MIRE SE ERDHET NE MESIMIN ELEKTRONIK Bashksia dhe

MIRE SE ERDHET NE MESIMIN ELEKTRONIK

Bashkësia dhe elementi Bashkesin e kuptojmë si nje grumbuj objektesh. Objektet i qujmë: elemente të bashkësisë. Bashkësitë i shënojmë me shkronja të mëdha: A, B, C… Elementet i shënojmë me shkronja të vogla: a, b, c…. Kur një element i takon bashkësisë e shënojmë me Є A a b Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi boshe dhe shënohet Ø Shembull 1: Le te jetë A={5, 6, 7, 8, 9, 10}. Cakto numrat më të vegjël se 4. A={1, 2, 3} Shembull 2: Bashkësia M e muajve të vitit që fillojnë me shkronjën sh është : M={shkurt , shtator} v. DETYRA: 1 Le të jetë A bashkësia e të gjitha shkronjave të alfabetit të gjuhës shqipe. Sa elemente ka bashkësia? 2 Të shkruhen 9 numrat e parë natyrorë, 3 Sa elemente ka bashkësia A={7, 9, …. . 21}

PRERJA E BASHKËSIVE Janë dhënë bashkësitë: A={5, 7, a, b, x, z, u} dhe B={3, 4, 5, a, b, c, x, y}. Cakto: A∩B Zgjidhje A∩B={5, a, b, x} Prerja e bashkesive Adhe B quhet bashkesia e te gjitha elementeve te perbashketa te tyre. Simbolikisht: A∩B={x: xεA dhe xεB}

DIFERENCA E BASHKËSIVE • • Diferencë të dy bashkësive A dhe B quhet bashkësia që merret nga bashkësia A, kur nga ajo i largojmë elementet e bashkësisë B. A B Pjesa e hijësuar paraqet diferencën AB Shembull 1. Janë dhënë bashkësitë A={1, 2, 4, 6, 8, 11} dhe B={2, 5, 8, 10}. Formo bashkësinë C me elementet e bashkësisë A, që nuk janë në B. Zgjidhje: C=AB={1, 2, 4, 6, 8, 11}{2, 5, 8, 10}={1, 4, 6, 11} Shembull 2. Janë dhënë bashkësitë A={x, y, z, 1, 4, 5, d} dhe B={x, 1, z, 6}. Caktoni bashkësitë AB dhe BA. Zgjidhje: a) AB={x, y, z, 1, 4, 5, d}{x, 1, z, 6}= {y, 4, 5, d} b) BA={x, 1, z, 6}{x, y, z, 1, 4, 5, d}={6} Diferenca e bashkësive nuk e plotëson ligjin e ndërrimit të vendeve.

PRODHIMI KARTEZIAN I DY BASHKËSIVE • • • {x, y}={y, x} Këtë bashkësi e quajmë dyshe e renditur të elementeve x, y. komponentja e parë (2, 1) Komponentja e dytë Dyshja e renditur Shembull 1 Janë dhënë: bashkësitë: {a, b, c, d} dhe B={1, 2, 3} Ti formojmë të gjitha dyshet e renditura Zgjidhje: AҳB={(a, 1)(a, 2)(a, 3)(b, 1)(b, 2)(b, 3)(c, 1)(c, 2)(c, 3)(d, 1)(d, 2)(d, 3)}. Prodhim kartezian të dy bashkësive A dhe B quajmë bashkësinë e të gjitha dysheve të renditura (a, b) , ku aЄA dhe bЄB. Simbolikisht AΧB={(a, b): aЄA dhe bЄB Detyrë: Janë dhënë bashkësitë: A= {1, 2, 4} dhe B={3, 4, 6, 7}. Njehsoni: a) AΧB= b) BΧA= C) BΧB)=

PASQYRIMI (funksioni) SI LIDHJE E DY BASHKËSIVE Shembull 1. Le të jetë A={1, 2, 3, 4} dhe B={a, b, c, d}. Analizo diagramet: f 4 3 2 1 g h a c b d 4 3 a 2 c d 1 1 2 3 4 c a d b Vëreni me kujdes se cili nga tri ligjet e plotëson këtë kusht: Çdo elementi të bashkësisë A i shoqërohet (as më shum e as më pak) një element i bashkësisë B. Përgjigje: Ligji i shoqërimit f e plotëson këtë kusht.

Pasqyrimi Le të jenë A, B dy bashkësi jo boshe. Rregullën apo ligjin f me anën e të cilit çdo elementi të bashkësisë A i shoqërohet pikërisht një element i bashkësisë B e quajmë pasqyrim të bashkësisë A në bashkësinë B Bashkësinë A e quajmë domenë, kurse bashkësinë B kodomenë. Elementin x- e quajmë origjinal, kurse y-in fytyrë e x-it. A B x f y

PIKAT DHE VIJAT A B R X A B B A a) Vija e lakuar e hapur b) Vija e lakuar e mbyllur Shembull 1. Me pikat A ▪ B ▪ a) Vijë e mbyllur M ▪ T ▪ b) Vijë e mbyllur G mund të paraqesim pesë nxënës të cilët gjenden ▪ pranë njeri tjetrit. Shembull 2. Figura paraqet pozitën e nxënësve T(Tringa) dhe B (Bardhi)ndaj oborrit të shkollës.

B A Shembull 3. Konsiderojmë se vija l paraqet lumin, kurse pikat A, B, C dhe D paraqesin fëmijë. Kështu pikat A, D nuk i takojnë vijës l dhe janë në anë të ndryshme të tij, kurse pikat B, C i takojnë vijës l. Do të shkruajmë: B, C l dhe A, D l A C I B D Pra një pikë i takon ose nuk i takon vijës Kur pika i takon vijës, atë pikë e konsiderojmë si pjesën më të imët të vijës, e cila nuk mund të ndahet. Prandaj vija është bashkësi pikash. D. sh. Faqe 26 det. 1, 2, 3

DREJTËZA, GJYSMËDREJTËZA, SEGMENTI • • Drejtëza t shënojmë me a, b, c, …. a • A Gjysmëdrejtëzat i shënojmë me Aa, Bb, … d • ku A, B, …janë pikat e fillimit të gjysmëd. • Bashkësia e të gjitha pikave të drejtëzës a që ndodhen nga njera anë e pikës A së bashku me pikën A, quhet gjysmëdrejtëz. • • Le të jenë A, B pika në drejtëzën d. Bashësia e pikave A dhe B dhe të gjitha pikave të drejtëzës që ndodhen nërmjet pikave A dhe B quhet segment Shembull 1: Sa drejtëza kalojnë nëpër një pikë A? Shembull 2: Provoni të vizatoni drejtëza që kalojnë nëpër dy pika A dhe B. Shembull 3: Janë dhënë tri pika A, B, dhe C. Sa drejtëza kalojnë nëpër ato pika.

RRAFSHI DHE GJYSMËRRAFSHI ß Nëse drejtëkëndëshin e rrisim pafund shum herë, do të përfitojmë një bashkësi të pakufizuar pikash , të cilat i quajmë rrafsh. Nëse drejtëkëndëshi paraqet një rrafsh, atë e shënojmë me shkronja greke: B a A d Drejtëza a i takon rrafshit Drejtëza d nuk i takon rrafshit

a Rrafshi i dytë Rrafshi i parë Nëse drejtëza a i takon rrafshit , bashkësia e pikave të rrafshit që gjinden në të njejtën anë të drejtëzës a së bashku me pikat e drejtëzës a quhet gjysmërrafsh • Janë dhënë dy drejtëza p dhe q në rrafsh të cilat nuk kanë asnjë pikë të përbashkët. Në këtë rast themi se drejtëzat p dhe q janë paralele dhe simbolikisht i shënojmë p║q p q m=n Nëse të gjitha pikat e drejtëzës m janë njëkohësisht edhe pika të drejtëzës n , themi se drejtëzat m dhe n përputhen.

GRAFIKU I PASQYRIMIT Bashkësia e pikave në rrafsh që i kanë koordinatat (a, b), a, bɛN dhe b=f(a) quhet grafik i pasqyrimit. (funksionit)f. Shembull 1. Le të jetë A={1, 2, 3, 5} dhe f: A Gjeni bashkësinë e vlerave të pasqyrimit f f: 1 f: N i dhënë me f; x X+2 1+2=3 dmth (1, 3)ɛf 2+2=4 dmth (2, 4) Paraqitja e pasqyrimit f si bashkësi dyshesh të renditura shprehet me barazimin f={(1, 3)(2, 4)(3, 5)(5, 7). ]

JOBARAZIMET • • Shembull 1. Duke krahasuar numrat 47, 50 dhe 52, vërejmë se : 47<50, lexojmë: 47 është më i vogël se 50 52 >50, lexojmë: 52 është më i madh se 50. Shprehjet 47<50 dhe 52 >50 i quajmë jobarazime. Këto jobarazime mund ti shkruajmë edhe kështu: 47<50<52 dhe lexojmë: Numri 50 është më i madh se numri 47 e më i vogël se 52. Bashkësia A e të gjithë numrave natyrorë, që janë më të vegjël ose të barabartë me numrin 5, simbolikisht shënohet: A={nЄN: n≤ 5}={1, 2, 3, 4, 5} Shembull 2. Shënoni me jobarazime fjalitë e mëposhtme: a) 8 është më i madh se 3 e më vogël se 12 b) 36 është më i vogël se 58 e më madh se 33 c) 15 është ndërmjet 12 dhe 19 Shembull 3: Cilët numra natyrorë mund të vendosen në vend të shkronjës x. a) 5<x<10 b) 2<x≤ 8 c) 6<x<6 d) 9≤x≤ 9 D. sh. faqe 49 detyrat: 1, 2, 3, 4, 5.

RRUMBULLAKSIMI I NUMRAVE NATYRORË • • • • Shembull 1. Gjyshi e pyeti Ilirin: Sa nxënës ka shkolla juaj? Iliri u përgjigj: Shkolla jonë ka 784 nxënës. Pas pak gjyshi harroi numrin dhe e pyeti persëri : Iliri tash u përgjigj shkurt: Shkolla ka përafërsisht 780 nxënës. Në këtë rast Iliri bëri rrumbullaksimin e numrit 784 në dhjetëshen e parë. 784≈780 Shembull 2. Numrat që merren në dhjetëshen e parë të numrave 32, 47 dhe 84 janë përkatsisht: 30, 50, dhe 80. 32≈30, 47≈50, 84≈80 Shembull 3. Numrat natyrorë 16, 33, 158 dhe 784 rrumbullaksoni në dhjetëshen më të afërt. 16 rrumbullaksohet në 20 33 rrumbullaksohet në 30 158 rrumbullaksohet në 160 784 rrumbullaksohet në 780. Shembull 4. Rrumbullaksoni në dhjetëshen e parë më të afërt numrat 137 dhe 132. 130<137<140 130<132<140 140 -137=7 140 -132=8 137 -130=7 132 -130=2 Numrat e rrumbullaksuar në dhjetëshen më të afërt e kanë shifrën e fundit zero.

Shembull 5. Plotëso katrorët duke rrumbullaksuar numrat në dhjetëshen më të afërt: a) 138≈ b) 342≈ c) 2354≈ d) 5768≈ Shembull 6. Numrat që merren gjatë rrumbullaksimit në qindëshen e parë më të afërt të numrave 263, 2230 dhe 34570, janë përkatsisht numrat 300, 2200 dhe 34600. Pra: 263≈300, 2230≈2200, 34570≈34600 Shembull 7. Duke rrumbullaksuar numrat në qindëshen më të afërt, plotëso katrorët: a) 345≈ b) 767≈ c) 5470≈ Numrat që rrumbullaksohen në qindëshen më të afërt, dy shifrat e fundit i kanë zero. Shembull 8. Rrumbullaksoni numrat në dhjetëmijëshen më të afërt. a) 69007 b) 84523 c) 68875 ç) 526148 d) 99999 Shembull 9. Duke rrumbullaksuar në centimetrin më të afërt plotëso katrorët: a) 5 cm 4 mm≈ b) 8 cm 9 mm≈ c) 12 cm 6 mm≈ Shembull 10. Duke rrumbullaksuar plotëso katrorët: a) 33 mm≈ c cm. b) 280 cm≈ m. c) 5 kg 750 g≈ kg. D. shtëpie : Faqe 54 det. 2. 3. 4. 5.

RADHA E VEPRIMEVE ME SHPREHJET NUMERIKE ME KLLAPA OSE PA KLLAPA Shembull: Arsimtari nxjerr në tabelë dy nxënës që të njehsojnë vlerën e shprehjes: 12: 4 • 3 Ja si duket tabela Edlira Blendi 12: 4 • 3= 3 • 3=9 12: 4 • 3= 12: 12=1 Për të gjetur vlerën e ndonjë shprehjeje numerike duhet ti përmbahemi radhës së veprimeve: • Bëjmë të gjitha veprimet brenda kllapave • Bëjmë të gjitha pjesëtimet dhe shumëzimet, duke shkuar nga e majta në të djathtë. • Bëjmë të gjitha mbledhjet dhe zbritjet, duke shkuar nga e majta në të djathtë. • Shembull: Njehso vlerën e shprehjes: a) 15 -3+7 b) 3 • 5 • 4: 3 • Shembull: Njehso vlerën e shprehjes 30 • a: (b+c): c, nëse a=10, b=5 c=15.

LLOJET E KËNDEVE Figurën gjeometrike që përbëhet nga dy gjysmëdrejtëza, që takohen në një pikë të përbashkët e quajmë kënd. Këndi i ngushtë Këndi i shtrirë Këndi i drejtë Këndi i hapur Këndi i gjërë Këndi i plotë

• Është dhënë trekëndëshi me këndet. Gjeni këndet tjera? 1100 1550 250 x 450 1350

KUPTIMI I THYESES • • • Shembull 1. Duhet të masim një gjatësi me metër. E bartim metrin 7 herë në atë gjatësi e mbetet edhe një pjesë e gjatësisë, në të cilën mund të bartet pjesa e dhjetë e metrit 3 herë. Atëherë thuhet se ajo gjatësi ka 7 m e 3 të dhjetat e metrit. Dhe shkruhet në formë thyese Shembull 2. Janë dhënë dy sip. drejtëkëndëshe të ndara në dy pjesë të barabarta, prej të cilave njera pjesë është e ngjyrosur. Dmth. Se njera pjesë është e ngjyrosur ose një e dyta e sip. Dhe shënohet 1: 2 ose ½ •

SHUMËKËNDËSHAT E RREGULLT • Vëreni me kujdes shumëkëndëshat e paraqitur në figurë. • Çka mund të dalloni?

SHUMËKËNDËSHI I RREGULLT • Shumëkëndëshi që i ka të gjitha brinjët dhe të gjitha këndet e barabarta quhet shumëkëndësh i rregullt. Nr. i brinjëve Emri I rregullt Jo i rregullt 3 3 -këndëshi 4 5 4 -këndëshi 5 -këndëshi 6 6 -këndëshi

PERIMETRI I SHUMEKENDESHIT P=170+120+70+30+100+90=580 70 cm 120 cm 90 cm 170 cm Shumen e gjatesive te brinjeve te shumekendeshit e quajme perimeter te shumekendeshit Perimetri i drejtekendeshit P=2 a+2 b Perimetri i katrorit P=4 a a b

Shembull : Plotëso tabelën Nr. i brinjëve 5 Shumëkëndësh i Gjatësia e brinjës rregullt Pesëkëndëshi Perimetri 3 cm 7 4 cm 12 5 cm 18 2. 2 cm 28 cm

MATJA E SIPERFAQEVE Sipërfaqen katrore me gjatësi brinjë njësi gjatësie e quajmë njësi katrore Shembull 1. Sa herë përmbahet njësia katrore me gjatësi brinjë 1 cm, si në figurë. sipërfaqja Syprinë e një sipërfaqeje është numri i emëruar që tregon sa njësi katrore përmban ajo sipërfaqe Sa është syprina e sip. në shembullin 1

Shembull 2. Sa njësi katrore përmbajnë figurat a) dhe b) • a) b)

SYPRINA E SIPËRFAQES DREJTËKËNDËSHE S=7 cm∙ 4 cm= D 28 cm C 4 cm A 7 cm B Syprina e sip. drejtëkëndëshe është e barabartë me prodhimin e gjatësive të brinjëve të tij. S=a∙b Shembull 1. Dyshemeja e klasës duhet të mbulohet me pllaka. Klasa është e gjatë 4. 5 m kurse e gjërë 3. 2 m. Sa metra katror pllaka nevojiten për ta mbuluar klasën? S=4. 5 m∙ 3. 2 m= 3. 2 m 4. 5 m

Shembull 2. Dhoma e ditës dhe e ngrënjës ka formën L, si në fig. a) Sa metra katror nevojiten për të mbuluar dy dhomat? b)Nëse 1 m 2 e tepisanit kushton 15€. Sa do të kushtoj e tërë shtroja ? 3. 5 m 7 m 3. m 8 m Zgjidhje: Së pari ndajmë figurën L, në dy pjesë X dhe Y i gjejmë syprinat e ndara dhe pastaj i mbledhim ato • Gjejmë syprinën e sipërfaqes X: • S 1=a∙b • S 1=3. 5∙ 4=14 m 2 • Gjejmë syprinën e sipërfaqes Y: • S 2=a∙b • S 2=8∙ 3. =24 m 2 • Syprina e përgjithshme është: S=S 1+S 2=38 m 2. Pra nevojiten 38 m 2 shtrojë për të mbuluar tërë dyshemenë. b) Pasi 1 m 2 kushton 15 € , 38 m 2 të shtrojës do të kushtojnë 15· 38€ =570€. •

RRETHI • • • Vijë rrethore me qendër në pikën o dhe rreze r e quajmë 0 M r l o bashkësinë e pikave në rrafsh , largesa e të cilave nga pika o është r. E shënojmë me l(o, r). P. sh. l(o, 2 cm) Le të jenë Adhe B dy pika të rrethit l(o, r). Këto pika e ndajnë rrethin në dy pjesë. Secilën pjesë e quajmë hark rrethor. Hark rrethor quajmë bashkësinë e pikave të rrethit ndërmjet dy pikave të saj, duke përfshirë edhe vet ato pika. A B O B A Segmenti që bashkon cilat do dy pika të rrethit quhet kordë e rrethit.

RRETHI Korda Diametri (d) 0 Rrezja (r) 0 Këndi qendror 0

SIPËRFAQJA RRETHORE • • Vizato rrethin l(o, 3 cm). Caktoni pastaj pikat A, B dhe. C ashtu që OA= 3 cm, OB=4 cm, Dhe OC=2 cm. B l oo O Bashkësinë e pikave të rrethit dhe të gjitha pikave brenda tij e quajmë sipërfaqe rrethore. C A rrethi Sipëfaqja rrethore o oo o

SHPREHJET SHKRONJORE • Në matematikë përveq numrave përdoren edhe simbole dhe shprehje të ndryshme matematike. • Shembull 1: Një biletë për teatër kushton 4€. Sa € kushtojnë 2, 3, 4 bileta? • Zgjidhje: n-bileta kushtojnë n∙ 4€=4 n€ ku nє {1, 2, 3, …} • n- është ndryshore. ku merr vlerat 1, 2, 3, … • Shembull 2: Në bashkësinë A={1, 2, 3} shohim fjalinë: Shuma e cilëve do dy numra nga bashkësia A është më e madhe se numri 1 e shënojmë kështu: x+y>1 (x, y єA). x, y quhen ndryshore, kurse numrat konstante • Ndryshoret , konstantet si dhe shenjat: +, _, =, U etj. që tregojnë veprimet me numra, mandej veprime me bashëksi etj. janë shprehje matematike. Shprehja matematike e cila përmban një apo më shum ndryshore quhet shprehje shkronjore. Shembull 3: Cakto shumën e numrit 6 dhe të numrit tek njëshifrorë. Zgjidhje: Numrat njëshifror janë: 1, 3, 5, 7, 9. nëse i shënojmë me A={1, 3, 5, 7, 9}, atëherë shuma e kërkuar përshkruhet me shprehjen shkronjore: 6+x(xɛA) xx x+6 1 1 7 3 3 5 7 9 11 13