MATRIK DETERMINAN I Definisi Persmaan matrik Penjumlahan matrik

§ § § MATRIK & DETERMINAN I Definisi Persmaan matrik Penjumlahan matrik Perkalian matrik Matrik khusus TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO FIKA HASTRITA R, ST AHMAD SAHRU R, S. Kom

Matrik & Determinan § Definisi : Matrik adalah kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom memiliki 2 baris & 3 2 1 0 contoh: A = 3 4 5 kolom, disebut matrik 2 x 3 § Matrik yang memiliki satu baris disebut vektor baris § Matrik yang memiliki satu kolom disebut vektor kolom

2 2 1 0 ; Vektor Kolom 3 4 § Bilangan 2 yg ada dalam matrik disebut entri atau elemen (berdasarkan baris dan kolom) Entry/elemen (2, 1) dari 2 1 0 A= Matrik A adalah 3 3 4 5 Contoh : Vektror Baris § Notasi Matrik = Huruf Besar dan entri / elemen = huruf kecil. Atau A = [ ajk ] A= 2 1 0 3 4 5 Entry/elemen dari Matrik A a 11=2, a 12 =1, a 13=0, a 21=3, a 22=4, a 23=5

A. PERSAMAAN MATRIKS § Sistem persamaan : 2 x 1 + 3 x 2 – x 3 = 5 4 x 1 + 4 x 2 – 3 x 3 = 3 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = -1 § Dapat dijabarkan A = 2 4 2 3 4 -3 -1 -3 1 = Koefisien matriks

x 1 x = x 2 x 3 = vektor dari variabel yg tdk diketahui 5 b= 3 -1 = vektor dari sisi kanan Kemudian sistem ini dapat dituliskan sebagai Ax = b

Secara umum, jika terdapat suatu sistem yang terdiri dari sejumlah m persamaan dgn n vaariabel yang tidak diketahui dituliskan sebagai berikut a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . + a 1 n Xn = b 1 a 22 x 1 + a 22 x 2 +. . + a 2 n Xn = b 2 : : : am 1 x 1 + am 2 x 2 +. . + amn Xn = bm

Dapat ditulis dalam bentuk matriks Ax = b x 1 a 12. . a 1 n x 2 a 21 a 22. . a 2 n : x= : : b= A= : : : x 3 am 1 am 2. . amn b 1 b 2 : : bm Disini A adalah matrik m x n, x adalah n x 1, b adalah matrik m x 1. Perhatikan bahwa aij = elemen A pd interseksi antara baris ke-i dan kolom ke-j. Dimensi atau ukuran matrik A ( m x n ) disebut juga sebagai orde A

Matrik yang sama § Dua matrik A = [ ajk ] dan B = [ bjk] dikatakan sama jika dan hanya jika A dan B memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dan elemen 2 yang ada didalamnya adlah sama yaitu : ajk = bjk , untuk semua j dan k sehingga dapat ditulis bahwa: A = B contoh: a 11 a 12 4 0 A = a a = B = 3 -1 22 22 a 11 = 4, a 12 = 0 Jika dan hanya jika : a 22 = 3, a 22 = -1

Penjumlahan Matriks § Hanya dapat dilakukan pada matriks 2 yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jumlah dua matriks m x n, A = [ajk] dan B = [bjk] dituliskan : A+B Maka : ajk + bjk j = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n Jika : -4 6 3 5 -1 0 A= =B= 0 1 2 3 1 0 Maka : 1 5 3 A+B= 3 2 2

Sifat - sifat Penjumlahan Matriks a. b. c. d. A+B=B+A (U+V) + W = U + (V+W) atau (U+V+W) A+0=A A + (-A) = 0 Keterangan: § -A = [- ajk ] adl matrik m x n yang diperoleh dengan mengalikan tiap elemen di A dgn -1 dan disebut sbg negatif dari A § Untuk A + (-B), lebih sering dituliskan sbg A-B, dan disebut matrik pembeda antara A & B

Perkalian matrik dgn skalar (bilangan) § Hasil perkalian antara matrik m x n A = [ajk] dgn sebuah skalar [dituliskan c. A (atau Ac)] diperoleh dgn mengalikan elemen 2 di A dgn c: c. A = Ac = ca 11 ca 12. . ca 1 n ca 22. . ca 2 n : : cam 1 cam 2. . camn

Contoh : Jika : A = 2, 7 -1, 8 Maka : 0, 9 3, 6 A + A = 2 A = 5, 4 -3, 8 1, 8 7, 2 10 , dan A = 3 -2 9 1 4 Sifat-sifat perkal; ian matrik dgn skalar : § c(A + B) = c. B + c. A § (c + k)A = c. A + k. A § c ( k. A ) = ( ck ) A atau ( ck. A ) § 1 A = A Keterangan : (-1)A = -A, disebut negatif dari A

Perkalian antar matriks § Langkah pertama adalah menuliskan persamaan dalam bentuk Ax = , yaitu : a 11 a 12. . a 1 n a 22. . a 2 n : : am 1 am 2. . amn x 1 x 2 : = : x 3 b 1 b 2 : : bm § Selanjutnya mengalikan Ax untuk mendapatkan :

a 11 x 1 +. . a 1 nxn a 21 x 1 +. . a 2 n xn Ax = : : am 1 x 1 +. . amn xn § Syarat untuk melakukan perkalaian matriks : Jumlah kolom A = jumlah baris x Jadi : A x = b (m x n) (n x l ) m x l) equal Matriks hasil berorde m x l

Sifat –sifat perkalian matrik § Assosiatif dan Distributif (k. A)B = k(AB) = atau (k. AB) atau (Ak. B) A(BC) = (AB)C atau (ABC) (A+B)C = AC + BC C(A+B) = CA + CB § Tidak Komutatif : AB tdk sama dgn BA § Jika AB = 0, maka tdk berarti bahwa A = 0 atau BA = 0

Matrik – Matriks Khusus § Matrik Square adalah matrik yang mempunyai jumlah dan baris yg sama. Jika B adalah matrik square, maka entry/elemen ajj adalah diagonal utama dari B. Contoh: 4 6 3 => Diagonal utama: B= 0 1 2 b 11= 4, b 22= 1, b 33= 7 9 8 7

§ Matrik Tringular adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas atau dibawah diagonal uatama adalah nol. Uppper 4 0 0 0 6 1 0 0 3 2 7 0 3 4 Lower 4 7 5 4 0 1 6 1 0 0 5 3 0 0 0 4

§ Matrik Diagonal adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas dan dibawah diagonal uatama adalah nol. 1 0 0 2 1 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 7 0 0 4

§ Matrik Scalar adalah matrik diagonal yang seluruh elemen berada di diagonal utama adalah sama c 0. . 0 0 c. . : S= : : . : 0 0. . c Sifat : AS = SA = c. A

§ Matrik Satuan atau Matrik Identitas adalah matrik diagonal yang seluruh elemen yang berada di diagonal utama adalah 1. I= Sifat : AI = IA = A 1 0 : 0 0 1 : 0 . . . . 0 : : 1

§ Matrik Nol adalah matrik yang semua elemen/entry-nya adalah nol. Notasi “ 0” digunakan untuk mendeskripsikan matrik nol. 0 = 0 0 0 0 ; 0=(0 0 0 0) Sifat : A + 0 = 0 + A = A notasi 0 m x n A – A = 0; A 0 = 0; 0 A = 0

TUGAS

Daftar Pustaka § Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 § Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta § Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta § Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear