METODE NUMERIK DERET TAYLOR ANALISIS GALAT IRA VAHLIA

METODE NUMERIK DERET TAYLOR & ANALISIS GALAT IRA VAHLIA

Prinsip perhitungan dalam numerik • Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” • Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil IRA VAHLIA

OUTLINE • • Penyajian Bilangan Angka Signifikansi Teorema Deret Taylor Konsep galat IRA VAHLIA

Penyajian bilangan Bilangan ada 2: 1. Eksak 2. Tidak eksak q q Perhitungan matematika tidak eksak , e, Perhitungan desimal yang berulang 0. 3333…. Hasil perhitungan deret tak hingga e Hasil pengukuran IRA VAHLIA

Floating point • f. p x = a x bn – a = matise (0 ≤ a ≤ 1) – b = basis – n = eksponen (bilangan bulat) Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10 IRA VAHLIA

Desimal dan angka signifikan • Misal x = 0. 05 2 desimal 1 angka signifikan x = 0. 30 2 desimal 2 angka signifikan Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan IRA VAHLIA

Angka Signifikan • • • Komputasi thd suatu bilangan Bilangan hrs meyakinkan ? Konsep angka signifikan keandalan sebuah nilai numerik Banyak angka signifikan banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiah How? 0, 000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 0, 00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 12. 300 Tidak jelas berapa AS, karena msh ditanyakan nol itu berarti atau tidak…! 1, 23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1, 230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah) 1, 2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah) IRA VAHLIA

Angka signifikansi • Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris : IRA VAHLIA

Angka Signifikan • Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan karena selisih 1 strip, dalam kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60. • Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh jarum : • Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10 -1 (0, 1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59, 5. IRA VAHLIA

Angka Signifikan Dua arti penting angka signifikan “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik” “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas” (kesalahan pembulatan/round-off-error) IRA VAHLIA

Aritmatika dalam floating point • Penjumlahan /pengurangan – Ubah bilangan ke f. p – Ubah eksponen mengikuti eksponen yang besar – Jumlahkan/kurangkan – Sesuaikan desimal/a. s yang diminta Contoh. x = 123. 75 dan y = 0. 14 (2 desimal) x = 0. 12375 x 103 = 0. 12 x 103 y = 0. 14 = 0. 00014 x 103 = 0. 00 x 103 x + y = 0. 12 x 103 + 0. 00 x 103= 0. 12 x 103 = 120 IRA VAHLIA

• Perkalian/pembagian q. Ubah bilangan ke f. p q. Untuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan matise q. Untuk pembagian : kurangkan eksponen dan bagikan matise q. Tulis hasil dalam f. p sesuai dengan desimal yang diminta Contoh. x = 123. 75 dan y = 0. 14 (2 desimal) x = 0. 12375 x 103 = 0. 12 x 103 y = 0. 14 x 100 x. y = (0. 12 x 103). (0. 14 x 100)= 0. 0168 x 103 = 0. 02 x 103 = 20 IRA VAHLIA

Akurasi Dan Presisi IRA VAHLIA

Akurasi Dan Presisi • Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur. • Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak. Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan adalah 0. 500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya 10 -4. • Dari keadaan akurat dan presisi ini, akan muncul apa yang dinamakan kesalahan (error). Dalam analisa numerik, dimana penyelesaian dihitung menggunakan nilai-nilai pendekatan, error menjadi hal yang sangat penting dan diperhatikan. IRA VAHLIA

Analisis Galat • Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan solusi sejatinya • Bagaimana galat timbul • Bagaimana menghitung galat IRA VAHLIA

• Alur perhitungan Input Proses Output Sumber-sumber galat : • Galat yang ada pada input : – Chopping error – Rounding error – Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak IRA VAHLIA

• Galat yang ada proses : – Rambatan galat – Rumus/metode/algoritma tidak tepat – Kesalahan alat – Human error • Galat pada output : – Chopping error – Rounding error IRA VAHLIA

• IRA VAHLIA

• Misal nilai sejati 10/3 dan nilai hampiran 3. 333 • Hitung galat, galat mutlak galat relatif, dan galat hampiran! Galat = 10/3 -3. 333 = 10/3 -3333/1000 = 1/3000= 0. 000333… Galat mutlak=|0. 000333…| = 0. 000333… Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/10000 = 0. 0001 IRA VAHLIA

• IRA VAHLIA

• IRA VAHLIA

Deret Taylor • Fungsi kompleks disederhanakan dengan bentuk polinom • Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya • Tool untuk membuat polinom hampiran adalah deret taylor IRA VAHLIA

Definisi • x x 0 IRA VAHLIA

Definisi • Deret taylor = tak berhingga • Jika a = 0 maka akan menjadi deret Mac. Laurin IRA VAHLIA

contoh • IRA VAHLIA

contoh • IRA VAHLIA

• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka -untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh: yang dalam hal ini, disebut galat atau sisa (residu). IRA VAHLIA

• Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dapat ditulis sebagai yang dalam hal ini, IRA VAHLIA

• Sebagai contoh, sin(x) pada Contoh 2. 1 jika dihampiri dengan deret Taylor orde 4 di sekitar x 0 = 1 adalah: IRA VAHLIA

Contoh. • Deret Mac. Laurin IRA VAHLIA

• Uraikan cos(x) dalam deret Maclaurin! f(x) = cos(x), f ‘(x) = -sin(x), f “(x) = -cos(x), f “’(x) =sin(x), f’’’’(x) = cos(x), dan seterusnya. Deret Maclaurin = IRA VAHLIA

Deret Taylor & Deret Mac. Laurin • Deret Taylor di titik a • Jika a = 0 maka akan menjadi deret Mac. Laurin IRA VAHLIA

• Deret Taylor dan deret Mac. Laurin dapat digunakan dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka signifikan • Contoh. • Untuk x = 0. 5 maka sin 0. 5 – 0. 5 = 0. 02057 (4 a. s) • Diperoleh 0. 02031 (4 a. s) IRA VAHLIA

Macam-macam galat 1. Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0. 378456 x 103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0. 378 x 103 galat a = |x – x*| = |0. 378456 x 103 – 0. 378 x 103| = 0. 000456 x 103 = 0. 456 IRA VAHLIA

2. Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0. 378546 x 103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0. 379 x 103 galat a = |x – x*| = |0. 378546 x 103 – 0. 379 x 103| = 0. 000454 x 103 = 0. 454 IRA VAHLIA

3. Truncation error Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret Mac. Laurin Contoh. IRA VAHLIA

Galat Pemotongan (Truncation error) • Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak, maksudnya Ekspresi matematika yang kompleks diganti dengan formula yang sederhana • Banyak metode numerik diperoleh dengan penghampiran fungsi deret taylor. (pemotongannya pada orde tertentu) IRA VAHLIA

• menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku sisa • Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yang diberikan itu, yaitu: IRA VAHLIA

IRA VAHLIA

• IRA VAHLIA

• Deret Taylornya adalah IRA VAHLIA

• dan nilai Max |24/c 5} di dalam selang 0. 9 < c < 1 adalah pada c = 0. 9 (dengan mendasari pada fakta bahwa suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil), sehingga • Jadi ln(0. 9) = -0. 1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0. 0000034. IRA VAHLIA

Galat total • Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya pada Contoh sebelumnya kita menggunakan deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0. 2) sebagai berikut: IRA VAHLIA

Nested form • Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dapat meminimalisasi galat • Contoh. f(x) = 3 + 2. 5 x + 5. 35 x 2 – 4 x 3 f(0. 25) = 4. 521875 – Nested form f(x) = 3 + x(2. 5+x(5. 35+x(-4))) – f(0. 25)=3. 896875 – Galat yang terjadi 0. 625 IRA VAHLIA

Hilangnya angka signifikan • Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik • Contoh. 13 = 13. 0000 6 a. s 0. 0385 3 a. s IRA VAHLIA