642021 CLCULO VECTORIAL VECTORES CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

6/4/2021 CÁLCULO VECTORIAL VECTORES

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Definición de vector Cantidades escalares Cantidades vectoriales ÁLGEBRA VECTORIAL Sistemas de referencia Igualdad entre vectores Múltiplos de un vector Adición de vectores Productos vectoriales 6/4/2021 VECTORES

ESCALAR Cantidades que pueden caracterizarse exclusivamente con un número 6/4/2021 CANTIDADES ESCALARES

Cantidades vectoriales 6/4/2021 CANTIDADES VECTORIALES

VECTOR Segmento de línea dirigido. 6/4/2021 CANTIDADES VECTORIALES

6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

n Sistema de referencia en una dimensión: Recta R 1 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

n Sistema de referencia n dimensiones: n Rectas Rn 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

n 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA Sistema de coordenadas rectangulares: Los ángulos entre los ejes coordenados son de 90°

2 Dimensiones: R 2 n Coordenadas cartesianas 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

2 Dimensiones: 2 R n Coordenadas polares 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA Coordenadas polares Coordenadas cartesianas r = [x + y ] q = tan (y/x) 2 2 1/2 x = r cos q y = r sen q

3 Dimensiones: 3 R n Coordenadas cartesianas 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

3 Dimensiones: R 3 n Coordenadas cilíndricas 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

3 Dimensiones: 3 R n Coordenadas esféricas 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

Coordenadas cartesianas r = [x + y ] q = tan (y/x) z=z 2 2 1/2 Coordenadas cartesianas 2 r = [x 2+ y + z 2] 1/2 q = tan (y/x) 2 1/2 2 2 f = z / [x + y + z ] Coordenadas cilíndricas x = r cos q y = r sen q Coordenadas z = z esféricas x = r cos q sen F y = r sen q sen 6/4/2021 SISTEMAS DE REFERENCIA

A = B 6/4/2021 IGUALDAD

x. A = B 2 A = B 6/4/2021 PRODUCTO POR ESCALAR

(-1) A = - A 6/4/2021 PRODUCTO POR ESCALAR

n Propiedades x ( y. A ) = (xy) A = xy A (x + y) A = x. A + y. A 0 A = 0 (-1)A = -A A / |A| = A 6/4/2021 PRODUCTO POR ESCALAR

6/4/2021 VECTORES UNITARIOS

6/4/2021 VECTORES UNITARIOS

5 -8=-3 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

A A + B B 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

C =A+B 2 C = A + B – 2 AB cos a 2 2 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

C = a. A + b. B 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES A y B vectores base

C = A – B = A + (– B) 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

n Propiedades A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) 0+A= A A + -A = 0 x (A + B) = x. B + x. A 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

Ejercicio Un cuadro que pesa 8 N se aguanta mediante dos cables que ejercen tensiones T 1 y T 2, tal como lo indica la figura. Determinar la tensión de los cables. 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES r =xi+yj+zk i, j, k A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k n Vector n Base de posición canónica n Suma por componentes A + B = (Ax+ Bx)i + (Ay+ By) j + (Az+ Bz) k C = Cx i + Cy j + Cz k

Ejercicio Una partícula se desplaza en el plano XY de modo que sus coordenadas x y y varían con el tiempo según x(t)= At 3 + Bt y y(t) = Ct 2 + D, donde A = 1. 00 m/s 3, B = - 32. 0 m/s, C = 5. 0 m/s 2 y D = 12. 0 m. Calcule su posición a) t 1 = 3 s, b) t 2 = 5 s, c) el desplazamiento y c) la velocidad promedio durante ese intervalo de tiempo. 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

Ejercicio Un avión se encuentra en la posición (3, 4, 5) dada en km, al medio día y viaja con una velocidad v = 400 i + 500 j - k en km por hora. El piloto avista un aeropuerto en la posición (23, 29, 0). (a) ¿A qué hora pasará el avión sobre el aeropuerto? (b) ¿Cuál será la altura del avión cuando pase por el aeropuerto? 6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

6/4/2021 ADICIÓN DE VECTORES

A B = A veces B = B veces A 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

3 x 2 = 3 veces 2 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Producto Escalar Producto Punto Producto Interno A. B = AB cos f B A = BA cos. f = 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Producto entre vectores unitarios i. i = (1)(1) cos (0) = 1 j. j = (1)(1) cos (0) = 1. k k = (1)(1) cos (0) = 1 i. j = (1)(1) cos (p/2) = 0 j. k = (1)(1) cos (p/2) = 0. k i = (1)(1) cos (p/2) = 0 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Producto escalar A = A x i + Ay j + Az k B = B x i + By j + Bz k A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k) (Ax i) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax j) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax k) (Bx i + By j + Bz k) 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

A. B = (Ax i) (Bx i) + (Ax i) (By j) + (Ax i) (Bz k)+ (Ay j) (Bx i) + (Ay j) (By j) + (Ay j) (Bz k)+ (Az k) (Bx i) + (Az k) (By j) + (Az k) (Bz k)+ = (Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz) 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Propiedades A. B = B. A A. (B + C) = A. B + A. C m (A. B) = (m A). B = A. (m B) = (A. B) m 2 2. A A = A x + Ay + Az |A | = (A. A) 1/2 A. B =0 A B 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Producto Vectorial Producto Cruz Ax. B 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

A x B = AB sen f 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Producto entre vectores unitarios i x i = (1)(1) sen (0) = 0 j x j = (1)(1) sen (0) = 0 k x k = (1)(1) sen (0) = 0 i x j = (1)(1) sen (p/2) = 1 j x k = (1)(1) sen (p/2) = 1 k x i = (1)(1) sen (p/2) = 1 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

Producto entre vectores unitarios ixi =0 jxj =0 kxk =0 ixj =k jxi =-k jxk =i kxj =-i kxi =j ixk =-j 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES

A x B = (Ax i) x (Bx i) + (Ax i) x (By j) + (Ax i) x (Bz k)+ (Ay j) x (Bx i) + (Ay j) x (By j) + (Ay j) x (Bz k)+ (Az k) x (Bx i) + (Az k) x (By j) + (Az k) x (Bz k)+ = ¿? 6/4/2021 PRODUCTOS VECTORIALES