Metode Numerik Matrik dan Persamaan Linier Yusuf Hendrawan

Metode Numerik Matrik dan Persamaan Linier Yusuf Hendrawan, S. T. P. , M. App. Life Sc. , Ph. D

Bentuk dan Orde Matrik berorde (m x n), m baris dan n kolom m = n matrik bujur sangkar, contoh matrik bujur sangkar berorde 3 b 11 + b 22 + b 33 + bmn = 0 Matrik nol [a 11, a 12, . . . , a 1 n] matrik baris tunggal Matrik kolom tunggal

Bentuk dan Orde Matrik diagonal Matrik segitiga atas, jika amn = 0 untuk m>n Matrik satuan, biasanya dinotasikan dengan I Matrik segitiga bawah, jika amn = 0 untuk m<n

Bentuk dan Orde Matrik tridiagonal Matrik simetris, jika amn = anm Matrik skew-symetric, jika amn = -anm Matrik singular, karena |A| = 0

Jenis matrik yang umum digunakan dalam analisa numerik 1. Matrik Segitiga Jika amn = 0 untuk n>m atau untuk m<n atau

Jenis matrik yang umum digunakan dalam analisa numerik 2. Matrik Pita suatu matrik dimana semua elemennya = 0, kecuali pita disekitar diagonal utamanya

Persamaan Matematika Dasar 1. Pengaturan (Arrangement) dengan simbol Apm Bila ada m leter dan p adalah jumlah leter yang akan diatur (p<m), maka jumlah pengaturan total yang terdiri dari p leter tersebut adalah : Apm = m(m-1)(m-2). . . (m-p+1) Misalnya ada 3 huruf : a, b, c yang akan diatur masing-masing dengan 2 huruf maka: m = 3 p = 2 Apm = 3(3 - 1) = 6 yakni (ab, ac, ba, cb, ca) dimana (3 - 1) = (m - p +1), sehingga dihentikan pada faktor tersebut. (m – p + 1) = (3 - 2 + 1) = (3 - 1)

Persamaan Matematika Dasar 2. Permutasi dengan simbol Pm Permutasi dari m leter atau obyek adalah jumlah total yang mungkin dibuat oleh m leter tersebut dan dirumuskan dengan: Pm = m x (m - 1) x (m -2 )x. . . . x 2 x 1 = m! Misalnya : m leter tersebut adalah a, b, c, maka permutasinya (abc, acb, bac. bca, cab, cba)

Persamaan Matematika Dasar 3. Kombinasi dengan simbol Cpm Jika ada m leter atau obyek dan p adalah jumlah yang akan dikombinasikan (p<m), maka jumlah kombinasi yang mungkin: Contoh : Dengan 4 leter a, b, c, d maka akan dapat dibuat pengaturan dengan 3 huruf yaitu : Apm= 4(4 - 1)(4 - 2) = 24 Pm = 3(3 - 1)(3 - 2) = 6 yakni (abc, acd, abd, bcd)

Operasi-Operasi Matrik 1. Penambahan dan Pengurangan Matrik Dua matrik dengan ukuran yang sama dapat ditambahkan atau dikurangkan dengan menambahkan atau mengurangkan elemen-elemennya yang bersesuaian. Jadi jika:

Operasi-Operasi Matrik 2. Perkalian Matrik dengan Skalar

Operasi-Operasi Matrik 3. Sifat-sifat Matrik [A] + ([B] + [C]) = ([A] + [B]) + [C] [A] + [B] = [B] + [A] k([A] + [B]) = k[A] + k[B], (k adalah suatu scalar) [A](k 1 + k 2) = k 1[A] + k 2[A], k 1 dan k 2 adalah scalar

Operasi-Operasi Matrik 4. Perkalian Matrik dengan Matrik Lain jika matrik [A] berukuran (l x m) dan matrik [B] berukuran (m x n), jika : maka hasil [C] = [A][B] adalah berukuran (l x n) dan elemen-elemen cij diberikan dengan persamaan : cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +. . . + aim bmj =

Operasi-Operasi Matrik 4. Perkalian Matrik dengan Matrik Lain = =

Operasi-Operasi Matrik 5. Transpose Matrik Dengan mudah dapat dilihat bahwa jika matrik [A] simetri, maka [A] = [A]’ Teori 1 : Jika [C] = [A] + [B], maka [C]’ = [A]’ + [b]’ Teori 2 : Jika [A] dan [B] adalah matrik bujur sangkar, maka transpose dari hasil perkalian [A][B] adalah hasil dari transpose yang diambil dalam susunan yang terbalik, ([A][B])’ = [B]’[A]’

Determinant (Δ) 1. Determinant matrik orde 2 sehingga Tidak akan berubah nilai bila baris dan kolom saling ditukarkan

Determinant (Δ) 2. Determinant matrik orde 3 3. Determinant matrik orde 4

Determinant (Δ)

Determinant (Δ)

Persamaan Linier l Metoda langsung (metoda exact) i. e. (1) Metoda Cramer, (2) Metoda Eliminasi Gauss, (3) Metoda Eliminasi Gauss & Jordan l Metoda Iteratif (numerik) i. e. (1) Metoda Jacobi, (2) Metoda Gauss-Siedel

Metoda Cramer 2 x + y + z = 3 System of equations x–y–z=0 2 x + 1 y + 1 z = 3 x + 2 y + z = 0 1 X – 1 y – 1 z = 0 Coefficient matrix determinant 1 X + 2 y + 1 z = 0 Coefficient matrix determinant with answer column in x, y, z columns Answer

Metoda Cramer = 2(-1+2)-1(1+1)+1(2+1) = 2 – 2 + 3 = (-3) + (0) –(0) –(6) –(0) = 3 = -6 =9

Metoda Cramer 2 x + y + z = 1 x – y + 4 z = 0 x + 2 y - 2 z = 3 ? Tugas 1, cari x, y, z dengan metode Cramer!!

Metode Eliminasi Gauss Metode penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode Cramer tidak praktis untuk sistem yang besar Metode eliminasi Gauss berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk “segitiga atas” maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulihan mundur (Backward substitution) 2 x + 3 y - 1 z = 5 4 x + 4 y - 3 z = 3 -2 x + 3 y - z = 1 Ada kemungkinan pivot bernilai nol sehingga pembagian dengan nol tidak dapat dielakkan. Tata-ancang eliminasi yang tidak mempedulikan nilai pivot adalah tata ancang yang naif (naive) atau sederhana. Metode eliminasi Gauss seperti ini dinamakan metode eliminasi Gauss naif (naïve Gaussian Elimination)

Tata Ancang Pivoting (Modified Gaussian Elimination) 1. Pivoting sebagian (partial pivoting) 2. Pivoting lengkap (complete pivoting)

Tugas 2. 51 x + 1. 48 y + 4. 53 z = 0. 05 3 x + 1 y - 1 z = 1 1. 48 x + 0. 93 y – 1. 30 z = 1. 03 2 x + 4 y + z = 5 2. 68 x + 3. 04 y – 1. 48 z = -0. 53 -x + 5 y + 8 z = 5 1. Eliminasi Gauss naif 2. Eliminasi Gauss termodifikasi 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss- Siedel