Galat Relatif dan Absolut Galat absolut suatu bilangan

Galat Relatif dan Absolut • Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya. • Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk : dimana : x = nilai eksak = pendekatan pd nilai sebenarnya e = kesalahan 1

e kesalahan absolut Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan. Contoh : Kesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan. Kesalahan relatif kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnya • Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis • Metode numerik nilai eksak tidak diketahui • Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak) 2

• nilai perkiraan terbaik • Dalam metode numerik pendekatan iteratif • Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, sehingga : • dimana : • = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1 3

Contoh : Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah 10. 000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif! Solusi : a. Kesalahan absolut Jembatan : Pensil : b. Kesalahan relatif Jembatan : Pensil = 10. 000 – 9999 = 1 cm = 10 – 9 = 1 cm ; Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih besar 4

Deret Taylor • Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. • Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi • Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. • Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik x i+1 yg terletak pada jarak Dx dari titik xi. dimana : = fungsi di titik x i+1 = turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi 5

• • • ! = jarak antara xi dan xi + 1 = kesalahan pemotongan = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2 Kesalahan pemotongan Rn : 1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama) Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan 2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama) Berupa garis lurus ( naik/turun ) 6

3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama) f(x) Order 2 Order 1 y Order 0 i xi+1 x Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor. 7

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke n Indek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1 Kesalahan pemotongan akan kecil bila : 1. Interval D x adalah kecil 2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan : 8

DIFERENSIAL NUMERIK • Digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret • Bentuk diferensial numerik diturunkan berdasar deret Taylor. • Atau • (a) 9

f(x) C terpusat maju gr singgung mundur y A B i-1 i xi+1 x Gb. Perkiraan grs singgung suatu fungsi 10

Dari persamaan a : • Diferensial pertama fungsi f terhadap x di titik xi atau turunan pertama dari f di titik xi didekati oleh kemiringan garis yg melalui titik B {xi, f(xi)} dan titik C {xi+1, f(xi+1)} Bentuk diferensial dari persamaan (a) disebut diferensial maju order satu, hal ini disebabkan menggunakan data dari xi dan xi+1 • Diferensial mundur: xi dan xi-1 (b) • • • (c) 11

Diferensial terpusat : xi-1 dan xi+1 atau Atau (d) Diferensial maju kesalahan berorder Diferensial mundur kesalahan berorder Diferensial terpusat kesalahan berorder 12

Untuk D x kecil kesalahan berorder Dx 2 < order Dx Perkiraan diferensial order terpusat lebih teliti dibanding diferensial maju/mundur Bila persamaan (a) dijumlah dg persamaan (b) atau Atau (e) 13

Demikian pula diferensial fungsi f terhadap t t n+1 Dt n Gambar Kisi hitungan n-1 i Dx i+1 Dx x 14