y se escribe como Span(S) o Span{x 1, x 2, …, xn}.

Otras formas de Definiciones 7. 8 y 7. 9 • Un conjunto S de

Otras formas de Definiciones 7. 8 y 7. 9 • Un conjunto S de vectores {x 1, x 2, …, xn} de un espacio vectorial V es una base, si S es linealmente independiente y es un conjunto de span de V. El número de vectores de este conjunto de span S es la dimensión del espacio V.

7. 7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process • Base Ortonormal Todos los vectores de la base

7. 7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process • Base Ortonormal Todos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.

Ejemplo 1 • El conjunto de vectores (1) es linealmente independiente en R 3.

Ejemplo 1 • El conjunto de vectores (1) es linealmente independiente en R 3. De ahí que B = {w 1, w 2, w 3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3, wi wj = 0, i j, B es una base ortonormal.

TEOREMA 7. 5 Coordenadas respecto a una Base Ortonormal Supongamos que B = {w

TEOREMA 7. 5 Coordenadas respecto a una Base Ortonormal Supongamos que B = {w 1, w 2, …, wn} es una base ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn, entonces u = (u w 1)w 1 + (u w 2)w 2 + … + (u wn)wn • Demostración Como B = {w 1, w 2, …, wn} es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como u = k 1 w 1 + k 2 w 2 + … + k nwn (2) (u wi) = (k 1 w 1 + k 2 w 2 + … + knwn) wi = ki(wi wi) = ki

Ejemplo 2 Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a

Ejemplo 2 Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9> respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1. Solución

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt • La transformación de la base B = {u

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt • La transformación de la base B = {u 1, u 2} en una base ortogonal B’= {v 1, v 2} consta de dos pasos. Fig 7. 64. (3)

Fig 7. 64(a)

Fig 7. 64(a)

Fig 7. 64(b)

Fig 7. 64(b)

Fig 7. 64(c)

Fig 7. 64(c)

Ejemplo 3 Sea u 1 = <3, 1>, u 2 = <1, 1>. Transformarlos

Ejemplo 3 Sea u 1 = <3, 1>, u 2 = <1, 1>. Transformarlos en una base ortonormal. Solución De (3) Normalizando: Fig 7. 65

Fig 7. 65

Fig 7. 65

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt • Para R 3: (4)

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt • Para R 3: (4)

 • Observe la Fig 7. 66. Suponemos que = Span{v 1, v 2},

• Observe la Fig 7. 66. Suponemos que = Span{v 1, v 2}, entonces W 2 es de W 2 y se llama proyección ortogonal de u 3 sobre W 2, denotado por x = proyw 2 u 3. (5) (6)

Fig 7. 66

Fig 7. 66

Ejemplo 4 Sea u 1 = <1, 1, 1>, u 2 = <1, 2,

Ejemplo 4 Sea u 1 = <1, 1, 1>, u 2 = <1, 2, 2>, u 3 = <1, 1, 0>. Transformarlos en una base ortonormal. Solución De (4)

Ejemplo 4 (2)

Ejemplo 4 (2)

TEOREMA 7. 6 Proceso de Ortogonalización Sea B = {u 1, u 2, …,

TEOREMA 7. 6 Proceso de Ortogonalización Sea B = {u 1, u 2, …, um}, m n, una base del subespacio Wm de Rn. Entonces {v 1, v 2, …, vm}, donde es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es