METODE NUMERIK INTERPOLASI Tujuan l Interpolasi berguna untuk

METODE NUMERIK INTERPOLASI

Tujuan l Interpolasi berguna untuk menaksir harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat.

Macam Interpolasi l l l Interpolasi Beda Terbagi Newton Interpolasi Lagrange Interpolasi Spline

Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton l Interpolasi Linier Derajat/orde 1 memerlukan 2 titik x 1 2 3 4 f(x) 4, 5 7. 6 9. 8 11. 2 Berapa f(x = 1, 325) = ? Memerlukan 2 titik awal : x=1 x=2

Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton l Interpolasi Kuadratik Derajat/orde 2 memerlukan 3 titik x = 1 f(x = 1) =. . x = 2 f(x = 2) =. . f (x = 1, 325) = ? x = 3 f(x = 3) =. .

Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton Interpolasi Kubik Derajat/orde 3 memerlukan 4 titik … l Interpolasi derajat/orde ke-n memerlukan n+1 titik l l Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti).

Interpolasi Linier l l Cara: menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan persamaan garis lurus.

Interpolasi Linier l Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :

Interpolasi Linier (Ex. 1) l Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai berikut : t 5% = 2, 015 t 2, 5% = 2, 571 Berapa t 4% = ?

Interpolasi Linier (Ex. 1) l Penyelesaian x 0 = 5 f(x 0) = 2, 015 x 1 = 2, 5 f(x 1) = 2, 571 x = 4 f(x) = ? Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :

Interpolasi Linier (Ex. 2) l l l Diketahui: log 3 = 0, 4771213 log 5 = 0, 698700 Harga sebenarnya: log (4, 5) = 0, 6532125 (kalkulator). Harga yang dihitung dengan interpolasi: log (4, 5) = 0, 6435078

Interpolasi Linier l l Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus. Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.

Interpolasi Kuadratik l l Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data. Bentuk polinomial orde ini adalah : f 2(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 dengan mengambil: a 0 = b 0 – b 1 x 0 + b 2 x 0 x 1 a 1 = b 1 – b 2 x 0 + b 2 x 1 a 2 = b 2

Interpolasi Kuadratik l Sehingga f 2(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) Pendekatan dengan garis linier kelengkungan dengan

Interpolasi Kubik f 3(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) + b 3(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) dengan: l

Interpolasi Beda Terbagi Newton l Secara umum: f 1(x) = b 0 + b 1(x-x 0) f 2(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) f 3(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) + b 3(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) … fn(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) + b 3(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) + … + bn(x-x 1)(x-x 2)…(x-xn-1)

Interpolasi Beda Terbagi Newton Dengan: l b 0 = f(x 0) l b 1 = f[x 1, x 0] l b 2 = f[x 2, x 1, x 0] … l bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . , x 0]

Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) l Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat bebas dengan = 4%, jika diketahui: t 10% = 1, 476 t 2, 5% = 2, 571 t 5% = 2, 015 t 1% = 3, 365 dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde 3!

Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) Interpolasi Newton Orde 2: butuh 3 titik l x 0 = 5 f(x 0) = 2, 015 x 1 = 2, 5 f(x 1) = 2, 571 x 2 = 1 f(x 2) = 3, 365 l b 0 = f(x 0) = 2, 015

Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) l f 2(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) = 2, 015 + (-0, 222) (4 -5) + 0, 077 (4 -5)(4 -2, 5) = 2, 121

Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) Interpolasi Newton Orde 3: butuh 4 titik l x 0 = 5 f(x 0) = 2, 015 x 1 = 2, 5 f(x 1) = 2, 571 x 2 = 1 f(x 2) = 3, 365 x 3 = 10 f(x 3) = 1, 476

Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) l b 0 = f(x 0) = 2, 015 b 1 = -0, 222 f[x 1, x 0] b 2 = 0, 077 f[x 2, x 1, x 0]

Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) l f 3(x) = b 0 + b 1(x-x 0) + b 2(x-x 0)(x-x 1) + b 3(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2) = 2, 015 + (-0, 222)(4 -5) + 0, 077 (4 -5)(4 -2, 5) + (-0, 007)(4 -5)(4 -2, 5)(4 -1) = 2, 015 + 0, 222 + 0, 1155 + 0, 0315 = 2, 153

Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton l l l Rn = |f[xn+1, xn-1, …, x 0](x-x 0)(x-x 1)…(x-xn)| Menghitung R 1 Perlu 3 titik (karena ada xn+1) R 1 = |f[x 2, x 1, x 0](x-x 0)(x-x 1)| Menghitung R 2 Perlu 4 titik sebagai harga awal R 2 = |f[x 3, x 2, x 1, x 0](x-x 0)(x-x 1)(x-x 2)|

Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex. ) l Berdasarkan contoh: R 1 = |f[x 2, x 1, x 0](x-x 0)(x-x 1)| = |0. 077 (4 -5)(4 -2. 5)| = 0. 1155 R 2 = |f[x 3, x 2, x 1, x 0](x-x 0)(x-x 1)(x-x 2)| = |-0. 007 (4 -5)(4 -2. 5)(4 -1)| = 0. 0315

Interpolasi Lagrange l l Interpolasi Lagrange pada dasarnya dilakukan untuk menghindari perhitungan dari differensiasi terbagi hingga (Interpolasi Newton) Rumus: dengan

Interpolasi Lagrange l Pendekatan orde ke-1 f 1(x) = L 0(x)f(x 0) + L 1(x)f(x 1)

Interpolasi Lagrange l Pendekatan orde ke-2 f 2(x) = L 0(x)f(x 0) + L 1(x)f(x 1) + L 2(x)f(x 2)

Interpolasi Lagrange l Pendekatan orde ke-3 f 3(x) = L 0(x)f(x 0) + L 1(x)f(x 1) + L 2(x)f(x 2) + L 3(x)f(x 3)

Interpolasi Lagrange (Ex. ) l Berapa nilai distribusi t pada = 4 %? = 2, 5 % x 0 = 2, 5 f(x 0) = 2, 571 = 5 % x 1 = 5 f(x 1) = 2, 015 = 10 % x 2 = 10 f(x 2) = 1, 476

Interpolasi Lagrange (Ex. ) l Pendekatan orde ke-1 f 1(x) = L 0(x)f(x 0) + L 1(x)f(x 1)

Interpolasi Lagrange (Ex. ) l Pendekatan orde ke-2 f 2(x) = L 0(x)f(x 0) + L 1(x)f(x 1) + L 2(x)f(x 2)

Interpolasi Spline l l Tujuan: penghalusan Interpolasi splinear, kuadratik, kubik.

Interpolasi Cubic Spline dimana Si adalah polinomial berderajat 3: p(xi) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2 bi + (x-xi)3 ai, i=1, 2, …, n-1 Syarat: Si(xi) = Si+1(xi), Si’(xi) = Si+1’(xi), Si’’(xi) = Si+1’’(xi)

Interpolasi Cubic Spline l l Interpolasi spline kubik menggunakan polinomial p(x) orde 3 p(x) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2 bi + (x-xi)3 ai Turunan pertama dan kedua p(xi) yaitu: p’(x) = ci + 2 bi (x-xi) + 3 ai (x-xi)2 p”(x) = 2 bi + 6 ai (x-xi)

Interpolasi Cubic Spline l l Evaluasi pada titik x=xi menghasilkan: pi = p(xi) = di pi” = p”(xi) = 2 bi Evaluasi pada titik x=xi+1 menghasilkan: pi = di + (xi+1 -xi) ci + (xi+1 -xi)2 bi + (xi+1 -xi)3 ai p(xi) = d i + h i c i + h i 2 b i + h i 3 a i p”i = 2 bi + 6 ai (x. I+1 -xi) p”(xi+1) = 2 bi + 6 ai hi dimana hi = (x. I+1 -xi)

Interpolasi Cubic Spline l Jadi: di = p i l Sehingga:

Interpolasi Cubic Spline (Ex. )