Metodika nastave matematike I predavanje drugo Franka Miriam

Metodika nastave matematike I -predavanje drugo- Franka Miriam Brückler Odjel za Matematiku, Sveučilište u Osijeku ak. god. 2005/06

Sudovi i predikati • sud = smislena izjavna rečenica koja je ili istinita ili lažna • npr. x+7=15 nije sud jer je za x=7 lažan, a za x=8 istinit • logički veznici: , , • sudovi kombinirani logičkim veznicima: složeni sudovi • predikat = rečenica koja uvrštavanjem konkretne vrijednosti postaje sud – npr. x+7=15 • izjavna funkcija P(x)=“x+7=15” – ovisno o tom o koliko varijabli ovisi govorimo o jednomjesnom, dvomjesnom itd. predikatu

Kvantifikacijska logika • bavi se pitanjima tipa “za koje vrijednosti varijabli/-e je dani predikata istinit sud? ” • osnovne formulacije odgovora: “za sve vrijednosti” i “za neke vrijednosti” • pomoću kvantifikatora od predikata formiramo sudove: univerzalni kvantifikator i egzistencijalni kvantifikator • varijanta: postoji jedinstveni ( !) je isto što i

Pozicija kvantifikatora • u pravilu se prvo stavljaju svi kvantifikatori, a tek onda predikat • u slučaju kvantifikatora često je ne baš pravilno navođenje na kraju, kao i neeksplicitno navođenje (“elementi od S zadovoljavaju. . . ” znači “za svaki element iz S vrijedi. . . ”) • pazite na poredak kvantifikatora ako nisu istovrsni jer o tom ovisi smisao

Negiranje kvantifikatora • negacija egzistencijskog kvantifikatora je univerzalni i obrnuto • primjer: funkcija je neprekidna u c – funkcija ima prekid u c • primjer: relacija je tranzitivna – relacija nije tranzitivna

Oblici zaključivanja • dedukcija: od općeg prema posebnom (pojedinačnom) • indukcija: od posebnog (pojedinačnog) prema općem • razlikujte zaključivanje od dokaza!

Standardni deduktivni redoslijed • • osnovni pojmovi i njihova svojstva aksiomi izvedeni pojmovi teoremi (istiniti sudovi koji su rezultati mat. zaključivanja, u pravilu deduktivnog)

Pojmovi • matematički pojam je objekt ili odnos među objektima (relacija), a zanima nas koja svojstva ima • definicija pojma je navođenje nužnih i dovoljnih svojstava matematičkog pojma • sadržaj pojma je skup svih bitnih obilježja koje imaju svi objekti/relacije obuhvaćeni tim pojmom • opseg pojma je skup svih pojedinačnih objekata/relacija na koje se taj pojam može primijeniti

Klasifikacija, rod i vrsta pojma • klasifikacija je postupak razlikovanja objekata/relacija unutar opsega pojma, nije jednoznačno određena • ako gledamo dva pojma takva da je opseg jednog podskup opsega drugog, onaj većeg opsega je rod za onaj manjeg opsega, a onaj manjeg opsega je vrsta za onaj većeg

Definicija pojma • • Nabrajanjem bitnih obilježja Pomoću najbližeg roda i razlike vrste Induktivno (za nekakav niz) Genetička definicija (opis kako objekat nastaje) • Konvencija (dogovor) • Standardne formulacije: “kažemo da je”, “zove se”, . . .

Uvođenje novih pojmova • U skladu s načelom primjerenosti • Poželjna je jednoznačnost, a eventualnu nejednoznačnost treba istaknuti • Razine uvođenja: intuitivna – pojmovna (kvalitativna) – simbolička (kvantitativna)

Indukcija - povijest • prema Aristotelu, Sokrat ju je prvi provodio (5. st. pr. Kr. ) • Aristotel ju je razvio unutar logike (on razlikuje dedukciju i indukciju) • latinski: inductio, -onis, f. – uvođenje, navođejne, pobuđivanje • matematička indukcija je jedan oblik induktivnog zaključivanja

Matematika kao deduktivna znanost • bît matematike je da se svaka njena činjenica može izvesti deduktivno iz određenih aksioma • takav je pristup utemeljio Euklid (Euklidovi Elementi, 3. st. pr. Kr. ) • Russell & Whitehead Principia Mathematica • Hilbert, Bourbaki

Matematika kao induktivna znanost • do matematičkih tvrdni dolazimo induktivno, a prije svega: matematika se uči induktivno, a ne deduktivno • počinjemo s jednostavnim primjerima i iz njih izvodimo opće principe • ovo vrijedi čak i predavanjima za profesionalne matematičare: motivirajte predavanje primjerima • Samo kukavice rade opći slučaj. Pravi učitelji se bave primjerima.

Primjer • znamo: • možemo jednostavno izreći teorem da to vrijedi za C 2 -funkcije i dokazati ga ( ) • a možemo i napraviti par primjera na osnovu kojih će i slušaći do ideje da gornja tvrdnja vrijedi, komentirati da postoji opći princip – i tek tad izreći (i po potrebi dokazati) teorem -

Primjer • recimo da objašnjavate osnovni teorem algebre (svaki polinom s kompleksnim koeficijentima bar jednu kompleksnu nultočku, Gauss) • : izreći teorem i ostaviti ga studentima na razmišljanje • : redom dati da riješe x-7=0, 2 x-7=0, x 2+2 x -7=0 (svođenjem na potpun kvadrat), pa da uoče da x 3+x 2+2 x-7 i x 4+x 3+x 2+2 x-7 imaju bar po jednu nultočku, pa komentirati da ne postoje formule za više stupnjeve (Galois) i na kraju istaknuti OTA

Indukcija dovodi do generalizacije • izdvajanjem jednog ili više pojedinačnih sudova dobivamo opći sud tj. generalizaciju • primjer: • S 1 = pravac u ravnini kružnicu siječe u najviše 2 točke • S 2 = pravac u ravnini elipsu siječe u najviše 2 točke • S 3 = pravac u ravnini hiperbolu siječe u najviše 2 točke • S 4 = pravac u ravnini parabolu siječe u najviše 2 točke • T = kružnica, elipsa, hiperbola i parabola su sve krivulje drugog reda • (S 1&S 2&S 3&S 4)&T “pravac u ravnini krivulju drugog reda siječe u najviše dvije točke”

• ne mora se dobiti istinita hipoteza, npr. • f(1), . . . , f(40) su prosti, ali f(41) je složen!

Indukcija kao način izlaganja • didaktički smisao indukcije je da se u nastavnom procesu (ili razgovoru) od manje općenitih tvrdnji dođe do općih opća shema indukcije: • S = skup objekata koje proučavamo • s(x) = svojstvo za koje mislimo (želimo) da ga imaju svi elementi x iz S • pretpostavimo (znamo) da svi elementi x nekog nepraznog podskupa T od S imaju svojstvo s(x) • induktivni zaključak: iz pretpostavke slijedi da svi elementi x iz S imaju svojstvo s(x) (može i ne mora biti točan !!!)

Potpuna indukcija • svojstvo s(x) se provjerava na svim elementima iz S – ima snagu dokaza! • primjena: pojedinačni slučajevi – kad je S konačan (i dovoljno “mali”) ili posebni slučajevi – kad S možemo podijeliti na prihvatljiv broj klasa ekvivalencije • primjer: postoji 8 prostih brojeva manjih od 20 (ispitamo 1, 2, . . . , 19) • primjer: poučak o obodnom i središnjem kutu (podijelimo na 3 klase – kad je središte na jednom od krakova obodnog kuta, kad je središte unutar i kad je središte izvan obodnog kuta – pa za svaki od slučajeva odredimo vezu središnjeg i obodnog kuta)

Nepotpuna indukcija • zaključak izvodimo iz nekoliko posebnih ili pojedinačnih slučajeva – nema snagu dokaza! • vrlo česta u nastavi matematike u osnovnoj školi, pri iskazivanju pravila, uvođenju pojmova, davanju formula koje se ne dokazuju na tom stupnju obrazovanja – učenike se bar nepotpunom indukcijom dovodi do pravila • primjer: crtanje grafa funkcije na temelju nekoliko odabranih točaka grafa • primjer: djeljivost sa 3 - vježba 1: za 27, 13, 924, 123, 1042, 117, 332, 848, 213 provjeri koji su djeljivi s 3 – što uočavaš? zaključak? vježba 2: za 57, 13, 26, 101, 104, 303, 624, 525, 156, 1020, 807 provjeri je li im suma znamenaka djeljiva s 3 i za one kojima jest, jesu li djeljivi s 3 – zaključak?

Primjer • Kvadrat prirodnog broja kao zadnju znamenku ne može imati 2, 3, 7 ni 8. Zadnja znamenka 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 od n Zadnja znamenka 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 od n 2 koji oblik indukcije ovdje primjenjujemo?

Dedukcija • oblik zaključivanja kojim se od općeg suda dobiva novi, manje općenit, sud • od općeg prema posebnom ili pojedinačnom • kreće se od aksioma • primjer: aksiomi euklidske planimetrije • primjer: aksiomatska izgradnja skupa prirodnih brojeva

Induktivna i deduktivna nastava • induktivna nastava je oblik nastave u kojoj učitelj učenicima daje niz konkretnih primjera, a od učenika očekuje da ih poopće u pravila ili definicije – težište je na tome da učenici stvaraju vlastita pravila i definicije konzistentne s danim primjerima • deduktivna nastava je oblik nastave u kojoj učitelj daje opće pravilo i očekuje od učenika da to pravilo primijeni na konkretne slučajeve – težište je na tome da učenici nauče upotrebljavati pravilo u specifičnim slučajevima

Zaključak o pristupu nastavi • uvijek idite od jednostavnog prema kompliciranom (dakle induktivno), a ne obrnuto • izreći teorem i onda ići dalje čini se logično, ali to nije podučavanje jer ne doprinosi razumijevanju • matematičaru je najlakša stvar izreći teorem i dati dokaz – podučavanje zahtijeva veći napor • nisu dozvoljene netočnosti, ali dozvoljena su pojednostavljenja (npr. teorem iz primjera s parc. deriv. zapravo vrijedi za širu klasu funkcija)