Metodika nastave matematike I predavanje etvrto Franka Miriam


























- Slides: 26

Metodika nastave matematike I -predavanje četvrto- Franka Miriam Brückler Odjel za Matematiku, Sveučilište u Osijeku ak. god. 2005/06

Zadaci u nastavi matematike • uči se kroz vlastitu aktivnost učenici moraju sami rješavati zadatke • dakle: ni pod koju cijenu ne smije biti da samo prepisuju s ploče • zadaci i ocjenjivanje su u uskoj vezi i trebaju biti međusobno usklađeni problemi s ocjenjivanje “klasičnih” zadataka ako postupak rješavanja odstupa od očekivanog (standardno: ukupni rezultat = zbroj podrezultata)

Motiviranje učenika • kako postići da učenici rješavaju zadatke sami, a ne samo prepisuju s ploče? • sustav ocjenjivanja i praćenja na svakom satu • diferenciranje – izbjegavanje mogućnosti da se netko dosađuje jer su mu zadaci prelagani ili preteški • izbjeći problem da netko ne zna kako početi • primjeri

Odabir zadataka • od lakših prema težim • pomoćni zadaci za poticanje učenika na razmišljanje • nije poticanje = rješavanje “na gotovo” nečega što možda nije niti sasvim jasno • primjeri

Postizanje cilja sata • zadaci trebaju biti birani tako da se postigne cilj sata • uvježbavanje neke tehnike • uvježbavanje uz ponavljanje nekog starijeg gradiva • važno je postići da se ne zaboravi već usvojeno tj. povremeno koristiti i starije gradivo

Diferenciranje učenika • odabir zadataka prema sposobnostima pojedinih učenika • sastavljanje nekoliko grupa zadataka (lakši – srednji – napredniji)

Primjer (2. r. SŠ) • Ciljevi sata: • ponoviti: pojmove funkcija, bijekcija, inverzna funkcija; provjere bijektivnosti; crtanje grafa • izvođenje formule inverzne funkcije, te izvesti vezu grafa inverzne funkcije i početne funkcije • Prva grupa: ponavljanje definicije funkcije, bijekcije, inverzne funkcije • Druga i treća grupa: Na primjeru f : R R, f(x) = 3 x – 6 provjeriti bijektivnost. Kod injekcije nema problema, dok se eventualne logičke poteškoće očekuju kod provjere surjektivnosti, tj. da se za dani y 0 mora naći odgovarajući x 0 i to će biti formula za inverznu funkciju

• Druga grupa provjerava vrijede li formule fof-1 i f-1 of za konkretni primjer. • Opet se mogu pojaviti poteškoće na mjestu gdje funkcija djeluje ne na x nego na izraztj. • Prva grupa crta oba grafa i izvodi zaključak: Graf inverzne funkcije f dobiva se iz grafa te funkcije simetrijom s obzirom na simetralu prvog i trećeg kvadranta • Formulu izvodi treća grupa: • fof-1 = id; f(f-1(x)) = x; 3 f-1(x) - 6 = x; f -1(x) =2 + x/3 • Nakon toga slijede primjeri.

Primjer • ponavljanje i usvajanje, sposobnost odabira • sustav 2 x-3 y=5, x+2 y=-2 rješavaju jedni komparacijom, drugi supstitucijom, a treći metodom suprotnih koeficijenata • na kraju po jedan predstavnik svake grupe na ploči u svoj stupac zapisuje postupak te se postupci i njihova efikasnost uspoređuju

Minimalno znanje • ključni tipovi zadataka moraju biti u bilježnici točno i potpuno riješeni • mora biti jasno što svi moraju znati (za dovoljan), a što se očekuje za više ocjene • važan je ujednačeni zapis pri pojedinom tipu zadataka kako bi učenici lakše stekli naviku oko postupaka • cilj je postići bar operativno znanje (vladaje nastavnim sadržajima, uz obrazloženje i sposobnost primjene), a kod boljih i kreativno znanje (na temelju stečenih znanja stvaranje novih)

Metodika rješavanja • određeni tipovi zadataka imaju specijalne metode • geometrijske konstrukcije: analiza – konstrukcija – dokaz – diskusija • tekstualni zadaci: izdvajanje informacija i veza – označavanje – rješavanje • jednadžbe i nejednadžbe – unije i presjeci

Zadaci za ispitivanje znanja • “klasični zadaci” • provjera znanja gradiva po sistemu: tko sve riješi svi bodovi, tko riješi do nekog dijela točno dio bodova po nekom načelu • u pravilu jednoznačno određen pravilan postupak rješavanja

Diferencirani zadaci • zadaci različitih metodoloških ishodišta ili pak s podrješenjima poredanim po složenosti omogućuju zadovoljavajuće rješavanje od strane učenika različitih razina znanja • omogućuju individualizirano ocjenjivanje (ne nužno u smislu kvantificirane ocjene) • veći zadaci koji se rješavaju po dijelovima (grupni rad, domaće zadaće isl. za poddijelove)

• opcionalni podzadaci (po želji se daju dodatni zadaci vezani za dani zadatak; nužno je da se prikladno honoriraju kako bi se osiguralo da ih učenici savjesno i angažirano rade, a ne samo koriste da glume da nešto rade) • zadaci koji se mogu riješiti na više načina, npr. • Ako Petar ima u kasici 38 kn u 30 kovanica od po 1 kn i po 2 kn, koliko ima kojih kovanica? – može se riješiti preko sustava linearnih jednadžbi, spretnim argumentiranjem (30 kovanica su bar 30 kn pa ih mora biti 8 od po 2 kn da bi imao 38 kn) • ako su dozvoljeni svi postupci, a ne samo onaj koji

• ako su dozvoljeni svi postupci rješavanja, a ne samo upravo na satu obrađeni, učenici mogu zadatku priči prema vlastitoj razini znanja, pa čak i pronaći efikasnije načine rješavanja • još jedan primjer: • Na koliko načina se 31 lipa može dobiti iz kovanica od po 2 lp, 5 lp i 10 lp? – kako nema gotove formule, mogu se vidjeti učeničke strategije

Procesni zadaci • manje se koristi znanje matematičkih sadržaja, a više procesi rješavanja problema ili pak modeliranja stvarnosti • zadaci s rješenjem koje nije unaprijed poznato (nikome), npr. kad se treba učiniti selekcija informacija ili procjene nedostajućih infromacija – može se ocjenjivati interpretacija, aproksimacije, kritika postavljenog problema, snalaženje s greškama isl. (a manje se uzima u obzir sam račun)

• zadaci kod kojih je potrebno istražiti neuobičajeni problem te se iz učeničkih ideja i pristupa može shvatiti kakav im je repertoar strategija za rješavanje, kako se snalaze sa stvarima koje ne znaju i kojim se stavom približavaju situacijama u kojima matematike, kreativnost, upornost. . . • jedno i drugo je još uvijek neuobičajeno • metode ocjenjivanja kreativnog rada - ocjenjuje se oblikovanje, korištenje matematike, jezik, temeljitost

Dijagnostički zadaci • svrha je ne samo provjera zna li učenik neko gradivo, nego i utvrđivanje gdje su eventualni problemi • moraju biti kritički (omogućiti povezivanje rješenja koje daju učenici s tipičnim greškama) • primjer: zadatak iz računa s razlomcima mora biti takav da se iz rješenja vidi koje su greške učinjene

• za dijagnozu uzroka grešaka mogu poslužiti i zgodno konstruirana pitanja s ponuđenim mogućim odgovorima; bolje: ako učenik ne samo da treba odabrati odgovor, nego i obrazložiti razlog odabira ili pokazati kako je došao do rješenja • dijagnostičke zadatke po mogućnosti treba odvojiti od ocjenjivanja jer se žele uočiti sposobnosti, a ne rad pod vremenskim pritiskom dati dovoljno vremena, omogućiti i verbalni argument • poželjno: redovno, a ne povremeno uočavanje razvoja • poticati i samoprocjenu učenika

Primjeri • Koji od razlomaka 1/6, 1/9, 3/4 i 2/10 je najmanji? (iz rješenja se vidi strategija!) • Nacrtaj brojevni pravac od 0 do 5 i na njemu broj 27/12! (vidi se razumije li se razlomak kao broj) • Koji dio površine pravokutnika zauzima trokut na slici – daj razlomak koji to opisuje i obrazloženje! (vidi se razumijevanje razlomaka, veličina, površina)

Variranje zadataka • matematički napredak ne nastaje tako da pametni matematičari iz zraka izvuku neku tvrdnju koju će dokazati, nego više u tome da se postojeći svijet gleda iz novog kuta • takva se matematička kreativnost potiče , među inim, i variranjem zadataka • na likovnom odgoju: nekoliko istih likova (npr. krugova u kvadratu) na različite načine dopuniti do slika (sunce, pogled kroz okno broda, bicikl, . . . ) – takav pristup moguć je i s matematičkim zadacima

• “Nemoj razmišljati samo u gotovim obrascima! Kombiniraj!” • učenici polazeći od danog zadatka variraju njegove elemente (pojmove, uvjete, tvrdnje, pitanja, . . . ) • prvi element uspjeha: raznolikost ideja (rješenje zadatka je tek u drugom planu); u sam čin varijacije ulazi i procjena hoće li se dobiti matematički smislen zadatak • učitelj može samo donekle predvidjeti tok događaja (uvijek će učenici neke očite stvari previdjeti, a uočiti neke neočekivane) • varijacijom se mogu dobiti zadaci različite težine – vrlo rijetko će se sve varijante moći riješiti uvježbanim metodama

Primjer • Zadatak: Za koju točku unutar jednakostraničnog trokuta je zbroj udaljenosti do stranica trokuta najveći? • strategije za variranje zadatka: • metoda analogije (trokut pravokutnik, trapez, . . ; najveća najmanja udaljenost; zbroj udaljenosti do stranica do vrhova; . . . ) • generalizacija tj. micanje nekog uvjeta (npr. za proizvoljan trokut) • specijalizacija tj. dodavanje uvjeta (npr. za točke koje su na stranicama jednakostraničnog trokuta)

• analiza (podzadaci; npr. udaljenost do jedne stranice) • kombinacija različitih elemenata (kako bi zadatak izgledao da umjesto poligona gledamo krug? ) • obrat (kako treba postaviti tri dužine zadanih duljina tako da se sastaju u jednoj točki i da budu okomice na stranice što manjeg/većeg trokuta? ) • promjena konteksta (trokut tetraedar) • izmjena implicitnih uvjeta (što ako gledamo točke izvan trokuta? ) • iteracije (što ako spojimo dva trokuta? ) • zanimljivo pitanje: što ako neka od gornjih strategija nije provediva – zašto nije?

Rješavanje problema • netočno: učenje se sastoji samo od rješavanja određenih problema • netočno: svaki matematički rad učenika je oblik rješavanja problema – u nastavi matematike se prečesto samo odrađuju unaprijed pripremljeni zadaci, obično pomoću ranije zadanih postupaka tj. u pravilu su potpuno određeni početak, put i cilj zadatka, a nema mjesta inidividualnim idejama • netočno: rješavanje je kao i dokaz, tj. osnovna matematička djelatnost – točnije bi bilo istaknuti i važnost pronalaženja matematički zanimljivih odnosa • problemski zadaci = otvoreni zadaci (nedefiniran početak, put ili cilj), ne uvijek čisto matematički

Korisni zadaci/problemi • problem odnosno zadatak je koristan tek ako ukazuje na neke stvari izvan svog konteksta (npr. na određene općenitije matematičke ideje) • usporedi: • Tri posude bez oznaka imaju volumene od po 8, 5 i 3 litre i najveća je puna – kako prelijevanjem odmjeriti 4 litre (zabavno jer se može isprobati, ali bez ikakvog daljeg značenja kad se jednom riješi) • U dvjema čašama su iste količine bijelog odnosno crnog vina. Desetinu crnog prelijemo u bijelo, a desetinu te smjese natrag u crveno. Je li sad više bijelog vina u crnom ili obratno? (Vodi na razmišljanje o razlomcima i računanju s njima pa može poslužiti za uvođenje npr. zbrajanja i oduzimanja razlomaka)
Metodika nastave matematike
Potpuna indukcija
Metodika nastave matematike
Franka miriam bruckler
Metodika matematike u razrednoj nastavi
Franka jung
Metodika e edukimit fizik
Vssov ns
Metodika rada sa decom sa posebnim potrebama
Metodika muzickog vaspitanja dece predskolskog uzrasta
Kotúľ vpred
Metodika nedir
Metodika rada sa decom sa posebnim potrebama
Lokalni ton
Vrste znanja
Metodika rada sa decom sa posebnim potrebama
Turto ir verslo vertinimo metodika
Metodika zdravstvenog odgoja
Metodika glazbene kulture
Metodika literárnej a jazykovej výchovy
Metodika rada sa decom sa posebnim potrebama
Metodika rada sa decom sa posebnim potrebama
Kolegijalno opažanje nastave
методе рада у настави
Ciljevi nastave
Planiranje nastave
Evaluacija je