Computacion Inteligente Conjuntos fuzzy 1 Conjuntos Difusos 2

Computacion Inteligente Conjuntos fuzzy 1

Conjuntos Difusos 2

Los Conjuntos y la Logica difusa 1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of California, Berkeley 70’s primeras aplicaciones (Mamdani) 80’s aplicaciones industriales. Operación de un tren en Senday, Japon. 1986: Chip VLSI 90’s productos de consumo. Camaras, lavadoras 1994: Toolbox de Mat. Lab 3

Conjuntos Clasicos Alguna propiedad de x determina su pertenencia al conjunto A 4

Conjuntos Clasicos Tradicionalmente un conjunto (S) se caracteriza: El conjunto de numeros naturales menores que cinco 5

Conjuntos Difusos (1) 6

Conjuntos Difusos (2) Perfil subjetivo 7

Conjuntos Difusos: definicion Un conjunto difuso (A) sobre el dominio (universo) X es un conjunto definido por la funcion de pertenencia μA(x), la cual es un mapeo desde el universo X al intervalo unitario 8

Conjuntos Difusos (3) Un conjunto difuso (A) se caracteriza: donde X es el universo de discurso, y µA la función de pertenencia. Para cada elemento x, µA(x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A. 9

Conjuntos Difusos (4) Habitualmente se utilizan funciones de pertenencia estándar cuya representación nos da una determinada forma. Nos permite representar las funciones de forma compacta, a la vez que se simplifican los cálculos. µA µA X 10 Conjunto Triangular X Conjunto Trapezoidal

Representacion de conjuntos fuzzy Como una lista de pares pertenencia/elemento Formula analitica para la funcion (grado) de pertenencia 11

Definiciones basicas y terminologia 12

Confuntos fuzzy Definicion formal : Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un conjunto de pares ordenados: Conjunto fuzzy Funcion de pertenencia (MF) Universo o Universo del discurso Un conjunto fuzzy esta completamente caracterizado por una funcion de pertenencia 13

Conjuntos fuzzy con Universo Discreto A = “numero razonable de hijos” X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (universo discreto) A = {(0, . 1), (1, . 3), (2, . 7), (3, 1), (4, . 6), (5, . 2), (6, . 1)} 14

Conjuntos fuzzy con Universo Continuo B = “cerca de 50 años de edad” X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo) B = {(x, m. B(x)) | x in X} 15

Notacion Alternativamente un conjunto fuzzy A puede ser denotado como sigue: X es discreto X es continuo Note que los signos S e integral establecen la union de los grados de pertenencia; el signo “/” es un marcador y no implica division. 16

Particion Fuzzy Particion fuzzy formada por los valores linguisticos “young”, “middle aged”, y “old”: lingmf. m 17

Propiedades de los Conjuntos Difusos (1) Soporte: el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero. 18

Propiedades de los Conjuntos Difusos (2) Altura: el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto. 19

Propiedades de los Conjuntos Difusos (3) Core: (Kernel) el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a uno. Corte-Alfa 20

Propiedades Support Core Crossover points a-cut MF 1. 5 a 0 Core Crossover points a - cut Support 21 X

Numeros Fuzzy 22

Concepto de un Numero Fuzzy Cero 23 u Casi Cero u Cerca de Cero

Intervalo fuzzy 24

Mas Definiciones 25

conjunto singleton El conjunto singleton A 26

Convexidad de los conjuntos fuzzy Un conjunto fuzzy A es convexo si para cualquier l en [0, 1], convexmf. m 27

Operaciones con Conjuntos Fuzzy 28

Subconjunto de conjuntos fuzzy Subconjunto: subset. m 29

Operaciones sobre conjuntos fuzzy Complemento: 30

Operaciones sobre conjuntos fuzzy Union: Interseccion: 31

Operaciones sobre conjuntos fuzzy fuzsetop. m 32

Funciones de pertenencia tipicas 33

Funciones de pertenencia MF Triangular: MF Trapezoidal: 34

Funciones de pertenencia MF Gausiana: MF Campana generalizada: 35

Funciones de pertenencia disp_mf. m 36

Conjuntos fuzzy multidimencionales 37

Conjuntos fuzzy multidimencionales 38

Extension cilindrica 39

Extension cilindrica Conjunto base A Ext. cilindrica de A cyl_ext. m 40

Proyeccion 2 D en X 1 41

Proyeccion 2 D en X 2 42

Projeccion 2 D MF en dos dimensiones project. m 43 Projeccion en X Projeccion en Y

Interseccion en el espacio producto carteciano Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentes resulta en un conjunto fuzzy multidimensional 44

Operaciones en 2 D mf 2 d. m 45

Operadores generalizados 46

Operadores generalizados 47 Complemento: NOT Interseccion: AND Union: OR

Complemento Fuzzy requiremientos Generales: • Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0 • Monotonicidad: N(a) > N(b) if a < b • Involucion: N(N(a) = a 48

Complemento Fuzzy Dos tipos de complementos fuzzy: • Complemento de Sugeno: • Complemento de Yager: 49

Complemento Fuzzy Complemento de Sugeno: 50 Complemento de Yager: negation. m

Operadores generalizados Las norma y conorma triangulares generalizan operaciones conjuntos Norma-T: generaliza el concepto de intersección Conorma-T: generaliza el concepto de unión 51

Norma-T: Interseccion Fuzzy Requerimientos basicos: • Frontera: T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a • Monotonicidad: T(a, b) < T(c, d) if a < c and b < d • Commutatividad: T(a, b) = T(b, a) • Asociatividad: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c) 52

Norma-T: Interseccion Fuzzy Cuatro ejemplos: • Minimo: Tm(a, b) = min(a, b) • Producto algebraico: Ta(a, b) = a*b • Producto acotado: Tb(a, b) • Producto drastico: Td(a, b) 53

El operador norma-T Minimum: Tm(a, b) 54 Algebraic product: Ta(a, b) Bounded product: Tb(a, b) tnorm 2. m Drastic product: Td(a, b)

Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy Requerimientos basicos: • Frontera: S(1, 1) = 1, S(a, 0) = S(0, a) = a • Monotonicidad: S(a, b) < S(c, d) if a < c and b < d • Commutatividad: S(a, b) = S(b, a) • Associatividad: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) 55

Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy Cuatro ejemplos: • Maximo: Sm(a, b) = max(a, b) • Suma algebraica: Sa(a, b) = a+b-a*b • Suma acotada: Sb(a, b) • Suma drastica: Sd(a, b) 56

Conorma-T o norma-S Maximum: Sm(a, b) 57 Algebraic sum: Sa(a, b) Bounded sum: Sb(a, b) tconorm. m Drastic sum: Sd(a, b)

Ley de De. Morgan Generalizada Las normas-T y conormas-T son duales si soportan la generalizacion de la ley de De. Morgan: • T(a, b) = N(S(N(a), N(b))) • S(a, b) = N(T(N(a), N(b))) Tm(a, b) Ta(a, b) Tb(a, b) Td(a, b) 58 Sm(a, b) Sa(a, b) Sb(a, b) Sd(a, b)

Norma-T y norma-S Parametrizadas Normas-T y conormas-T duales parametrizadas han sido propuestas por varios investigadores: • • 59 Yager Schweizer and Sklar Dubois and Prade Hamacher Frank Sugeno Dombi

Algunos operadores generalizados Conorma-t Norma-t rango autor Schweizer &Sklar [69] Hamacher [70] Yager [72] Dombi [74] 60

Fuentes J. -S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro. Fuzzy and Soft Computing. CS Dept. , Tsing Hua Univ. , Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000 Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002. 61

Fuentes R. Babuska, H. B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995. Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L. X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1. 994 62