STATISTIQUES DESCRIPTIVES INTRODUCTION INTRODUCTION Vocabulaire statistique L oprateur

STATISTIQUES DESCRIPTIVES

INTRODUCTION

INTRODUCTION Vocabulaire statistique L ’opérateur somme VOCABULAIRE STATISTIQUE Population statistique : Une population statistique est l'ensemble sur lequel on effectue des observations. Individu (ou unités statistiques) : Les individus sont les éléments de la population statistique étudiée. Caractère statistique ou variable statistique : C'est ce qui est observé ou mesuré sur les individus d'une population statistique.

INTRODUCTION Vocabulaire statistique L ’opérateur somme VARIABLES QUANTITATIVES Variable quantitative : Une variable statistique est quantitative si ses valeurs sont des nombres exprimant une quantité, sur lesquels les opérations arithmétiques (somme, etc. . . ) ont un sens. Variable quantitative discrète: Variable quantitative continue: Une variable quantitative est discrète si elle Une variable quantitative est continue si ses valeurs peuvent être n'importe lesquelles d'un ne peut prendre que des valeurs isolées, intervalle réel. généralement entières.

INTRODUCTION Vocabulaire statistique L ’opérateur somme VARIABLES QUALITATIVES Variable qualitative : Une variable statistique est qualitative si ses valeurs, ou modalités, s'expriment de façon littérale ou par un codage sur lequel les opérations arithmétiques telles que moyenne, somme, . . . , n'ont pas de sens. Variable qualitative nominale : Variable qualitative ordinale : C'est une variable qualitative dont les modalités ne sont pas ordonnées. C'est une variable qualitative dont les modalités sont naturellement ordonnées

INTRODUCTION Vocabulaire statistique L ’opérateur somme (1) UN OUTIL : L ’OPERATEUR SOMME S DEFINITION: p et q étant 2 entiers relatifs REMARQUE 1: i est une variable muette REMARQUE 2: Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur le domaine de variation de i, celui-ci peut être omis

INTRODUCTION Vocabulaire statistique L ’opérateur somme (2) UN OUTIL : L ’OPERATEUR SOMME S

TABLEAUX ET GRAPHIQUES

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (1) VARIABLES QUALITATIVES NOMINALES

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (2) VARIABLES QUALITATIVES NOMINALES Diagramme circulaire ou camembert Vert 13% Bleu 20% Noisette 13% Noir 54% Diagramme en barres

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue VARIABLES QUALITATIVES ORDINALES 130 personnes ont été interrogées sur leur addiction au chocolat Les modalités sont présentées dans l’ordre 45 40 40 35 32 30 25 23 25 20 15 10 10 5 0 A B C D E

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (1) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES EFFECTIFS ET FREQUENCES

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (2) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES REPRESENTATION GRAPHIQUE DES EFFECTIFS ET FREQUENCES Diagramme en bâtons

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (3) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES EFFECTIFS ET FREQUENCES CUMULES Effectifs cumulés croissants: Nombre d'individus pour lesquels la variable est inférieure ou égale à xi. Résultat de l'addition, de proche en proche, des effectifs d'une distribution observée en commençant par le 1 er. Effectifs cumulés décroissants: Nombre d'individus pour lesquels la variable est supérieure ou égale à xi. Résultat de l'addition, de proche en proche, des effectifs d'une distribution observée en commençant par le dernier. 103 218 313 348 358 360 257 142 47 12 2

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (4) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES EFFECTIFS ET FREQUENCES CUMULES Il y a 313 clients possédant un nombre de produits financiers inférieur ou égal à 2 Il y a 47 clients possédant un nombre de pro. fin. supérieur ou égal à 3 La proportion de clients possédant un nombre de pro. fin. inférieur ou égal à 4 est de 99, 44% La proportion de clients possédant un nombre de pro. fin. supérieur ou égal à 1 est de 71, 39%

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (5) VARIABLES QUANTITATIVES DISCRETES COURBES CUMULATIVES x N(x) 0 103 N ’(x) 218 142 313 47 12 0 0 1 1 2 2 3 3 348 4 4 5 5 358 360 257 2 0 On appelle courbe cumulative croissante le tracé de la fonction N (ou F pour les fréquences) qui à tout réel x associe N( x ) = nombre d'observations inférieur ou égal à x. On appelle courbe cumulative décroissante le tracé de la fonction N' (ou F’ pour les fréquences) qui a tout réel x associe N'( x ) = nombre d'observations supérieur strictement à x. Les courbes cumulatives N(x) et N’(x) sont symétriques par rapport à n/2 : N(x) + N’(x) = n Les courbes cumulatives F(x) et F’(x) sont symétriques par rapport à 0, 5 : F(x) + F’(x) = 1

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (1) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES Variable observée: augmentation moyenne mensuelle du salaire, en €, des employés d’une multinationale au cours de l’année 2005. Remarque 1 : la variable augmentation moyenne mensuelle peut être considérée comme continue. En arrondissant à l’euro, on l’a discrétisée. Une augmentation de 10 € est en fait une augmentation comprise entre 9, 5 € et 10, 5 €. Remarque 2 : Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes. Remarque 3 : Une variable discrète comportant trop de valeurs est aussi traitée comme une variable continue.

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (2) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES Remarque 1: Le choix des classes et arbitraire, mais elles doivent être contigües et recouvrir l’ensemble des valeurs. Remarque 2: Il est préférable de prendre des classes d’amplitudes égales. Remarque 3: Il ne faut prendre ni trop peu de classes. Remarque 4: Le choix et le nombre de classes influent sur les représentations graphiques.

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (3) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES REPRESENTATION GRAPHIQUE DES EFFECTIFS ET FREQUENCES effectif Effectif rectifié HISTOGRAMME

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (4) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES REPRESENTATION GRAPHIQUE DES EFFECTIFS ET FREQUENCES Effectif rectifié HISTOGRAMME La surface = ai (ni/ai) est de 830 unités La surface = ai (ni/ai) est de 615 unités Dans un histogramme, ce sont les surfaces des rectangles (ce que l’œil voit), qui sont proportionnelles aux effectifs, et non les hauteurs de ces rectangles Remarque: Le tracé de l’histogramme des fréquences est identique. Il suffit de porter en ordonnées la fréquence rectifiée di = fi/ai, appelée densité.

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (5) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES EFFECTIFS ET FREQUENCES CUMULES Variable observée: augmentation moyenne mensuelle du salaire, en €, des employés d’une multinationale au cours de l’année 2005. Il y a 1445 employés dont l’augmentation est strictement inférieure à 5 Il y a 170 employés dont l’augmentation est supérieure ou égale à 10 Combien y-a-t-il d’employés dont l’augmentation est inférieure à 17 ?

TABLEAUX ET GRAPHIQUES x 0 3 5 Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (6) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES COURBES CUMULATIVES F(x) ? 0, 391 ? 0, 680 10 0, 920 20 0, 963 30 0, 993 50 1 F’(x) ? 1 A l’intérieur 1 ? 0, 9 0, 609 de chaque Fi 0, 8 classe, on fait 0, 320 l’hypothèse 0, 080 que la 0, 037 répartition est 0, 007 uniforme 0, 7 F’i 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0 0, 1 0 -10 0 10 20 30 40 50 60 On appelle courbe cumulative croissante le tracé de la fonction F (N pour les effectifs) qui à tout réel x associe F( x ) = nombre d'observations inférieur ou égal à x. On appelle courbe cumulative décroissante le tracé de la fonction F’ (N’ pour les effectifs) qui a tout réel Remarque: Pour une variable continue, il est indifférent de dire « inférieur ou égal » ou x associe F’( x ) = nombre d'observations supérieur strictement à x. « strictement inférieur » . Il en est de même pour « supérieur ou égal » ou « strictement supérieur » . Les courbes cumulatives F(x) et F’(x) sont symétriques par rapport à 0, 5 : F(x) + F’(x) = 1 Il n’y a aucune chance qu’une observation tombe sur une borne. C’est l’imprécision de l’instrument de mesure et un mauvais choix des bornes qui pourrait conduire à ce résultat.

TABLEAUX ET GRAPHIQUES Qualitative nominale Qualitative ordinale Quantitative discrète Quantitative continue (7) VARIABLES QUANTITATIVES CONTINUES COURBES CUMULATIVES Quelle est la proportion p d’employés dont l’augmentation est inférieure à 17 € ? x F(x) 0 0 3 0, 391 5 0, 680 10 17 20 0, 920 p 0, 963 30 0, 993 50 1 17 - 10 20 - 10 p - 0, 92 0, 963 -0, 920 0, 95 17

TABLEAUX ET GRAPHIQUES RESUME VARIABLE QUALITATIVE VARIABLE QUANTITATIVE Nominale Discrète Ordinale Effectifs ou Fréquences Diagramme en barres Diagramme circulaire Diagramme en barres Modalités dans l ’ordre Continue Effectifs ou Fréquences Diagramme en bâtons Histogramme Courbes cumulatives des effectifs ou des fréquences

PARAMETRES STATISTIQUES

PARAMETRES STATISTIQUES Les représentations graphiques ont permis une première synthèse visuelle de la distribution des observations Un paramètre statistique permet de résumer par une seule quantité numérique une information contenue dans une distribution d’observations. Les paramètres statistiques ne concernent que les variables quantitatives Variable Tendance centrale N° individu 100 % - A % Dispersion Position A% N° individu

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (1) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LE MODE Une distribution est unimodale si elle présente un maximum marqué, et pas d'autres maxima relatifs. La lecture s’effectue sur le diagramme en bâtons ou l'histogramme. Mode Classe modale Le mode correspond à l'abscisse du maximum, c. à. d. la valeur la plus fréquente

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (2) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LE MODE Si la distribution présente 2 ou plus maxima relatifs, on dit qu'elle est bimodale ou plurimodale. La population est composée de plusieurs sous-populations ayant des caractéristiques de tendance centrale différentes. 140 120 100 80 60 40 20 0 0 1 2 Mode 1 3 4 5 Mode 2 6 Mode 1 Mode 2

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (3) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MEDIANE Les valeurs observées doivent être rangées par ordre croissant. La médiane M est la valeur du milieu de la série d’observations, c. à. d. telle qu'il y ait autant d'observations "au-dessous" que "au-dessus". Nombre impair d’observations 4 valeurs M 4 valeurs Nombre pair d’observations 4 valeurs Intervalle médian M = milieu = 5, 5

PARAMETRES STATISTIQUES Position Tendance centrale Dispersion (4) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MEDIANE à partir d’une distribution discrète F(x) 0 0 0, 286 M 0, 606 0, 5 0, 869 -2 -1 0, 286 Intervalle médian M = milieu = 1, 5 0, 500 0, 764 0, 967 0, 861 0, 994 1 0, 889 1 1 1 0, 5 0 0 1 M 2 3 4 5 0, 5 6 -2 -1 0 0 1 2 3 Intervalle médian M = milieu = 1, 5 4 5 6

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (5) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MEDIANE à partir d’une distribution continue x F(x) 0 0 3 M 5 0, 391 0, 5 0, 680 10 0, 920 20 0, 963 30 0, 993 50 1 M - 3 0, 5 -0, 391 5 - 3 0, 680 -0, 391 0, 5 3, 22 M

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (6) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MOYENNE ARITHMETIQUE La moyenne arithmétique est notée Série brute x 1, x 2, … , xn Série groupée

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (7) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MOYENNE ARITHMETIQUE Série classée

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (8) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE LA MOYENNE ARITHMETIQUE Comment faire la moyenne de plusieurs populations ? Population P 2 Population P 1 Effectif n 2 Moyenne Effectif n 1 Moyenne Population Effectif n = n 1+ n 2 Moyenne globale = moyenne des moyennes

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (9) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE PROPRIETES GENERALES z = a x + b y = a x x P (x) = moyenne, médiane, mode P (y) = a P (x) P (z) = a P (x) + b

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (10) PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE MOYENNES GEOMETRIQUE ET HARMONIQUE Moyenne géométrique Utilisée dans le cas de phénomènes multiplicatifs (taux de croissance moyen) Moyenne harmonique Utilisée dans le cas où l’on combine 2 variables sous forme de rapport (pièces/heure, km/litre, …)

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (1) PARAMETRES DE POSITION LES FRACTILES OU QUANTILES On appelle fractiles ou quantiles d'ordre k les (k-1) valeurs qui divisent les observations en k parties d'effectifs égaux. 1 médiane M qui divise les observations en 2 parties égales 3 quartiles Q 1, Q 2, Q 3 qui divisent les observations en 4 parties égales 9 déciles D 1, D 2, …, D 9 qui divisent les observations en 10 parties égales 99 centiles C 1, C 2, …, C 99 qui divisent les observations en 100 parties égales

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (2) PARAMETRES DE POSITION LES FRACTILES OU QUANTILES Quartiles, déciles, centiles s’obtiennent de la même façon que la médiane. Variable continue Variable discrète 0, 9 1 0, 75 0, 2 -2 -1 0 0 1 D 2 M 2 Q 3 3 4 5 6 MQ 3 D 9

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (3) PARAMETRES DE POSITION PROPRIETES GENERALES z = a x + b 100 % - A % y = a x 100 % - A % x A% 100 % - A % A% A% Q (x) = quantile Q (y) = a Q (x) Q (z) = a Q (x) + b

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (1) PARAMETRES DE DISPERSION Etendue : R = xmax - xmin Intervalle interquartile : IQ = Q 3 - Q 1 Variance : Série brute : Série groupée ou classée : = Moyenne des carrés - Carré de la moyenne Ecart-type :

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (2) PARAMETRES DE DISPERSION Comment faire la variance de plusieurs populations ? Population P 2 Population P 1 Effectif n 2 Moyenne Variance V 2 Effectif n 1 Moyenne Variance V 1 Population Effectif n = n 1+ n 2 Moyenne Variance V ? Variance globale = Moyenne des variances + Variance des moyennes

PARAMETRES STATISTIQUES Tendance centrale Position Dispersion (3) PARAMETRES DE DISPERSION PROPRIETES GENERALES z = a x + b y = a x x P (x) = étendue, écart-type, intervalle interquartile P (y) = a P (x) P (z) = a P (x)

PARAMETRES STATISTIQUES PROPRIETES IMPORTANTES DE LA MOYENNE ET DE LA VARIANCE Comment se comportent la moyenne et la variance lorsqu’on fait subir un changement de variable aux observations? x i yi = a xi + b Comment se comportent la moyenne et la variance de la somme de deux séries d’observations? xi yi zi = xi + yi

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (1) MESURE DE LA LIAISON ENTRE 2 VARIABLES QUANTITATIVES Poids Taille La connaissance de la taille x apporte une certaine information sur le poids y Il existe une relation de dépendance entre x et y

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (2) MESURE DE LA LIAISON ENTRE 2 VARIABLES QUANTITATIVES La connaissance de x n’apporte aucune certaine information sur y x et y sont indépendantes La connaissance de x permet de connaître exactement la valeur de y Il existe une relation fonctionnelle entre x et y

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (3) MESURE DE LA LIAISON ENTRE 2 VARIABLES QUANTITATIVES Covariance : Propriétés : x et y varient dans le même sens x et y varient en sens contraire

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (4) MESURE DE LA LIAISON ENTRE 2 VARIABLES QUANTITATIVES Corrélation linéaire: Propriétés : Il existe une relation fonctionnelle entre x et y sont indépendantes Il existe une dépendance linéaire d’autant plus forte que |r| est grand Ne pas confondre causalité et corrélation

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (1) AJUSTEMENT LINEAIRE y = Poids x = Taille Est-il possible de trouver une fonction numérique f telle que y = f (x) ? Si une telle fonction existe, on dit que f est un modèle du phénomène étudié. x est la variable explicative. y est la variable expliquée.

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (2) AJUSTEMENT LINEAIRE y = Poids x = Taille On désire trouver la droite qui passe « au mieux » à l’intérieur du nuage de points

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (3) AJUSTEMENT LINEAIRE « au mieux » Minimiser y = Poids ei x = Taille Droite de régression de y en x x = Taille Droite de régression de x en y

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (4) AJUSTEMENT LINEAIRE REGRESSION LINEAIRE DE Y EN X y = Poids Droite de régression linéaire de y en x y = f(x) = ax + b f(x) = y = ax+b yi axi+b ei = |yi-axi-b| x = Taille xi La droite de régression linéaire de y en x, notée Dy/x , minimise Dy/x passe par le point moyen

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (5) AJUSTEMENT LINEAIRE REGRESSION LINEAIRE DE Y EN X y = Poids Droite de régression linéaire de y en x y = f(x) = ax + b f(x) = y = ax+b yi axi+b ei = |yi-axi-b| x = Taille xi définit un modèle affine = valeur de yi prévue par le modèle = résidu de la ième observation = erreur due au modèle

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (6) AJUSTEMENT LINEAIRE REGRESSION LINEAIRE DE X EN Y y = Poids Droite de régression linéaire de x en y x = f(y) = a’y + b’ ei’ = |xi-a’yi-b’| f(y) = x = a’y+b’ yi x = Taille xi a’yi+b’ La droite de régression linéaire de x en y, notée Dx/y , minimise Dx/y passe par le point moyen

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES LIENS ENTRE CORRELATION ET DROITES DE REGRESSION Dy/x : y = ax + b r² = a a’ Dx/y : x = a’y + b’ r² = a a’ = 0 Indépendance linéaire 0< r² = a a’ < 1 r² = a a’ = 1 Le degré de dépendance linéaire se mesure à la proximité des droites de régression Liaison fonctionnelle linéaire

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (1) AJUSTEMENT A UNE FONCTION EXPONENTIELLE droite de régression linéaire de y en x Analyse des résidus Les résidus devraient se répartir au hasard autour de l’axe des abscisses: le modèle affine ne convient pas

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (2) AJUSTEMENT A UNE FONCTION EXPONENTIELLE Modèle exponentielle de base a Forme exponentielle générale Changement de variable ln y = ln b + x ln a Y = A X + B L’ajustement affine de Y en fonction de X donne A et B, d ’où , et le modèle avec Y = ln y X = x A = ln a B = ln b

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (3) AJUSTEMENT A UNE FONCTION EXPONENTIELLE Série initiale (xi, yi) Série prévue par le modèle Analyse des résidus Le modèle exponentiel est mieux adapté que le modèle affine

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (1) AJUSTEMENT A UNE FONCTION PUISSANCE Droite de régression linéaire de y en x Analyse des résidus Le modèle affine ne convient pas

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (2) AJUSTEMENT A UNE FONCTION PUISSANCE Modèle puissance Changement de variable ln y = ln b + a ln x Y = A X + B avec Y = ln y X = ln x A = a B = ln b L’ajustement affine de Y en fonction de X donne A et B, d ’où a = A , , et le modèle

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES (3) AJUSTEMENT A UNE FONCTION PUISSANCE Série initiale (xi, yi) Série prévue par le modèle 80 60 40 20 Analyse des résidus 0 0 10 20 30 40 50 60 -20 -40 -60 -80 Le modèle puissance est mieux adapté que le modèle affine

ETUDE DE 2 VARIABLES QUANTITATIVES QUALITE D’UN AJUSTEMENT On montre que SCT = SCM + SCR Somme des carrés des écarts à la moyenne = Somme des carrés des écarts du modèle + Somme des carrés des résidus L’ajustement est d’autant meilleur que SCR est proche de 0, c. à. d. que SCR/SCT est proche de 0 ou SCM/SCT est proche de 1. = Coefficient de détermination = r² = (coef. de corrélation)² = proportion de la variation totale due à l'ajustement

LES INDICES

LES INDICES ELEMENTAIRES Un indice est le rapport d’une variable mesurée à deux instants différents. Un indice est représentatif d’une évolution y 1 = valeur de la variable y à la date t 1 y 0 = valeur de la variable y à la date t 0 Indice élémentaire de la variable y à la date t 1 par rapport à la date de référence t 0, base 100. Propriétés Identité Réversibilité Circularité

LES INDICES ET TAUX DE VARIATION Taux de variation ou taux de croissance de la variable y entre la date t 0 et la date t 1 r = i - 1 i = 1 + r = coefficient multiplicateur Pas d’évolution Croissance Décroissance

LES INDICES ET TAUX DE VARIATION MOYENS y 0, y 1, …. . , yn les valeurs prises par une variable aux dates t 0, t 1, …. . , tn ir 1, i , …. . , i les indices élémentaires sur chacune des périodes 1, r 22, …. . , rnn les taux de croissance sur chacune des périodes ri. G l’indice élémentaire global entre t G le taux de croissance entre t 0 et tn i l’indice moyen r le taux de croissance moyen ri 1, i , r 22, …. . , i , …. . , rkk indices élémentaires sur des périodes de nn 11, n 22, …. . , nkk unités (jour, mois, année…) Moyenne géométrique des indices élémentaires

LES INDICES USUELS Indice élémentaire des prix Indice élémentaire des quantités (ou des volumes) Indice élémentaire de valeur (ou de dépense)

LES INDICES SYNTHETIQUES Un indice synthétique mesure l’évolution simultanée de plusieurs produits Un indice synthétique est une moyenne pondérée des indices élémentaires différents produits Coefficient de pondération (ou budgétaire) du produit j à la date tn Remarque :

LES INDICES (1) INDICES SYNTHETIQUES DE LASPEYRES Indice de Laspeyres des prix Moyenne arithmétique des indices élémentaires des prix, base 100, pondérés par des coefficients de pondération relatifs à la date de référence t 0 Comment s’en souvenir ? 1 seul indice sur 4 doit être modifié 0

LES INDICES (2) INDICES SYNTHETIQUES DE LASPEYRES Indice de Laspeyres des quantités Moyenne arithmétique des indices élémentaires des quantités, base 100, pondérés par des coefficients de pondération relatifs à la date de référence t 0 Comment s’en souvenir ? 1 seul indice sur 4 doit être modifié 0

LES INDICES (1) INDICES SYNTHETIQUES DE PAASCHE Indice de Paasche des prix Moyenne harmonique des indices élémentaires des prix, base 100, pondérés par des coefficients de pondération relatifs à la date courante t 1 Comment s’en souvenir ? 1 seul indice sur 4 doit être modifié 1

LES INDICES (2) INDICES SYNTHETIQUES DE PAASCHE Indice de Paasche des quantités Moyenne harmonique des indices élémentaires des quantités, base 100, pondérés par des coefficients de pondération relatifs à la date courante t 1 Comment s’en souvenir ? 1 seul indice sur 4 doit être modifié 1

SERIES CHRONOLOGIQUES

SERIES CHRONOLOGIQUES LES DONNEES Y = prix d’un bien en fonction du temps Y Y = série initiale temps

SERIES CHRONOLOGIQUES LES COMPOSANTES Y = série initiale Tendance ou Trend T Composante Saisonnière S Composante Aléatoire A

SERIES CHRONOLOGIQUES MODELES DE DECOMPOSITION Modèle additif Y = T + S + A Modèle multiplicatif Y = T. S. A

SERIES CHRONOLOGIQUES (1) DETERMINATION DE LA TENDANCE REGRESSION LINEAIRE Il s’agit de faire un lissage du nuage des points par une fonction connue. Lorsque le nuage est linéaire on utilise la droite de régression de y en fonction du temps T = tendance Avantages: Expression analytique Inconvénients: Un nuage ne se présente pas toujours sous une forme analytique simple Le calcul de la tendance peut être affecté par des valeurs extrêmes ou par les valeurs de début et de fin de série.

SERIES CHRONOLOGIQUES (2) DETERMINATION DE LA TENDANCE MOYENNES MOBILES Moyennes mobiles d’ordre impair Moyennes mobiles d’ordre pair. On utilise une observation supplémentaire 2 3 (y 1+y 2+y 3)/3 (y 2+y 3+y 4)/3 Moy. Mobiles d’ordre 3 2 (y 1/2+y 3/2)/2 3 (y 2/2+y 3+y 4/2)/2 Moy. Mobiles d’ordre 2

SERIES CHRONOLOGIQUES (3) DETERMINATION DE LA TENDANCE MOYENNES MOBILES Choix de l’ordre des moyennes mobiles : égal au nombre de saisons Avantages du lissage par moyennes mobiles : Permet de se faire une idée de la tendance lorsque le nuage ne présente pas une tendance algébrique claire Inconvénients: La tendance estimée sur une partie de la période étudiée et non sur la totalité Ne donne pas une expression analytique de la tendance en fonction du temps Approximation pas très bonne lorsqu’il y a de fortes courbures Sensible aux valeurs extrêmes

SERIES CHRONOLOGIQUES DETERMINATION DES COMPOSANTES SAISONNIERES Modèle multiplicatif Y = T. S. A Modèle additif Y = T+S+A Rapports Y/T = S. A Différences Y-T = S+A Coefficients saisonniers bruts = Moyenne des rapports de la saison j = Moyenne des différences de la saison j Coefficients saisonniers Rque: cette transformation permet de respecter le principe de conservation des aires

SERIES CHRONOLOGIQUES DETERMINATION DE LA COMPOSANTE ALEATOIRE Modèle multiplicatif Y = T. S. A Modèle additif Y = T+S+A A = Y - T - S La composante aléatoire, ou résidu, permet d’analyser la qualité du modèle de décomposition

SERIES CHRONOLOGIQUES DESAISONNALISATION YCVS = série désaisonnalisée ou Corrigée des Variations Saisonnières, exprime ce qu’aurait été l’évolution du phénomène sans effet saisonnier. Modèle multiplicatif Y = T. S. A Modèle additif Y = T+S+A

SERIES CHRONOLOGIQUES PREVISION Lissage obtenu par - Régression linéaire de Y sur le temps t T = droite de régression DY/t - Moyennes mobiles (Moyennes mobiles = T provisoire) Régression linéaire de sur le temps t T = droite de régression Prévision à la date future t, correspondant à la saison j: Modèle multiplicatif Y = T. S. A Modèle additif Y = T+S+A