VECTORES EN EL ESPACIO U D 9 2

VECTORES EN EL ESPACIO U. D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 1

VECTORES EN EL ESPACIO U. D. 9. 2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 2

NOMENCLATURA • • El conjunto de todos los puntos del espacio es R 3 El conjunto de todos los vectores fijos del plano es F 3 El conjunto de todos los vectores libres del plano es V 3 es un subconjunto de F 3 • BASE CANÓNICA • Base canónica de V 3 es el conjunto formado por tres vectores perpendiculares de módulo la unidad, que representamos por B=(i, j, k), es decir i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) • COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE • Sea B=(i, j, k) una base canónica del plano y v un vector cualquiera de V 3 , se llaman coordenadas cartesianas del vector v a la terna de números (x, y, z) tales que permiten expresar al vector v como combinación lineal de los vectores de la base que forma: • @ Angel Prieto Benito v=xi+yj+zk Apuntes 2º Bachillerato C. T. 3

Coordenadas cartesianas • Un sistema de coordenadas cartesianas en V 3 está formado por: • Tres rectas perpendiculares entre si y graduadas, dos horizontales y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. • • La unidad del eje OX es el vector i. La unidad del eje OY es el vector j. La unidad del eje OZ es el vector k. P z v -x Los ejes de coordenadas dividen el espacio en ocho zonas o regiones llamados OCTANTES. Cada zona queda definida por el signo de los coeficientes (x, y, z) de los vectores de base canónica: -y (x, y, z) = (+, +, +), (+, +, -), (+, -, +), (-, +, +), (+, -, -), (-, +, -), (- , -, +) y (-, -, -). y k O j i x v = xi + yj + zk -z @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 4

Regiones espaciales • • • Cualquier punto P del espacio tridimensional, de R 3 tiene un único vector fijo asociado al punto llamado Vector de posición, cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas O(0, 0, 0). P z v Ejemplos: v 1 = 3 i + 4 j + 5 k v 2 = 3 i + 4 j – 5 k v 3 = 3 i – 4 j + 5 k v 4 = – 3 i + 4 j + 5 k v 5 = 3 i – 4 j – 5 k v 6 = – 3 i – 4 j + 5 k v 7 = – 3 i + 4 j – 5 k v 8 = – 3 i – 4 j – 5 k @ Angel Prieto Benito -x y k O j i -y x -z Apuntes 2º Bachillerato C. T. 5

NOMENCLATURA • • • Sea v un vector libre en V 3. Y sea P cualquier punto en R 3 Ya hemos dicho que existe un único representante de v con origen en P. Sea O un punto fijo del espacio llamado origen de coordenadas. • CORRESPONDENCIA • A cada punto P del plano se le hace corresponder de modo único un vector v = OP, que llamamos vector de posición. A cada vector v del espacio, en V 3 se le hace corresponder de modo único un punto P, de forma que OP=v • • SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO • • Se llama sistema de referencia euclídeo del espacio a R=(O, i, j) donde: O es un punto cualquiera llamado origen de coordenadas. B=(i, j, k) es la base canónica de V 3. También se llaman sistema de referencia ortonormal. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 6

SUMA DE VECTORES • Sea cual sea la base, canónica o no, se establecen dos operaciones fundamentales con vectores: Suma de vectores y Producto de un número por un vector. • SUMA DE VECTORES • • Sea el vector v= (x, y, z) y el vector u= (x’, y’, z’) La suma será: S = v+u = (x, y, z)+(x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) • • • EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4, -1) y el vector u= (2, -7, -3) La suma será: S = (3+2, 4 – 7, – 1 – 3 ) = (5, – 3, – 4) • • • EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2, 7) , el vector u =(5, - 7, 3) y el vector w =(1, - 7, 4). La suma será: S = (-3+5+1, 2 – 7, 7+3+4 ) = (2, - 12, 14) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 7

PRODUCTO DE N POR UN VECTOR • PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR • • Sea el vector v= (x, y) y el número real k K. u = k(x, y) = (kx, ky) • • • EJEMPLO_1 Sea el vector u= (2, - 4, 7) y k = 3 k. u = 3. (2, - 4, 7) = (6, - 12, 21) • • • EJEMPLO_2 Sea el vector v= (– 3 , 0, 0) y k = – 2 k. v = (– 2). (– 3, 0, 0) = (6, 0, 0) • • • EJEMPLO_3 Sea el vector w= (1, – 5, – 2) y k = – 1 k. w = (– 1). (1, – 5, – 2) = (– 1, 5, 2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 8

PROPIEDADES OPERATIVAS • • • • • ASOCIATIVA u+(v+w)=(u+v)+w Ejemplo: (1, 1, 1)+[(1, 2, 1)+(1, 1, 2)] = [(1, 1, 1)+(1, 2, 1)]+(1, 1, 2) (1, 1, 1)+[(2, 3, 3)] = [(2, 3, 2)]+(1, 1, 2) (3, 4, 4) = (3, 4, 4) COMMUTATIVA u+v=v+u Ejemplo: (-1, 1, -3)+(1, -2, 4) = (1, -2, 4)+(-1, 1, -3) (0, -1, 1) = (0, -1, 1) ELEMENTO NEUTRO u+0=u Ejemplo: (3, -5, 7)+(0, 0, 0) = (3+0, -5+0, 7+0) = (3, -5, 7) ELEMENTO OPUESTO u+(-u)=0 Ejemplo: (3, -5, 7)+(-3, 5, -7) = (3 -3, -5+5, 7 – 7) = (0, 0, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 9

PROPIEDADES OPERATIVAS • • • • • DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA k. (u+v) = ku + kv Ejemplo: 3. [(1, 2, 1)+(1, 1, 2)] = 3. (1, 2, 1)+3. (1, 1, 2) 3. (2, 3, 3) = (3, 6, 3)+(3, 3, 6) (6, 9, 9) = (6, 9, 9) DISTRIBUTIVA RESPECTO A COEFICIENTES (m+n)u = mu+un Ejemplo: (3 – 5). (– 1, 2, – 3) = 3. (– 1, 2, – 3) + (– 5). (– 1, 2, – 3) (– 2). (– 1, 2, – 3) = (– 3, 6, – 9) + (5, – 10, 15) (2, – 4, 6) = (2, – 4, 6) ASOCIATIVA m(nu)=(m. n)u Ejemplo: (– 5). [(– 1)(4, 2, – 3)] = [(– 5). (– 1)]. (4, 2, – 3) (– 5). (– 4, – 2, 3) = 5. (4, 2, – 3) (20, 10, – 15) = (20, 10, – 15) ELEMENTO NEUTRO 1 u=u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 10

MÓDULO • MÓDULO P • Módulo de un vector v , |v|, es su longitud. z • |v|=√(x 2+y 2) , en el plano. v • En el espacio, aplicando sucesivamente Pitágoras, tal como haríamos al calcular la diagonal de un prisma recto: -x • |v|=√(x 2 + y 2 + z 2). • -y y k O j i x -z @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 11

VECTOR UNITARIO • VECTOR UNITARIO • • Llamamos vector unitario aquel cuyo módulo mide la unidad. Si tenemos: v=xi + yj + zk Sabemos que: |v|=√(x 2 + y 2 + z 2) El vector unitario u, sde la misma dirección y sentido que v, sería: x y z u= -----. i + -----. j + ------. k |v| |v| • • • Comprobando: |v’|= √([x/√(x 2 + y 2 + z 2)] 2 + √ [y/√(x 2 + y 2 + z 2)] 2 + + √ [z/√(x 2 + y 2 + z 2)] 2 ) = √((x 2 + y 2 + z 2)/(x 2 + y 2 + z 2)] = √ 1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. T. 12

Ejemplos • • • Ejemplo 1 Hallar el vector unitario de: v=3 i + 4 j + 12 k Resolución Sabemos que: |v|=√(x 2 + y 2 + z 2) |v|=√(32 + 42 + 122)=√ 169 = 13 El vector unitario sería: v’= (3/13)i + (4/13)j + (5/13)k • • • Ejemplo 2 Hallar el vector unitario de: v=5 i – 12 k Resolución |v|=√(52 + 02 + 122)=√ 169 = 13 v’= (5/13)i – (12/13)k @ Angel Prieto Benito • • Ejemplo 3 Hallar el vector unitario de: v= 6 j + 8 k Resolución |v|=√(02 + 62 + 82)=√ 100 = 10 El vector unitario sería: v’= (6/10)j + (8/10)k • • Ejemplo 4 Hallar el vector unitario de: v=i – j – k Resolución |v|=√(12 + (-1)2)=√ 3 v’= (1/√ 3)i – (1/√ 3)j – (1/√ 3)k Racionalizando denominadores: v’= (√ 3/3)i – (√ 3/3)j – (√ 3/3)k Apuntes 2º Bachillerato C. T. 13