Statistiques une variable Indicateurs de tendances Retour Exemple

Statistiques à une variable

Indicateurs de tendances

Retour • • Exemple Indicateurs de tendance centrale – – • Sommaire Moyenne arithmétique simple Moyenne arithmétique pondérée La médiane Exercices Indicateurs de dispersion 1. Étendue 2. quartiles

Retour • Sommaire Autres exemples – – – Série quantitative discrète avec peu de valeurs Série quantitative discrète avec de nombreuses valeurs série quantitative continue

Exemple Le tableau suivant regroupe les notes de mathématiques de 3 élèves d’une seconde bac pro 3 ans Antoi 11, 10 12 11 ne 5 5 11 11 Marti n 8 15 8 16 8 11 8 Guilla ume 6 14 17 5 13 11 13 Pour mettre une appréciation, le professeur de mathématiques doit analyser ces résultats. Quelle appréciation mettriez-vous pour chacun de ces trois élèves? Retour

Réponse: ØPour comparer des séries un seul indicateur n’est pas suffisant Mé Moy Étend dian enne ue e Antoi 11, 0 12 11 ne 0 10 = 2 Mart 10, 5 in 7 Guilla 11, 2 ume 9 Retour 8 16 - 8 =8 13 17 - 5 = 12

ØEn effet la moyenne des trois élèves est autour de 11. ØPour Antoine, le travail est régulier: ØL’étendue est faible (2) ØToutes ses notes sont autour de 11 ØPour Martin, le travail est irrégulier: ØEt 50 % de ses notes sont inférieures à 8 Ø la note 16 remonte la moyenne ØPour Guillaume, le travail est irrégulier, l’étendue est 12 Ømais 50 % de ses notes sont supérieures à 13. Ø la note 6 fait baisser la moyenne. Conclusion: Si le bulletin ne rendait compte que de la moyenne, cela donnerait une vision partielle du travail d’un élève. Retour

Indicateurs de tendance centrale 1. Moyenne arithmétique simple ØLe moyenne arithmétique de N nombres x 1; x 2; …; xn est: ØExemple: La moyenne des notes, 8, 15, 8, 16, 8, 11, 8 est: Retour

2. Moyenne arithmétique pondérée ØLe moyenne arithmétique pondérée de nombres x 1; x 2; …; xp affectés des effectifs n 1; n 2; …; np est: ØExemple: La moyenne des notes affectées d’un coefficient , (8; 4), (10; 2), (11; 1), (12, 5; 3), (11, 5; 2) est: Retour

3. La médiane ØLa médiane d’une série de valeurs rangées par ordre croissant est le nombre qui partage la série en deux séries ayant le même effectif. ØAinsi 50% des valeurs de la série sont inférieures à la médiane et 50 % sont supérieures à la médiane. Retour

3. La médiane ØExemple: Cas où le nombre des valeurs est impair Cas où le nombre des valeurs est pair On a ordonné les retraits d’argent (en €) fait par une personne sur un mois Me = 60 Retour

Exercices 1 à 9 page 27 19 page 30 Retour

Indicateurs de dispersion 1. Étendue d’une série statistique ØL’étendue (E) d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur du caractère (Maximum) et la plus petite (Minimum). E = Max - Min ØExemple: L’étendue des notes, 2; 15; 8; 16; 8; 11; 18 est: E = 18 – 2 = 16 Retour

Indicateurs de dispersion 2. Quartiles ØLe premier quartile Q 1: plus petite valeur du caractère correspondant au moins au quart de l’effectif total ØExemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2; 2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20. ØN = 18; N/4 = 4, 5 arrondi à l’entier supérieur 5 ØLa 5 e note est 7 ØLe premier quartile Q 1 = 7: ØIl y a au moins 25% des notes inférieures ou égales à 7 Retour

Indicateurs de dispersion ØLe deuxième quartile Q 2: plus petite valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de l’effectif total ØExemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2; 2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20. ØN = 18; N/2 = 9 ØLa 9 e note est 10 ØLe deuxième quartile Q 2 = 10: ØIl y a au moins 50% des notes inférieures ou égales à 10 Retour

Indicateurs de dispersion ØLa médiane Me: valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de l’effectif total ØExemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2; 2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20. ØN = 18; est pair donc ØIci, la médiane Me = Q 2 = 10 ØIl y a autant de notes inférieures à 10 que supérieures à 10 Retour

Indicateurs de dispersion ØLe troisième quartile Q 3: plus petite valeur du caractère correspondant au moins au trois quarts de l’effectif total ØExemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2; 2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20. ØN = 18; N× 0, 75 = 13, 5 arrondie à l’unité supérieure 14 ØLa 14 e note est 15 ØLe troisième quartile Q 3 = 15. ØIl y a au moins 75% des notes inférieures ou égales à 15 Retour

Indicateurs de dispersion ØLe quatrième quartile Q 4: plus petite valeur du caractère correspondant au moins à l’effectif total; c’est le Max ØExemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant: 2; 2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20. ØN = 18; ØLa 18 e note est 20 ØLe quatrième quartile Q 4 = 20. Ø 100% des notes sont inférieures ou égales à 20 Retour

Autres exemples de calculs d’indicateurs v Série quantitative discrète avec peu de valeurs Retour ØExemple 1: Notes d’un élève, rangées par ordre croissant: Ø 12× 0, 25 = 3 donc Q 1 = 3 qui est la 3 e valeur; Ø 12× 0, 50 = 6 donc Q 2 = 12 qui est la 6 e valeur; Ø 12× 0, 75 = 9 donc Q 3 = 15 qui est la 9 e valeur;

Autres exemples de calculs d’indicateurs Retour ØN = 12: ØLe quatrième quartile Q 4 = 20. Ø 100% des notes sont inférieures ou égales à 20

v Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs ØExemple 2: Des jeunes de 12 à 25 ans ont été interrogés sur le temps d’écoute des radios musicales chaque semaine (que ce soit sur baladeur, sur autoradio ou dans des lieux publics). L’enquête a fourni la répartition ci-dessous. Comment décrire la répartition des réponses de ces auditeurs? Retour

v Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs ØQuestionnaire: v. L’écoute de la radio chez les adolescents et les jeunes adultes a beaucoup baissé ces dernières années. D’après vous, quel critère principal peut expliquer cette diminution? v. Quelle est la population de cette enquête? v. Est-il possible de déterminer une durée moyenne d’écoute? v. Pour quelle durée d’écoute la moitié des auditeurs sont concernés? vÀ partir de quelle valeur atteint-on ¾ des réponses, soit 75%? Retour

v Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) 1 45 1, 5 Produits ni×xi Effectif cumulé total 120 = 45 45× 1 120× 1, 5 = 180 45 165 2 60 60× 2 = 120 2, 5 134 3 165 225 359 524 3, 5 122 4 78 4, 5 65 5 71 Total N = 860 134× 2, 5 = 335 165× 3 = 495 = 427 122× 3, 5 78× 4 = 312 65× 4, 5 = 292, 5 71× 5 = 355 2 564, 5 v. La moyenne: Le temps moyen est de 2, 98 heures soit ( 2 h 58 min 48 s) 646 724 789 860 Retour

v Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Retour Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) 1 45 1, 5 Produits ni×xi Effectif cumulé total 120 = 45 45× 1 120× 1, 5 = 180 45 165 2 60 60× 2 = 120 2, 5 134 3 165 225 359 524 3, 5 122 4 78 4, 5 65 5 71 Total N = 860 134× 2, 5 = 335 165× 3 = 495 = 427 122× 3, 5 78× 4 = 312 65× 4, 5 = 292, 5 71× 5 = 355 2 564, 5 646 724 789 860 v. L’effectif total est 860 (nombre pair), donc la médiane Me est la moyenne des valeurs des 430 e et 431 e rangs. Cette médiane, ici, est égale à 3 heures

v Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs Temps d'écoute en heure (xi) nombre de jeunes (ni) 1 45 1, 5 Produits ni×xi Effectif cumulé total 120 = 45 45× 1 120× 1, 5 = 180 45 165 2 60 60× 2 = 120 2, 5 134 3 165 225 359 524 3, 5 122 4 78 4, 5 65 5 71 Total N = 860 134× 2, 5 = 335 165× 3 = 495 = 427 122× 3, 5 78× 4 = 312 65× 4, 5 = 292, 5 71× 5 = 355 2 564, 5 v. L’étendue de cette série est: E = Max – Min = 5 – 1 = 4 heures Retour 646 724 789 860

v Premier quartile Q 1 Retour Temps d'écoute en heure (xi) 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 Total Effectif cumulé total 45 165 225 359 524 646 724 789 860 v. On prend comme rang du premier quartile Q 1 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 215; soit 225; donc Q 1 = 2 h

v Deuxième quartile Q 2 Retour Temps d'écoute en heure (xi) 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 Total Effectif cumulé total 45 165 225 359 524 646 724 789 860 v. On prend comme rang du deuxième quartile Q 2 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 524; donc Q 2 = 3 h

v Troisième quartile Q 3 Retour Temps d'écoute en heure (xi) 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 Total Effectif cumulé total 45 165 225 359 524 646 724 789 860 v. On prend comme rang du troisième quartile Q 3 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 646; donc Q 3 = 3, 5 h = 3 h 30 min

v Calcul des quartiles d’une série quantitative à valeurs continues v Exemple: Calculons les quartiles de la série suivante Effectifs Caractère Effectif cumulés [10; 20[ 11 11 [20; 30[ 26 15 [30; 40[ 36 10 [40; 50[ 50 14 Total 50 v. On commence par compléter la colonne des effectifs cumulés et la cellule de l’effectif total N. Retour

v. Calcul du premier quartile Q 1 Caractère Effectifs cumulés [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ 11 15 10 11 26 [40; 50[ Total 14 50 36 50 v. Donc Q 1 est compris dans l’intervalle [20; 30[ Retour

v. Calcul du premier quartile Q 1 Caractère Effectifs cumulés [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ 11 15 10 11 26 [40; 50[ Total 14 50 36 50 Retour

v. Calcul du deuxième quartile Q 2 Caractère Effectifs cumulés [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ 11 15 10 11 26 [40; 50[ Total 14 50 36 50 v. Donc Q 2 est compris dans l’intervalle Retour [20; 30[

v. Calcul du deuxième quartile Q 2 Caractère Effectifs cumulés [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ 11 15 10 11 26 [40; 50[ Total 14 50 36 50 Retour

v. Calcul du troisième quartile Q 3 Caractère Effectifs cumulés [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ 11 15 10 11 26 [40; 50[ Total 14 50 36 50 v. Donc Q 3 est compris dans l’intervalle Retour [40; 50[

v. Calcul du troisième quartile Q 3 Caractère Effectifs cumulés [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ 11 15 10 11 26 [40; 50[ Total 14 50 36 50 Retour