04 Modul ke Fakultas EKONOMI BISNIS Program Studi

04 Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS Program Studi Manajemen dan Akuntansi SESI 4 MATEMATIKA BISNIS Sesi 4 ini akan membahas Teori Persamaan Linier. Mahasiswa diharapkan dapat Mengerti dan Memahami Persamaan Linier pada Matematika Ekonomi Viciwati STl MSi.

PERSAMAAN LINIER Matematika Bisnis Sesi 4

Pengertian Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linier adalah : y = a + bx dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.

Bentuk Umum Y = a + b X ; Dimana : Y = variabel terikat (dependent variable) X = variabel bebas (independent variable) a =Konstanta, yang tidak berubah b =koefisien , berfungsi sebagai pengali variabel ,

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU • Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi

Sebagai contoh, y = 15 – 2 x, kemiringannya adalah – 2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

Pembentukan Persamaan Linier • Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pada data yang tersedia. • Berikut ini dicontohkan empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keempat cara yang dimaksud adalah :

Cara dwi-koordinat • Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x 1, y 1) dan (x 2, y 2), maka rumus persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal: Misalkan diketahui titik A(2, 3) dan titik B(6, 5), maka persamaan liniernya:

Cara Koordinat-Lereng • Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x 1, y 1) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal : Andaikan diketahui bahwa titik A(2, 3) dan lereng garisnya adalah 0, 5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah

Cara Penggal-Lereng Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu (a) dan lereng garis (b) yang memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan liniernya adalah : y=ax+b ; a = penggal, b = lereng Contoh Soal : Andaikan penggal dan lereng garis y =f (x) masing -masing adalah 2 dan 0, 5, maka persamaan liniernya adalah : y=2+5 x

Cara Dwi-Penggal • Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horisontal ( ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah :

; a = penggal vertikal, b = penggal horisontal Contoh Soal : Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4 , maka persamaan liniernya adalah :

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS • Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain. • Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengan kemiringan garis yang lain (m 1 = m 2). • Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m 1≠m 2). • Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupaka kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Metode Substitusi Metode subsitusi adalah metode penyelesaian Sistem persamaan linier dua variable dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain Langkah-langkah : • Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x. • Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya.

Contoh Metode Substitusi: Selesaikan sistem persamaan linier berikut: 3 x – 2 y =7 (1) 2 x + 4 y =10 (2) Misalkan variabel x yang dipilih pada persamaan (2), maka akan menjadi 2 x + 4 y = 10 2 x = 10 – 4 y x = 5 - 2 y Kemudian substitusikan x ke dalam persamaan yang lain yaitu (1)

x = 5 - 2 y 3(5 - 2 y) – 2 y =7 15 -6 y -2 y = 7 -8 y = -8 y = 1 Substitusikan y = 1 ke dalam salah satu persamaan awal misal persamaan (2) x = 5 – 2(1) = 3 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan adalah (3, 1)

Metode Eliminasi adalah metode penyelesaian system persamaan linier dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah : 1. Perhatikan koefisien x (atau y) - Jika koefisiennya sama: a) Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama b) Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a

2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya. Contoh Metode Eliminasi Carilah nilai – nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut: 3 x – 2 y = 7 (3) 2 x + 4 y = 10 (4)

Penyelesaian Misal variabel yang akan dieliminasi adalah y, maka pers (3) dikalikan 2 dan pers (4) dikalikan 1. 3 x – 2 y = 7 dikalikan 2 6 x – 4 y = 14 2 x + 4 y = 10 dikalikan 1 2 x + 4 y = 10 + 8 x + 0 = 24 x = 3 Substitusikan variabel x = 3 ke dalam salah satu persamaan awal, misal pers (3) 3 x – 2 y = 7 3(3) – 2 y = 7 -2 y = 7 – 9 = -2 y = 1 Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (3, 1)

Persamaan Ketergantungan Linier dan Ketidakkonsistenan Bila kedua persamaan mempunyai kemiringan (slope) yang sama, maka gambarnya akan terdapat dua kemungkinan yaitu: • Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik potong, sehingga tidak ada penyelesaian. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten. • Kedua garis akan berhimpit, sehingga penyelesainnya dalam jumlah yang tidak terbatas. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tergantung secara linier

Contoh 1 2 x + 3 y =7 4 x + 6 y =12 Persamaan di atas keduanya tidak konsisten karena kedua persamaan ini mempunyai slope yang sama tetapi intercept berbeda. Contoh 2 5 x + 2 y = 10 20 x + 8 y = 40 Kedua persamaan di atas adalah tergantung secara linier, karena kedua persamaan ini mempunyai slope dan intercept yang sama sehingga kalau digambarkan akan berhimpit satu sama lain.

Soal Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut ini dengan metode eliminasi dan substitusi a. x+y=1 b. 2 x – 3 y = 13 x-y=1 4 x + y = 15 c. x + y = 5 d. 3 x – 2 y = 6 2 x + 3 y = 12 x + y = 4

Nyatakanlah apakah setiap sistem persamaan linier berikut ini tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai sejumlah penyelesaian yang tak hingga A, 2 x – y =10 b. 12 x + 3 y = 18 8 x – 4 y = 40 8 x + 2 y = 16 c. x + y = 3 d. x + y = 3 3 x + 3 y = 12 2 x +2 y = 6 Carilah kemiringan (slope) garis yang telah ditentukan oleh titik A dan B berikut ini: a. A(3, 4) dan B(4, 3) b. A(4, 5) dan B(8, 13)

Carilah kemiringan (slope dari garis – garis berikut : a. Y = 2 x + 3 b. 4 x – 6 y = 10 Tulislah persamaan – persamaan berikut dalam bentuk slope-intercept a. 2 x – 3 y -6 =0 b. 3 x +4 y +1 = 0

Terima Kasih Viciwati, STL, MSi.