VECTORES LIBRES DESLIZANTES Y LIGADOS 1 RELACIN DE

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (1) RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (2) RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MÓDULO, RECTA SOPORTE Y SENTIDO

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (3) RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MÓDULO, DIRECCIÓN, SENTIDO Y ORIGEN

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y LIGADOS (4) RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: IGUAL MÓDULO, DIRECCIÓN, SENTIDO Y ORIGEN

Familia de curvas coordenadas y SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONALES Familia de curvas coordenadas x

Familia de curvas coordenadas y=tg x SISTEMA DE COORDENADAS POLARES r Familia de curvas coordenadas x 2+y 2=r 2

SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS z z y x Familia de superficies cilíndricas x 2+y 2= 2 Familia de semiplanos y=tg x Familia de planos de cota z

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS (1) z r y x Familia de superficies esféricas x 2+y 2+z 2=r 2 Familia de semiplanos y=tg x Familia de conos de semiángulo

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS (2) d r sen d d r d d. S=r 2 sen d d d. V=r 2 sen dr d d

Operaciones con vectores (Producto escalar) a b • FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Sección 4. 4

Operaciones con vectores (Producto vectorial) k c j i a b La perpendicular a a y b (o al plano que definen a y b) Tal que la terna a, b y c y la terna de los vectores de la referencia tengan la misma orientación • FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Sección 4. 8

Operaciones concon vectores (Producto mixto) Operaciones vectores (Producto mixto) • FÍSICA GENERAL I, A. I, M. Pérez Sección 4. 9. 1 • FÍSICA GENERAL A. Sánchez M. Sánchez Pérez Sección Operaciones con vectores (Doble producto vectorial ) • FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Sección 4. 9. 2

Operaciones con vectores (Producto mixto) (Producto escalar de dos productos vectoriales) • FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Sección 4. 9. 1 • FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Sección 4. 9. 3 Operaciones con vectores (Producto vectorial de dos productos vectoriales) • FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Sección 4. 9. 3

SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES SISTEMAS DE VECTORES

EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante las siguientes operaciones elementales: 1. Adición de una pareja de vectores al sistema Definición de pareja: dos vectores con mismo módulo, misma recta soporte y sentidos opuestos SISTEMAS DE VECTORES

EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante las siguientes operaciones elementales: 2. Supresión de una pareja de vectores del sistema SISTEMAS DE VECTORES

EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante las siguientes operaciones elementales: a c=a+b b SISTEMAS DE VECTORES 3. Sustitución de dos vectores, con rectas soporte concurrentes, por su suma en una recta soporte concurrente con las otras dos

EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante las siguientes operaciones elementales: a c=a+b b SISTEMAS DE VECTORES 4. Sustitución de un vector por su descomposición en dos vectores situados sobre rectas soporte concurrentes con la del primero

RESULTANTE Y MOMENTO DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (1) O’ ai O ri Relación entre los momentos del sistema con respecto a diferentes puntos del espacio SISTEMAS DE VECTORES

RESULTANTE Y MOMENTO DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (2) LAS OPERACIONES ELEMENTALES QUE DEFINEN LA EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES, NO CAMBIAN NI LA RESULTANTE DEL SISTEMA NI EL MOMENTO DEL SISTEMA RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA SISTEMAS DE VECTORES

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (VECTORES PARALELOS CON MISMO SENTIDO) Reducir un sistema de vectores es convertirlo en otro equivalente con menos vectores SISTEMAS DE VECTORES

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES (VECTORES PARALELOS DE SENTIDOS OPUESTOS) SISTEMAS DE VECTORES

PAR DE VECTORES b A’ A a O Un par tiene resultante nula y momento independiente del punto con respecto al cual lo calculemos SISTEMAS DE VECTORES Un par son dos vectores de mismo módulo, sentidos opuestos y rectas soporte paralelas

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (1) -b A -a B B’ a A’ b -a B -b A A’ b a SISTEMAS DE VECTORES B’

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (2) SISTEMAS DE VECTORES

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (3) SISTEMAS DE VECTORES

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (4) SISTEMAS DE VECTORES

EQUIVALENCIA DE PARES DE VECTORES (5) SE PUEDE ESTABLECER UNA BIYECCIÓN ENTRE EL CONJUNTO DE LAS CLASES DE PARES EQUIVALENTES Y LOS VECTORES LIBRES DEL ESPACIO SISTEMAS DE VECTORES

REDUCCIÓN GENERAL DE UN SISTEMA (1) R q SISTEMAS DE VECTORES -q. P

REDUCCIÓN GENERAL DE UN SISTEMA (2) c P a Un sistema de vectores deslizantes puede reducirse a tres vectores aplicados en tres puntos cualesquiera no alineados SISTEMAS DE VECTORES M N b

REDUCCIÓN GENERAL DE UN SISTEMA (3) c p b 1 P a 1 b 2 a 2 N b b 1 Un sistema de vectores b 2 deslizantes puede Q reducirse a dos vectores cuyas rectas soporte se cruzan SISTEMAS DE VECTORES M a a 1 q a 2

REDUCCIÓN GENERAL DE UN SISTEMA (4) p R q Q q -q Un sistema de vectores deslizantes puede reducirse a la resultante del sistema aplicada en un punto P cualquiera más un par cuyo momento es el del sistema con respecto a P SISTEMAS DE VECTORES P

REDUCCIÓN GENERAL DE UN SISTEMA (5) R q SISTEMAS DE VECTORES -q. P

DETERMINACIÓN DE UNA CLASE DE SISTEMAS POR SU RESULTANTE Y SU MOMENTO (1) R -q q P R’ -q’ q’ P

DETERMINACIÓN DE UNA CLASE DE SISTEMAS POR SU RESULTANTE Y SU MOMENTO (2) DOS SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES SON EQUIVALENTES SI Y SÓLO SI SUS RESULTANTES Y SUS MOMENTOS CON RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA DEL ESPACIO SON IGUALES SISTEMAS DE VECTORES

EJE CENTRAL DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES E INVARIANTE M* R M 0 M* E O

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES S 11 (R 0, M* 0) Máxima reducción a la resultante y un par Condición eje central: R x ME = 0 S 01 (R=0, M 0) Máxima reducción a un par aplicado en cualquier punto del espacio Eje central no definido SISTEMAS DE VECTORES S 10 (R 0, M*=0) Máxima reducción resultante en un punto del eje central Condición eje central: ME = 0 S 00 (R=0, M=0)

BIBLIOGRAFÍA ANÁLISIS VECTORIAL, J. J. SCALA Lección 4: Vectores deslizantes y ligados FÍSICA GENERAL I, A. M. Sánchez Pérez Secciones 4. 11 y 4. 12 Casi todo lo que sé de vectores lo aprendí en los libros y apuntes personales de D. Juan José Scala Estalella. Uno de los objetivos de esta presentación es hacer una pequeña contribución a que su trabajo continúe siendo de utilidad a los estudiantes de ingeniería.