Le test t Procdure de linfrence statistique 1

Le test t

Procédure de l’inférence statistique 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Contexte théorique Hypothèses Seuil de signification et puissance Taille de l’effet Collecte de données Test critique Test observée Décision Interprétation

Plan Qu’est-ce qu’on fait lorsqu’on compare deux groupes (ou 1 groupe) et que la variance de la population est inconnue ? n n n Comparaisons entre un groupe et une population: page 4 Comparaisons entre deux groupes indépendants: page 11 Comparaisons entre deux groupes dépendants (données pairées): page 23 Relation entre le test t et la corrélation: page 33 La puissance: page 45

Comparaisons entre un groupe et une population

Idée n Puisque l’écart type de la population est inconnue, on ne peut donc pas obtenir l’erreur type de la moyenne. On va donc utiliser un estimé de ce dernier.

Distribution des t (Student)

Distribution des t (Student)

Exemple n On veut mesurer l’effet d’une formation pour la réussite du SAT. Neuf participants ont été sélectionnés aléatoirement et ont reçus une formation d’une journée.

Exemple n On veut mesurer l’effet d’une formation pour la réussite du SAT. Neuf participants ont été sélectionnés aléatoirement et ont reçus une formation d’une journée.

Intervalles de confiance

Comparaisons entre deux groupes indépendants

Idée n Puisque les écart types deux populations sont inconnues, on va utiliser des estimés. Si les n sont égaux (n 1=n 2)

Idée n Puisque les écart types deux populations sont inconnues, on va utiliser des estimés. Si les n sont inégaux (n 1 n 2)

Pré requis et Postulats n n n Il y a une seule variable dépendante. Les participants appartiennent à un et un seul groupe. La variable indépendante peuvent être continue ou nominale. Les données sont indépendantes et échantillonnées aléatoirement. Les données dans chacune des populations sont distribuées normalement Les variances sont homogènes

Exemple n On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété) Postulats n n n Les participants sont assignés aléatoirement et sont indépendants. Les données dans chacune des populations sont distribuées normalement. Les variances sont homogènes (optionnelle puisque les n sont égaux)

Exemple n On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

Exemple n On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

Taille d’effet et puissance n Cohen’s D n = Min(n 1; n 2)

Exemple n On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine, on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

Exemple n On veux mesurer l’effet de l’homéothérapie sur la réduction de l’anxiété. 10 participants anxieux ont été assignés au hasard dans le groupe contrôle (placebo) ou le groupe expérimental (l’homéothérapie ). Après une semaine on a mesuré le niveau d’anxiété des 2 groupes; échelle de 1 à 150 (1 = absence d’anxiété; 150 = le summum de l’anxiété)

Intervalles de confiance

Groupes indépendants n Variabilité dans l’estimation des paramètres (erreur type) a c b n Par Pythagore n Si on remplace « a » par sa valeur

Comparaisons entre deux groupes dépendants (données pairées)

Idée n On utilise les mêmes participants qu’on mesure à deux reprises. n n n L’avantage du schème à mesure répétées est de réduire la variabilité des résultats en éliminant celle due aux différences individuelles. Cependant, les données ne sont plus indépendantes. Toutefois, on se souvient que la différence est distribuée normalement. Nous allons donc recoder l’information de la façon suivante:

Structure du test n n La moyenne et l’écart type sont calculés à partir des différences. Le nombre de dégrées de liberté sera égal au nombre de différence -1.

Pré requis et Postulats n n Il y a deux variables dépendantes. Tous les participants sont mesurés à deux reprises. Les participants sont sélectionnés aléatoirement. Les données de la population sont distribuées normalement.

Exemple n On veut mesurer l’efficacité d’une formation sur le développement de l’estime de soi des maringoins d’élevage. Pour ce faire, 5 participants ont été sélectionnés aléatoirement de la population des maringoins de l’Outatouais. Le bonheur de chaque maringoin fut mesuré avant la formation (pré-test). Puis, après 15 séances d’une heure, l’estime de soi des maringoins fut mesuré de nouveau (post -test). Voici les résultats

Exemple

Exemple n Comme le |tobs| >tcrit (3, 615>2, 776) , on rejette l’hypothèse nulle et on accepte l’hypothèse alternative. n Donc, la formation de 15 séances d’une heure à permis d’augmenter significativement (t(4)=3, 615; p 0. 05) l’estime de soi des maringouins.

Intervalles de confiance

Groupes dépendants n Variabilité dans l’estimation des paramètres (erreur type) c a q b n Par la loi du Cosinus n Si on remplace « a » par sa valeur

Groupes dépendants

Relation entre le test t et la corrélation

Exemple (groupes indépendants) Test t

Exemple (groupes indépendants) Modèle général linéaire (corrélation) L’idée est de construire une variable indépendante qui permettra d’identifier à quel groupe appartient la variable dépendante. Ex 1: 1 = le premier groupe et 0 le deuxième Ex 2: 1 = le premier groupe et -1 le deuxième

Exemple (groupes indépendants) 1 = le premier groupe et -1 = le deuxième

Exemple (groupes indépendants) Modèle général linéaire (corrélation) Donc, le test t (indépendant) est un cas particulier de la corrélation/régression

Exemple (groupes dépendants) Test t

Exemple (groupes dépendants) Modèle général linéaire (corrélation) L’idée est de décomposer la variabilité en deux parties. Ainsi, dans le schème à mesures répétées il y a une part de variabilité attribuable aux participants et une autre à la condition (effet possible de traitement).

Exemple (groupes dépendants) Modèle général linéaire (corrélation) Variabilité des sujets Pour estimer cette variabilité on élimine l’effet condition:

Exemple (groupes dépendants) Modèle général linéaire (corrélation) Variabilité des sujets Pour estimer cette variabilité on élimine l’effet condition:

Exemple (groupes dépendants) Modèle général linéaire (corrélation) Variabilité de la condition Pour estimer cette variabilité on élimine l’effet mesure répétée; on procède comme si les groupes étaient indépendants:

Exemple (groupes dépendants) Modèle général linéaire (corrélation) Test de signification

Exemple (groupes dépendants) Modèle général linéaire (corrélation) Donc, le test t (dépendant) est aussi un cas particulier de la corrélation/régression

La puissance

Test t groupes dépendants n Cohen’s d

Exemple

Test t groupes dépendants n Cohen’s d 1 -b > 0. 70 1. 62

Corrélation n Cohen’s d

Exemple

Test t groupes dépendants n Cohen’s d 1 -b > 0. 70 1. 85