Metodika nastave matematike I predavanje etvrto Franka Miriam

Metodika nastave matematike I -predavanje četvrto- Franka Miriam Brückler Odjel za Matematiku, Sveučilište u Osijeku ak. god. 2005/06

Zadaci u nastavi matematike • uči se kroz vlastitu aktivnost učenici moraju sami rješavati zadatke • dakle: ni pod koju cijenu ne smije biti da samo prepisuju s ploče • zadaci i ocjenjivanje su u uskoj vezi i trebaju biti međusobno usklađeni problemi s ocjenjivanje “klasičnih” zadataka ako postupak rješavanja odstupa od očekivanog (standardno: ukupni rezultat = zbroj podrezultata)

Motiviranje učenika • kako postići da učenici rješavaju zadatke sami, a ne samo prepisuju s ploče? • sustav ocjenjivanja i praćenja na svakom satu • diferenciranje – izbjegavanje mogućnosti da se netko dosađuje jer su mu zadaci prelagani ili preteški • izbjeći problem da netko ne zna kako početi • primjeri

Odabir zadataka • od lakših prema težim • pomoćni zadaci za poticanje učenika na razmišljanje • nije poticanje = rješavanje “na gotovo” nečega što možda nije niti sasvim jasno • primjeri

Postizanje cilja sata • zadaci trebaju biti birani tako da se postigne cilj sata • uvježbavanje neke tehnike • uvježbavanje uz ponavljanje nekog starijeg gradiva • važno je postići da se ne zaboravi već usvojeno tj. povremeno koristiti i starije gradivo

Diferenciranje učenika • odabir zadataka prema sposobnostima pojedinih učenika • sastavljanje nekoliko grupa zadataka (lakši – srednji – napredniji)

Primjer (2. r. SŠ) • Ciljevi sata: • ponoviti: pojmove funkcija, bijekcija, inverzna funkcija; provjere bijektivnosti; crtanje grafa • izvođenje formule inverzne funkcije, te izvesti vezu grafa inverzne funkcije i početne funkcije • Prva grupa: ponavljanje definicije funkcije, bijekcije, inverzne funkcije • Druga i treća grupa: Na primjeru f : R R, f(x) = 3 x – 6 provjeriti bijektivnost. Kod injekcije nema problema, dok se eventualne logičke poteškoće očekuju kod provjere surjektivnosti, tj. da se za dani y 0 mora naći odgovarajući x 0 i to će biti formula za inverznu funkciju

• Druga grupa provjerava vrijede li formule fof-1 i f-1 of za konkretni primjer. • Opet se mogu pojaviti poteškoće na mjestu gdje funkcija djeluje ne na x nego na izraztj. • Prva grupa crta oba grafa i izvodi zaključak: Graf inverzne funkcije f dobiva se iz grafa te funkcije simetrijom s obzirom na simetralu prvog i trećeg kvadranta • Formulu izvodi treća grupa: • fof-1 = id; f(f-1(x)) = x; 3 f-1(x) - 6 = x; f -1(x) =2 + x/3 • Nakon toga slijede primjeri.

Primjer • ponavljanje i usvajanje, sposobnost odabira • sustav 2 x-3 y=5, x+2 y=-2 rješavaju jedni komparacijom, drugi supstitucijom, a treći metodom suprotnih koeficijenata • na kraju po jedan predstavnik svake grupe na ploči u svoj stupac zapisuje postupak te se postupci i njihova efikasnost uspoređuju

Minimalno znanje • ključni tipovi zadataka moraju biti u bilježnici točno i potpuno riješeni • mora biti jasno što svi moraju znati (za dovoljan), a što se očekuje za više ocjene • važan je ujednačeni zapis pri pojedinom tipu zadataka kako bi učenici lakše stekli naviku oko postupaka • cilj je postići bar operativno znanje (vladaje nastavnim sadržajima, uz obrazloženje i sposobnost primjene), a kod boljih i kreativno znanje (na temelju stečenih znanja stvaranje novih)

Metodika rješavanja • određeni tipovi zadataka imaju specijalne metode • geometrijske konstrukcije: analiza – konstrukcija – dokaz – diskusija • tekstualni zadaci: izdvajanje informacija i veza – označavanje – rješavanje • jednadžbe i nejednadžbe – unije i presjeci

Zadaci za ispitivanje znanja • “klasični zadaci” • provjera znanja gradiva po sistemu: tko sve riješi svi bodovi, tko riješi do nekog dijela točno dio bodova po nekom načelu • u pravilu jednoznačno određen pravilan postupak rješavanja

Diferencirani zadaci • zadaci različitih metodoloških ishodišta ili pak s podrješenjima poredanim po složenosti omogućuju zadovoljavajuće rješavanje od strane učenika različitih razina znanja • omogućuju individualizirano ocjenjivanje (ne nužno u smislu kvantificirane ocjene) • veći zadaci koji se rješavaju po dijelovima (grupni rad, domaće zadaće isl. za poddijelove)

• opcionalni podzadaci (po želji se daju dodatni zadaci vezani za dani zadatak; nužno je da se prikladno honoriraju kako bi se osiguralo da ih učenici savjesno i angažirano rade, a ne samo koriste da glume da nešto rade) • zadaci koji se mogu riješiti na više načina, npr. • Ako Petar ima u kasici 38 kn u 30 kovanica od po 1 kn i po 2 kn, koliko ima kojih kovanica? – može se riješiti preko sustava linearnih jednadžbi, spretnim argumentiranjem (30 kovanica su bar 30 kn pa ih mora biti 8 od po 2 kn da bi imao 38 kn) • ako su dozvoljeni svi postupci, a ne samo onaj koji

• ako su dozvoljeni svi postupci rješavanja, a ne samo upravo na satu obrađeni, učenici mogu zadatku priči prema vlastitoj razini znanja, pa čak i pronaći efikasnije načine rješavanja • još jedan primjer: • Na koliko načina se 31 lipa može dobiti iz kovanica od po 2 lp, 5 lp i 10 lp? – kako nema gotove formule, mogu se vidjeti učeničke strategije

Procesni zadaci • manje se koristi znanje matematičkih sadržaja, a više procesi rješavanja problema ili pak modeliranja stvarnosti • zadaci s rješenjem koje nije unaprijed poznato (nikome), npr. kad se treba učiniti selekcija informacija ili procjene nedostajućih infromacija – može se ocjenjivati interpretacija, aproksimacije, kritika postavljenog problema, snalaženje s greškama isl. (a manje se uzima u obzir sam račun)

• zadaci kod kojih je potrebno istražiti neuobičajeni problem te se iz učeničkih ideja i pristupa može shvatiti kakav im je repertoar strategija za rješavanje, kako se snalaze sa stvarima koje ne znaju i kojim se stavom približavaju situacijama u kojima matematike, kreativnost, upornost. . . • jedno i drugo je još uvijek neuobičajeno • metode ocjenjivanja kreativnog rada - ocjenjuje se oblikovanje, korištenje matematike, jezik, temeljitost

Dijagnostički zadaci • svrha je ne samo provjera zna li učenik neko gradivo, nego i utvrđivanje gdje su eventualni problemi • moraju biti kritički (omogućiti povezivanje rješenja koje daju učenici s tipičnim greškama) • primjer: zadatak iz računa s razlomcima mora biti takav da se iz rješenja vidi koje su greške učinjene

• za dijagnozu uzroka grešaka mogu poslužiti i zgodno konstruirana pitanja s ponuđenim mogućim odgovorima; bolje: ako učenik ne samo da treba odabrati odgovor, nego i obrazložiti razlog odabira ili pokazati kako je došao do rješenja • dijagnostičke zadatke po mogućnosti treba odvojiti od ocjenjivanja jer se žele uočiti sposobnosti, a ne rad pod vremenskim pritiskom dati dovoljno vremena, omogućiti i verbalni argument • poželjno: redovno, a ne povremeno uočavanje razvoja • poticati i samoprocjenu učenika

Primjeri • Koji od razlomaka 1/6, 1/9, 3/4 i 2/10 je najmanji? (iz rješenja se vidi strategija!) • Nacrtaj brojevni pravac od 0 do 5 i na njemu broj 27/12! (vidi se razumije li se razlomak kao broj) • Koji dio površine pravokutnika zauzima trokut na slici – daj razlomak koji to opisuje i obrazloženje! (vidi se razumijevanje razlomaka, veličina, površina)

Variranje zadataka • matematički napredak ne nastaje tako da pametni matematičari iz zraka izvuku neku tvrdnju koju će dokazati, nego više u tome da se postojeći svijet gleda iz novog kuta • takva se matematička kreativnost potiče , među inim, i variranjem zadataka • na likovnom odgoju: nekoliko istih likova (npr. krugova u kvadratu) na različite načine dopuniti do slika (sunce, pogled kroz okno broda, bicikl, . . . ) – takav pristup moguć je i s matematičkim zadacima

• “Nemoj razmišljati samo u gotovim obrascima! Kombiniraj!” • učenici polazeći od danog zadatka variraju njegove elemente (pojmove, uvjete, tvrdnje, pitanja, . . . ) • prvi element uspjeha: raznolikost ideja (rješenje zadatka je tek u drugom planu); u sam čin varijacije ulazi i procjena hoće li se dobiti matematički smislen zadatak • učitelj može samo donekle predvidjeti tok događaja (uvijek će učenici neke očite stvari previdjeti, a uočiti neke neočekivane) • varijacijom se mogu dobiti zadaci različite težine – vrlo rijetko će se sve varijante moći riješiti uvježbanim metodama

Primjer • Zadatak: Za koju točku unutar jednakostraničnog trokuta je zbroj udaljenosti do stranica trokuta najveći? • strategije za variranje zadatka: • metoda analogije (trokut pravokutnik, trapez, . . ; najveća najmanja udaljenost; zbroj udaljenosti do stranica do vrhova; . . . ) • generalizacija tj. micanje nekog uvjeta (npr. za proizvoljan trokut) • specijalizacija tj. dodavanje uvjeta (npr. za točke koje su na stranicama jednakostraničnog trokuta)

• analiza (podzadaci; npr. udaljenost do jedne stranice) • kombinacija različitih elemenata (kako bi zadatak izgledao da umjesto poligona gledamo krug? ) • obrat (kako treba postaviti tri dužine zadanih duljina tako da se sastaju u jednoj točki i da budu okomice na stranice što manjeg/većeg trokuta? ) • promjena konteksta (trokut tetraedar) • izmjena implicitnih uvjeta (što ako gledamo točke izvan trokuta? ) • iteracije (što ako spojimo dva trokuta? ) • zanimljivo pitanje: što ako neka od gornjih strategija nije provediva – zašto nije?

Rješavanje problema • netočno: učenje se sastoji samo od rješavanja određenih problema • netočno: svaki matematički rad učenika je oblik rješavanja problema – u nastavi matematike se prečesto samo odrađuju unaprijed pripremljeni zadaci, obično pomoću ranije zadanih postupaka tj. u pravilu su potpuno određeni početak, put i cilj zadatka, a nema mjesta inidividualnim idejama • netočno: rješavanje je kao i dokaz, tj. osnovna matematička djelatnost – točnije bi bilo istaknuti i važnost pronalaženja matematički zanimljivih odnosa • problemski zadaci = otvoreni zadaci (nedefiniran početak, put ili cilj), ne uvijek čisto matematički

Korisni zadaci/problemi • problem odnosno zadatak je koristan tek ako ukazuje na neke stvari izvan svog konteksta (npr. na određene općenitije matematičke ideje) • usporedi: • Tri posude bez oznaka imaju volumene od po 8, 5 i 3 litre i najveća je puna – kako prelijevanjem odmjeriti 4 litre (zabavno jer se može isprobati, ali bez ikakvog daljeg značenja kad se jednom riješi) • U dvjema čašama su iste količine bijelog odnosno crnog vina. Desetinu crnog prelijemo u bijelo, a desetinu te smjese natrag u crveno. Je li sad više bijelog vina u crnom ili obratno? (Vodi na razmišljanje o razlomcima i računanju s njima pa može poslužiti za uvođenje npr. zbrajanja i oduzimanja razlomaka)