MULTIDISCIPLINARNOST MATEMATIKOG MODELIRANJA BIOTEHNIKE MATEMATIKE ZNANOSTI RAUNARSKE ZNANOSTI
MULTIDISCIPLINARNOST MATEMATIČKOG MODELIRANJA BIOTEHNIČKE MATEMATIČKE ZNANOSTI RAČUNARSKE ZNANOSTI
Srž matematičkog modela M je određivanje matematičko statističkih relacija kojima se povezuje skup izlaznih veličina Y, one su zavisne veličine, o skupu nezavisnih ulaznih veličina X. M X Y Y=M(X) Shematski prikaz matematičkog modela M kojim se ulaznim veličinama X pridružuje skup izlaznih veličina Y.
Procesni prostor P kauzalnost Ulazne veličine X Izlazne veličine Y Slika: Shematski prikaz prvog koraka modeliranja kojim se procesni prostor P temeljem svrhovitosti sustava i kauzalnosti veličina razdvaja u skupove ulaznih X i izlaznih veličina Y.
Metodologija i struktura matematičkog modela može biti vrlo različita i najčešće je određena prirodom istraživanog kemijsko inženjerskog sustava, njegove svrhovitosti i cilja matematičkog modeliranja. Na primjer, navedimo samo neke vrste matematičkih modela s obzirom na njihovu matematičku strukturu: jednadžba regresijskog pravca, multivarijantni linearni regresijski modeli (MIMO) autoregresijski linearni modeli (MISO) regresijski polinomi, regresijski modeli glavnih komponenata (PLS, PCR), obične diferencijalne jednadžbe, parcijalne diferencijalne jednadžbe, neuronske mreže, modeli neizrazite logike, stohastički modeli, itd.
Modeli se mogu razlikovati prema svojoj svrhovitoj namjeni, na primjer za istraživanje: biokemijskog mehanizma i kinetike fenomena prijenosa tvari i energije uvećanja od laboratorijskog do industrijskog mjerila upravljanje procesa optimiranje procesa, itd. Zajednička svrha matematičkih modela je da omogućuju eksperimentiranje s modelom u svrhu istraživanja. Drugim riječima, model mora vjerno reproducirati vladanje realnog procesa u područje njegove primjene. Osnovni metodološki postupak istraživanja primjenom modela naziva se simuliranje procesa ili sustava. Simulacija modelom je podržana računalnim programima („software“) kojima se omoguće učinkovito računanje vrijednosti izlaznih veličina, prikladan grafički prikaz i statistička analiza rezultata simulacije.
M Xp simulacija Yp Xk Yk Shematski prikaz simulacije procesa kojom se istražuje prostor skupa ulaznih veličina X veličina od početne Xp za t=0 do konačne vrijednosti Xk za t=tk i posljedice ovih promjena u skupu izlaznih veličina Y od početne Yp za t=0 do konačne Yk za t=tk.
Matematički modeli imaju središnju ulogu u upravljanju procesa povratnom vezom ili spregom („feedback control“). Smisao upravljanja procesa je odrediti promjene ulaznih manipulativnih (podesivih) veličina kojima se može kompenzirati pore mećaj izlaznih veličina kao posljedica utjecaja poremećaja okoline na proces M X Y δY δX M-1 Da bi se odredile potrebne promjene ulaznih veličina za zadane poremećaje izlaznih veličina potrebno je koristiti inverzni matematički model M 1, tako da se dobije
Određivanje inverznog matematičkog M 1 modela nije uvijek moguće provesti na eksplicitan način na osnovu modela procesa M, na primjer u općem slučaju je nemoguće invertirati model dan u prostoru stanja s sustavom običnih ili parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Za tu svrhu se najčešće koriste aproksimativni linearni modeli čiji parametri su određeni za pojedina lokalna područja prostora ulaznih veličina. Također su u tu svrhu često primjenjuju i modeli s neuronskim mrežama te modeli s neizrazitom logikom.
Upravljanje procesa matematičkim modelima (MPC, Model Predictive Control)
Modeling techniques applied in biochemical engineering Steady state single input single output regression x y y=f(b, x) Unsteady state discrete single input single output ARMA Unsteady state continuous single input single output
Multivariate PLR models x 1 x 2 xm y=f(b, x 1, x 2··xm) y 1 y 2 yn Steady state linear multivariate model multiple input – single output Partial linear regression (PLR) multiple input single output Si+3 Konveksni skup {X, Y} Si Si+1 Si+2 y x
Modeliranje u prostoru stanja Matematički modeli biokemijsko inženjerskih procesa (sustava) najčešće se izvode iz slijedećih fundamentalnih prirodnih zakona sačuvanja sljedećih ekstenzivnih veličina: masa tvari, energija i količina gibanja. Ovi prirodni zakoni se primjenjuju kao vremenski promjenljivih bilanci u obliku promjena pripadnih intenzivnih veličina koncentracije, temperature i brzine gibanja izraženih u obliku sustava običnih (ODJ) ili parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (PDJ). Modeli koji su opisani ODJ izvode se apstrakcijom kojom se prostorna raspodjela fizikalnih i biokemijskih veličina zanemari, i promjena stanja proces se promatra kao da se zbiva u materijalnoj točci. Oni se nazivaju koncentriranim modelima („lumped models“) i najčešće se koriste u procesima u kojima postoji intenzivno miješanje kojim se homogenizira raspodjela koncentracija i temperature u procesnom prostoru. Tipičan primjer je idealan protočan kemijski reaktor (PKR).
ulazni tok izlazni tok M Procesni prostor modeliranje ulazni tok T(t) c(t) izlazni tok Shematski prikaz apstraktnog procesa kojim se realni procesni prostor modelom usredotočenih veličina, na primjeru kojem se prostorne raspodjele temperature i koncentracije tvari koncentrirane u materijalnoj točci opisane samo vremenski zavisnim veličinama T(t) i c(t).
Najvažnije, a ujedno i najkritičnije su prva i zadnja faza kada se odlučuje o izboru skupova ulaznih i izlaznih veličina uključenih u model, i zadnja faza kada se mora rigoroznim testovima ispitati validacija modela. Opća značajka matematičkog modeliranja je iteracijska priroda pojedinih faza na osnovu rezultata validacije cjelokupnog modela. Sve faze tijekom razvoja matematičkog modela se preispituju u odnosu na svrhovitost modela koja se validira. Mogućnosti izbora matematičkog modela su vrlo velike, i najčešće se u prvoj fazi modeliranja pretpostavlja klasa mogućih modela koji se onda međusobno uspoređuju dok se ne postigne najprikladniji izbor. Moguće klase modela, koje se najčešće slikovito opisuju i rangiraju prema karakteru informacija integriranih u model, od modela „crne kutije“ („black box“) preko „sivih modela“ („gray box“) do modela „bijele kutije“ („white box“) modela.
Grafički prikaz odnosa razine fundamentalnih znanja o modeliranom sustavu i njegovoj kompleksnosti i metodologije modeliranja od modela „bijele“ do modela „crne“ kutije. razina fundamentalnih znanja o sustavu kompleksnost sustava „white ODJ box models“ PDJ DAE „grey box models“ ARMA, ARMAX, PLS fuzzy logic „black ANN box models“
Ba. N stochsim Petri Nets Proc e calc ss uli continuous ↔ discrete Boolean networks Space of modeling methods ODE qual itativ e ↔ quan titati ve c li o b ym nis a h mec tic ↔ s
Klasifikacija analitičkih („white box“) modela
Dimenzija, parametri i složenost matematičkog modela Kako konceptualno odrediti “optimalni” model ?
Validacija matematičkog modela Grafički prikaz ulazno izlaznih podataka {X, Y} podijeljenih u dva skupa za modeliranje SM i validaciju modela SV.
Grafički prikaz ulazno izlaznih podataka {X, Y}podijeljenih u tri disjunktna skupa za modeliranje SM, optimiranje parametara modela SO i validaciju modela SV.
Neki statistički kriteriji validacije modela Linearni Pearsonov koeficijent korelacije
Populacijski Pearsonov koeficijent korelacije Koeficijent korelacije određen na osnovu n uzoraka ulazno izlaznih podataka Za usporedbu različitih modela koji se razlikuju prema broju parametara u modelu potrebno je korigirati koeficijent korelacija s obzirom na broj parametara („adjusted Pearson correlation“).
Koeficijent determinacije modela Koeficijent determinacije se služi kao mjera točnosti predikcije modela Ukupna disperzija eksperimentalnih podataka Ukupna disperzija podataka predikcije modela “Lack of fit” : SStot SSreg ANOVA analiza “lack of fit” za model Replikacije eksperimenta i “analytical error”
Ukupna disperzija razlika između eksperimentalnih podataka i predikcija modela (modelom neobjašnjena disperzija) Koeficijent determinacije Za linearne modele koeficijent determinacije jednak je kvadratu Pearsonov og koeficijenta korelacije Za usporedbu dvaju modela s različitim brojem parametara koristi se prilagođeni koeficijent determinacije gdje je n broj uzoraka a p je broj parametara u modelu
Fisherov omjer (test) Statistički se testira omjer varijanci modela i eksperimentalnih podataka Raspodjela gustoće vjerojatnost Fisherove slučajne veličine definirana je stupnjevima slobode varijanci u brojniku i nazivniku. Posebno je važno pri testiranju modela odrediti značajnost omjera varijanci analitičke greške iz pokusa ponavljanja i varijance pogreške modela
„Cross validation” Postupak procjene prediktivnosti modela kada nije na raspolaganju nezavisan set podataka za validaciju. Validacija se provodi eliminiranjem jednog po jednog uzorka iz skupa za modeliranje i uzastopno se ponavljanja određivanje parametara modela i analiza pogreške predikcije. Rezultati analize trebaju ukazati da li je model robustan na izostanak pojedinih uzorka i da li postoji dominant uzorak koji bitno utječe na model.
Modeli osnovnih bilanci Osnovne bilance su: bilance tvari, energije i količine gibanja f izlazni fluks f ulazni fluks f f z normala na površinu S n V n f izlazni fluks f f f izlazni fluks f ulazni fluks f y f f x ulazni fluks f S f izlazni fluks f Bilance se postavljaju za dio trodimenzionalnog prostora (x, y, z) omeđenog površinom S i obujma V. Površina je orijentirana tako da je u svakoj točci na površini definiran jedinična normala n.
U promatrani dio prostora iz okoline se prenose tvari, energija i količina gibanja ulaznim tokovima (fluksovima f. A) i iz promatranog prostora u okolinu se izlaznim tokovima (fluksovima f) prenose tvari, eneregija i količina gibanja. f izlazni fluks f ulazni fluks f f z normala na površinu S n V n f izlazni fluks f f f izlazni fluks f ulazni fluks f y f f x ulazni fluks f S f izlazni fluks f Oznakom A je označena veličina stanja (količina tvari, energija i količina gibanja) čija bilanca je određena ulaznim i izlaznim tokovima i promjenama zbog kemijske ili biokemijske transformacije.
Integralni (odnosi se na cjelokupni promatrani volumen) opći oblik bilance je promjena akumulacije A ulazno/izlazni tokovi A (bio) kemijska pretvorba A Primijenimo Green ov teorem kojim se površinski integral zamjenjuje volumnim „nabla“ operator
Primjenom Green ovog teorema dobije se opći diferencijalni oblik bilance stanja A gdje je vektor položaja točaka unutar promatranog volumena a vrijeme je t Značajke bilance: parcijalna diferencijalna jednadžba raspodijeljene veličine stanja A u promatranom prostoru nestacionarna bilanca nelinearna (najčešća nelinearnost je kinetika brzine (bio)/kemijske transformacije potrebno je zadati početne uvjete stanja A po obujmu V potrebno je zadati rubne uvjete na površini S rješavanje je numeričkim postupkom primjenom računala
početni uvjet određuje stanje u promatranom sustavu u trenutku t = 0 Rubni uvjeti imaju tri osnovna oblika: 1) kontinuitet veličine stanja A na plohi S između promatranog sustava i okoline (von Neumanov rubni uvjet) Stanje A u promatranom sustavu na površini S jednako je stanju AS u okolini na graničnoj plohi S
2) kontinuitet gradijenta na graničnoj plohi (Dirichletov rubni uvjet) 3) kontinuitet fluksa (Danckwerts ov rubni uvjet)
Pojedinačne bilance Bilanca kapljevine ili plina ρ je gustoća kapljevine, ρ= ρ(T), ili plina ρ= ρ(T, p) Bilanca tvari za A za primjer (bio)kemijskog reaktora Laplace ov operator
Bilanca količine gibanja (Navier Stokes ova jednadžba protjecanja plina i kapljevine)
Primjeri modela biološke razgradnje otpadne tvari Biološki proces razgradnje A ulazni tok A izlazni tok A A +X X+ P A je otpadna tvar (“polutant”) X je biomasa (mješovita mikrobna zajednica) “mixed culture” P je produkt biološke razgradnje
Model s usredotočenim veličinama stanja xul A + X X+ P O 2 Stehiometrijska bilanca Algebarska stehiometrijska bilanca x
Kinetika procesa Pretpostavke: Michaelis Menten + Monod Veličine stanja: A, O 2 , X, h (razina) Parametri modela Fizikalni: protok q, površina presjeka S, ulazna koncentracija Au, topivost kisika O 2* , Volumni koeficijent prijenosa kisika kla Biološki: vmax, KA, KO 2
Bilanca kapljevine Bilanca polutanta Bilanca biomase Bilanca otopljenog kisika Bilanca produkta
Početni uvjeti Simulacija dinamike procesa: Berkeley Madonna software (vježbe) Diskusija: monitoring procesa, upravljanje procesa
Model s raspodijeljenim veličinama stanja Bazen za biološku obradu otpadne (komunalne) vode obrađena voda otpadna voda Sul V 1 V 2 Vi aeracija O 2 Model cijevnog reaktora VN Sizl
Bio. Win Simulator jedno stupnjevitog procesa Influent: ulazni tok sirove (neobrađene) vode Primarni clarifier: primarni taložnik Primary sludge: primarni (ulazni) mulj Aero basin: bioreaktor s aktivnim muljem Ideal clarifier: taložnik separator aktivnog mulja WAS: (wasted active sludge) otpadni aktivni mulj Effluent: obrađena (izlazna) voda
Kontinuirane nestacionarne bilance Bilanca za polutant S Bilanca za biomasu X Bilanca za kisik
Početni uvjeti Ulazni rubni uvjeti Iz povratnog toka Izlazni rubni uvjeti
Model s diskretnom raspodjelom stanja Biološka razgradnja i+1 i i 1 i ti odjeljak Vi O 2 Ulazni tokovi u odjeljak i Izlazni tokovi u odjeljak i
Diskretne bilance kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi ODE Bilanca polutanta u i tom odjeljku Bilanca biomase u i tom odjeljku Bilanca kisika u i tom odjeljku Početni uvjeti Računalni software:
CFD (Computational Fluid Dynamics) model Numerička metoda konačnih elemenata (“finite elements”) Prostor u kojem se odvija proces podijeli se u veliki broj elemenata (“finite elements”) za koje se bilance rješavaju numerički polinomnom aproksimacijom i primjenom metode kolokacija. Primjer mreže konačnih elemenata na plohi Primjer mreže konačnih elemenata diskretizacijom cijevi Interpolacijski polinomi se određuju iz uvjeta kontinuiteta funkcije (stanja procesa) i prve derivacije u čvornim te uz uvjet isčezavanja reziduuma bilance u središnjoj toči svakog pojedinog elementa.
Aproksimacija veličine stanja S u prostoru V 4 S(x, y, z) 3 1 2 V N su “basis” ili “shape” funkcije, na primjer linearne FEM N funkcije su predeterminirane u skladu s globalnim svojstvima sustava (npr. geometrijom, kontinuitetom), Si su nepoznanice
Linearne bazične (“shape”) funkcije u jednoj dimenziji Ni(x) 1 0 x 1 x 1 x Duomo Florence
Modeliranje reakcijskih sustava Na primjer, složeni sustav reakcija u atmosferi ili sustav metaboličkih reakcija u pojedinoj stanici ili mješovitoj kulturi stanica
Tools for simulation of kinetic models Bio. Spice V CELL SBW Cell. X/Karyote project size M Cell E CELL COPASI Dizzy DBsolve Py. SCe. S SBToolbox Meso. RD Kinetikit JDesigner/Jarnak Jig. Cell Bio. Net. S XPPAUT Narrator deterministic Cellware ↔ stochastic
usredotočeni “lumped” model prostor reakcija M reakcija r 1 r 2 r 3 ----r. M Primjeri: vježbe Berkely Maddona S prostor bilanci N supstanci bilanca A 1 bilanca A 2 bilanca A 3 ----bilanca AN
Analiza regulacije metaboličkih puteva (MCA Metabolic Control Analysis) S 1 S r 1 reakcija S 3 S 2 r 2 signal SN r. N-1 r 3 aktivacija P r. N inhibicija Slika: Shematski prikaz niza serijskih transformacijama snaznakama regulacije aktivacijom i inhibicijom (interakcija metabolit enzim)
Smisao istraživanja je analiza „ograničenja“ koje određuje maksimalni moguću brzinu reakcije, tok J, transformacije S u P. S J P Zbog složenosti regulacije nije moguće izolirati jednu reakciju kao „usko grlo“, jer se ograničenje toka J mijenja koncentracijom supstrata S, i koncentracijama metabolita si, odnosno „usko“ grlo mijenja svoj položaj u nizu reakcija zavisno od raspodjele koncentracija supstrata i svih metabolita. Zato je potrebno primijeniti sustavske značajke (odgovorne za cjelokupni sustav reakcija i metabolita) u svrhu analize regulacije metaboličkih reakcija.
Da bi se analiza pojednostavila, ograničava se na uvjete celularne „homeostaze“ (održavanje stalnih uvjeta u živoj stanici), odnosno formalno matematički na uvjete stacionarnog stanja sustava reakcija. Stacionarnost implicira jednakost svih reakcija, nema dinamičkih promjena akumulacije pojedinih metabolita, a koncentracije supstrata S i P su stalne. Ispituje se utjecaj koncentracije pojedinih enzima na tok J. Promjenom koncentracije pojedinog enzima dolazi do redistribucije metabolita, i mijenja se stacionarni tok od S do P. Koeficijenti regulacije toka („flux control coefficient“) Koeficijenti elastičnosti („elasticities“) Koncentracijski koeficijenti regulacije
Modeliranje intracelularnih tokova (MFA) metabolic flux analysis Modeliranje intracelularnih tokova, odnosno unutar staničnih reakcija, zasniva se na primjeni modela bilance tvari u složenom sustavu enzimskih reakcija na osnovi poznavanja stehiometrijskih odnosa pojedinih reakcija. Modelom se obuhvaćaju i tokovi (transmembranske reakcije) izmjene tvari između stanice i okoline. Uz aktivne mehanizme prijenosa tvari kroz staničnu membranu (enzimske reakcije) u model su uključeni i pasivni (fizikalni) mehanizmi prijenosa, npr. prijenos difuzijom. Opći prikaz modela je na slici 1. qu 1 qu 2 r 1 qi 1 r 2 r 3 qi 4 qi 2 qu 1 model intracelularnih reakcija qi 3 qu 2 qi 1 qi 2 qi 3 qi 4 Slika 1. Sustavski prikaz modela intracelularnih reakcija. Brzine intracelularnih reakcije označene su s rj, specifični ulazni tokovi su quj, izlazni specifični tokovi su qij.
Ciljevi istraživanja MFA su: istražiti aktivnost pojedinih metaboličkih reakcija za različite uvjete u bioreaktoru (koncentracije supstrata, temperatura, p. H. . ), istražiti teoretske moguće posljedice planiranih genetičko inženjerskih zahvata (npr. posljedice unosa novih gena, izbacivanje ("knock out") pojedinih, povećanje kopija pojedinih gena, . . ), utvrditi mehanizam regulacije metabolizma
Uz ove pretpostavke bilanca tvari postaje bilanca intracelularnih tokova dana kao linearni sustav jednadžbi (osnovna jednadžba za analizu intracelularnih tokova „metabolic flux analysis“ MFA) glasi: s qs S r 1 A B P 3 qp 3 r 4 r 3 r 2 qp 1 P 1 P 2 r 5 qp 2 s p 1 p 2 p 3
Stoichiometric Matrix Hofmeyr et al. , Kinetics, Control and Regulation of Metabolic Systems. ICSB 02. (2002)
rn rn jedinstveno rješenje (fenotip) r 2 r 1 skup dopustivih rješenja (fenotipova)
Stoichiometric Network Analysis v 2 v 3 v 1 = Hofmeyr et al. , ICSB 02. (2002)
Extreme pathways: An example Schilling & Palsson, PNAS, 95: 4193 (1998)
Kinetic Modeling: Deterministic & Stochastic species reactions
Many Flavors of Petri Nets inhibitory arc places Hybrid Functional Petri Nets: Genomic Object Net Stochastic Petri Nets: Mobius, Time. NET test arc Colored Petri Nets: transitions Design/CPN, CPN tools Mandel et al, Brief. Bioinf. 5: 270 (2004) http: //www. informatik. uni-hamburg. de/TGI/Petri. Nets/
Boolean networks Mandel et al, Brief. Bioinf. 5: 270 (2004) Huang, Pharmacogenomics. 2: 203 (2001) Genetic Network Analyzer, Biocham
Bayesian Networks Pe’er, Sci. STKE. pl 4 (2005) Sachs, Science. 308: 523 (2005)
Topological analysis of network connectivity Barabasi, Nat Rev Gen. 5: 101 (2004) Cytoscape/Network. Analyzer
- Slides: 71