Metodika nastave matematike I predavanje tree Franka Miriam

Metodika nastave matematike I -predavanje treće- Franka Miriam Brückler Odjel za Matematiku, Sveučilište u Osijeku ak. god. 2005/06

Što je teorem? • matematički sud čija se istinitost utvrđuje dokazom (teoremom postaje kad se ta istinitost utvrdi, dotad je hipoteza) • dokaz je logičko zaključivanje iz aksioma, definicija i prethodno dokazanih teorema • mora biti jasno istaknuto uz koje se uvjete određeni objekt razmatra i što se o tom objektu tvrdi

Oblik teorema • teoremi su u pravilu oblika P Q (P povlači Q; P implicira Q; ako P, onda Q; iz P slijedi Q; Q je nužan uvjet za P; P je dovoljan uvjet za Q; pretpostavimo da je P – tada vrijedi Q; ako P, onda Q; neka P- tada Q) • P se zove pretpostavka (uvjet) teorema, a Q je tvrdnja (zaključak) teorema • pretpostavka je jedan ili više sudova koji se smatraju istinitima, a tvrdnju treba dokazati • treba dokazati istinitost implikacije za konkretni P i Q • obrat teorema: Q P • ekvivalencija: P Q (P je ekvivalentno s Q, P vrijedi ako i samo ako (akko) vrijedi Q, P vrijedi onda i samo onda kad vrijedi Q, P je nužan i dovoljan uvjet za Q)

Matematički dokazi • matematički argumenti kojima se provjerava istinitost matematičke tvrdnje • osnovna matematička djelatnost • ipak: dokaz stoji na kraju, a ne na početku matematičke djelatnosti – on je samo konačna provjera tvrdnji do kojih se došlo npr. naslućivanjem • Ian Stewart: Dokaz nije logički niz tvrdnji, nego uvjerljiva priča.

Metode zaključivanja • modus ponens : (P&(P Q)) Q • zakon silogizma: (((P Q)&(Q R)) (P R) • pravilo generalizacije: ako P(x) vrijedi za proizvoljan x iz nekog skupa S, onda vrijedi za sve elemente skupa S • tertium non datur: P P = 1 • po pretpostavci, uvijek su istinite tvrdnje aksioma

Vrste dokaza (teorema tj. tvrdnje P Q) • direktni • indirektni P se zove pretpostavka teorema, Q je tvrdnja teorema, a implikacija Q P zove se obrat teorema dokaz ekvivalencije je dokaz obje implikacije!!!

Direktni dokaz • ako je tvrdnja oblika P Q, treba konstruirati niz tvrdnji P 1, . . . , Pn tako da je svaka tvrdnja u nizu ili aksiom ili definicija ili je dobivena iz prethodno dokazanih teorema po nekom pravilu zaključivanja

Indirektni dokaz • dokaz tvrdnje ekvivalentne tvrdnji P Q • glavni oblici su: • obrat po kontrapoziciji: dokazuje se Q P • reductio ad apsurdum (svođenje na kontradikciju): dokaže se P& Q L=neka očigledno lažna tvrdnja pa je negacija od P Q lažna tj. P Q je istinita pa vrijedi Q

Na početku je pitanje “A zašto? ” • recimo da obrađujemo račun s decimalnim brojevima i da su djeca usvojila zbrajanje, oduzimanje, množenje, a treba obraditi dijeljenje • moguće pitanje: “A zašto uopće možemo dijeliti s decimalnim brojem? ” • standardno će učitelj odgovoriti: kako znamo je 100: 2 isto što i 1000: 20, pa po uzoru na to je i 10: 0, 2 ili 1: 0, 02 to isto tj. 5 • to se teško može nazvati “uvjerljivom pričom” !

• neuvjerljivost je npr. u tome što 100 kn možemo podijelit među 20 djece ili 10 kn među 2 djece, ali ne možemo podijeliti 1 kn među 0, 2 djece. . . • kako onda to objasniti? • npr. ovako: tko želi isplatiti 1 kn u kovanicama od 20 lp=0, 2 kn, treba 5 kovanica tj. 10 kn po 2 kn treba jednako mnogo kovanica kao 1 kn po 20 lp • što smo time napravili? kao argument smo koristili predodžbu kojom dijete raspolaže umjesto formalnog računa koji djeluje više kao trik • pitanje “zašto” je na početku svakog saznanja!!!

Argumentiranje • pitanje “zašto” je na početku potrage za uvjerenjem – a ta potraga se javlja zbog nekog individualnog ili kolektivnog uvjerenja • pitanje “zašto možemo dijelit s decimalnim brojem? zašto je 10: 0, 2 isto što i 100: 2? ” je posljedica uvjerenja da je dijeljenje (raspodjela) moguće samo na prirodno mnogo dijelova sumnja • argumenti za drugačije shvaćanje dijeljenja uklanjaju tu sumnju • ako se u nastavi matematike njeguje argumentiranje, doprinosi se ne samo matematičkom znanju, nego i uvježbavanju jasnog mišljenja i kritičke racionalnosti

Matematika i dokaz • kriteriji za znanje (=spoznaju koja je provjerljiva) su u matematici osobito strogi jer matematika živi u misaonom svijetu • matematika ne istražuje kakve su stvari, nego kakve bi mogle biti • kombinacija slobode kreativne misli i strogih logičkih pravila • matematičke tvrdnje moraju se dokazati da bi bile istinite

Funkcije dokaza • verifikacija: pouzdano utemeljivanje izjava; pritom je pravilo deduktivno zaključivanje iz aksioma na osnovi logičkih pravila – naizgled najbitnija funkcija dokaza • objašnjavanje: prenošenje uvida u razlog zašto je nešto istinito (osobito kod dokaza koji su vizualni ili povezani s nekom djelatnosti, npr. računom) • sistematiziranje • otkrivanje • komuniciranje

• primjer funkcije objašnjavanja: • opseg konvesknog četverokuta je veći od zbroja duljina dijagonala • uzmimo četverokut ABCD i zamislimo vrhove kao čavle zabijene u zid; A i C odnosno B i D su povezani gumicom; ako gumicu AC rastegnemo tako da sadrži i B, jedna od strana gumice će postati veća od |AC|, a ako rastegnemo i oko D, zaključujemo da je opseg veći od dvostruke dijagonale |AC|; ista stvar s drugom dijagonalom dvostruki opseg veći od dvostrukog zbroja dijagonala

• sistematiziranje: naknadna uspostava veze između već poznatih definicija, teorema i pojmova (npr. dokazi za djeljivost s 2, 4, 5, 10, ili pak s 3 i 9, povezuju pravila djeljivosti s prikazom u decimalnom sustavu) • otkrivanje: tokom dokaza se otkrivaju novi fenomeni ili nove tvrdnje (npr. dokaz za djeljivost s 9 zapravo daje više od samog kriterija: broj i zbroj njegovih znamenaka imaju isti ostatak pri dijeljenju s 9) • komuniciranje: radi provjere točnosti i važnosti (komunikacija unutar struke); bitna je jasnoća i strogost, no to nisu apsolutne kategorije

Stupnjevi strogosti • eksperimentalno – vizualno uvjeravanje (niži razredi, ali kao sredstvo za dolazak do hipoteze) postepeno dovodi do logičkih argumenata i zatim idealiziranja te preciznih logičkih dokaza • gdje se u argumentu koristi nedokaziva, ali već navedena tvrdnja? • gdje se koriste već dokazane tvrdnje? • gdje se pojavljuju tvrdnje koje se čine očiglednima, ali možda nisu dokazive iz aksioma?

Buđenje shvaćanja o nužnosti dokaza • treba potaknuti pitanje “zašto? ” • da bi se do tog došlo učenici se primjereno svojem trenutnom znanju i brzini moraju moći približiti matematičkom predmetu • trebaju imati prilike formulirati svoje misli i pretpostavke, čak i ako se čine krivima • primjer: uvođenje binomne distribucije u gimnaziji pomoću Galtonove ploče

Metoda matematičke indukcije • tvrdnja koja vrijedi za 1 i koja je takva da ako vrijedi za n, vrijedi i za n+1, vrijedi za sve prirodne brojeve • problemi: ponekad se ne razumije što treba dokazati, zašto treba dokazati ono što se čini točnim za proizvoljno odabrane prir. brojeve ili pak može biti težak za shvaćanje prijela s n na n+1 • rješavanje tih pitanja: ponuditi više mat. zapisa da se nauče čitati i zapisivati mat. tvrdnje, ukazati na primjere kod kojih se tvrdnja koja vrijedi za neke proizvoljne brojeve pokazala krivom, reći da mnogima ispočetka korak indukcije čini problem

Lagrangeova metoda superpozicije specijalnih slučajeva • n+1 točka u koordinatnom sustavu s različitim apscisama • traži se polinom kroz te točke (zadatak interpolacije) • Lagrange: za i=1, . . . , n+1 projicira sve osim i-te točke na x -os, a i-toj točki uzima ordinatu 1 lako je naći polinom kroz te točke (sve osim i-te su nultočke tog polinoma, a vodeći koef. dobijemo pomoći vrijednosti 1 u i-toj apscisi) dobijemo n+1 polinom (za svaki i) • traženi polinom je lin. komb. tih polinoma s koeficijentima jednakim stvarnim ordinatama (uz i-ti polinom koeficijent je i-ta ordinata) – tzv. Lagrangeov interpolacijski polinom

• može se koristiti i za postavljanje tvrdnji, bar u smislu osnovne ideje metode: ako ne znaš riješiti zadatak, razmisli o specijalnim slučajevima! • primjer: ako znamo formule za volumen valjka i stošca, naći formulu za volumen krnjeg stošca (valjak i stožac kao spec. slučajevi krnjeg stošca)

Metoda analize i sinteze • OŠ: metoda rješavanja geometrijskih zadataka • analiza = uz pretpostavku istinitosti tvrdnje u zadatku izvodimo tvrdnje koje su očigledne ili već ranije dokazane (analiza nema snagu dokaza) • sinteza = iz očitih činjenica i prethodno dokazanih tvrdnji logičkim zaključivanjem izvodimo novu tvrdnju (u kombinaciji s analizom ima snagu dokaza)

Primjer • aritmetička sredina dva pozitivna broja nije manja od geometrijske, a jednake su točno ako su ta dva broja jednak • analiza: uvrstimo par konkretnih parova brojeva, raspisivanje relacije • to vrijedi uvijek, a 0 je točno kad a=b • sinteza: idemo od očite zadnje nejednakosti, kvadriramo, . . . (smjer )

Metoda neodređenih koeficijenata • dio analize – na temelju analiziranih pojedinačnih ili posebnih slučajeva funkcije stvaramo hipotezu o njenom općem obliku u kojem se pojavljuju neodređeni koeficijenti; za njih uvrštavanjem konkretnih vrijednosti u funkciju dobivamo sustav iz kojeg ih odredimo • Pr. rastav na parcijalne razlomke

Metoda razlikovanja slučajeva • želimo dokazati da za sve el. od S vrijedi neka tvrdnja – napravimo particiju od S i dokažemo tvrdnju za sve elemente svakog člana particije – tada tvrdnja vrijedi za sve el. od S • Pr. dokaza da je udaljenost 2 točke na brojevnom pravcu aps. vr. razlike njihovih kooerdinata (6 slučajeva)

Metoda rekurzije • proučavamo problem ovisan o prirodnom broju n tako da gledamo male n (tzv. rubne uvjete) i postavlja opća tvrdnja na osnovi njih (dokaz: obično MI) • Hanojski tornjevi: 3 štapa, n diskova razl. veličina treba s prvog na treći, u svakom koraku jedan disk, nikad veći na manjem – najmanji problem je kad je n=0 (najmanji broj premještaja je T(0)=0), pa T(1)=1, zatim T(2)=3. . . • ideja: ako smo prebacili njih n-1 na pomoćni štap, n-ti ide na zadnji i onda onih n-1 na zadnji T(n) je najviše 2 T(n-1)+1; je li nužno toliko premještaja? u nekom trenutku je premješten najdonji disk, a za prebacivanje prvih n-1 najmanje što je trebalo je T(n-1)

Metode u kombinatorici • metoda uzastopnog prebrojavanja: • |A B|=|A| |B| - tj. ako ima m načina za napraviti nešto i n načina za napraviti nešto drugo, onda ima ukupno mn načina da se napravi ono prvo pa zatim ono drugo • Pr. Iz grada A u grad B ima 4 ceste, a iz B u C 5 cesta – na koliko načina možemo tim cestama doći od A do C? Na 20 načina!

• Dirichletova metoda • ako skup od n+1 elementa rastavimo da n disjunktnih podskupova, onda bar jedan od njih sadži 2 elementa (ekvivalentno: funkcija kojoj domena ima više elemenata nego kodomena ne može biti injekcija) • Pr. u razredu 25 učenika; na testu jedan ima 7 grešaka, ostali manje – bar 4 učenika imaju isti broj pogrešaka u testu (skup=učenici, rastavljamo na 8 skupova po broju pogrešaka, s tim da znamo da je jedan od njih jednočlan tj. 24 elementa raspoređujemo u 7 skupova – kad bi u svakom bilo najviše po 3 bilo bi najviše 21 element za rasporediti)

• Metoda uključivanja i isključivanja • u uniji dva skupa ima elemenata koliko je zbroj elemenata tih skupova umanjen za broj elemenata u presjeku • Pr. od 340 đaka u školi 192 uče engleski, 250 uči njemački, a 52 ne uče nijedan strani jezik – koliko učenika uči dva strana jezika? 34052=288 učenika uči bar jedan jezik, pa mora biti 288 = 192 + 250 – n tj. n=154

Metoda analogije • poopćenje: prijelaz s promatranog skupa na neki koji ga sadrži • specijalizacija: prijelaz s promatranog skupa na neki njegov podskup • analogija: znamo svojstva nekog pojma, ista ili slična pripisujemo njemu (po nekim svojstvima) sličnom novom pojmu • Primjer – trokuti: poopćenje ide npr. na mnogokute, specijalizacija npr. na pravilne trokute, a analogija npr. na piramide • Primjer: EPF uočena na Platonovim tijelima poopćava se na konveksne poliedre