CHAINES DE COTES B ANSELMETTI Septembre 2017 PLAN

CHAINES DE COTES B. ANSELMETTI Septembre 2017

PLAN DU COURS 1. Démarche chaîne de cotes 2. Cotation des jonctions 3. Chaine de cotes 1 D 4. Influence des défauts angulaires 5. Jonctions avec 2 cylindres 6. Analyse de tolérance 7. Cumul probabiliste des tolérances

DEMARCHE CHAINE DES COTES Cotation des jonctions => Ecriture des conditions d'assemblage des pièces "2 à 2". Recherche des exigences fonctionnelles => Détermination des maillons influents et analyse des tolérances pour déterminer la résultante au pire des cas. Y mini f d rg rd

PLAN DU COURS 1. Démarche chaîne de cotes 2. Cotation des jonctions 3. Chaine de cotes 1 D 4. Influence des défauts angulaires 5. Jonctions avec 2 cylindres 6. Analyse de tolérance 7. Cumul probabiliste

RECHERCHE DES EXIGENCES DANS LES JONCTIONS Les exigences dans les jonctions sont données par le tableau de mise en position Nature des surfaces Pièce ou bloc : Repère : Etat : Nature des interfaces surface type interface surface type Embout e Plan A e 1 Cylindre B e Auteur : Martin 4 trous parallèles C e contact jeu vis M 4 serrage Plan Cylindre 4 taraudages E F D c Primaire c Secondaire c Tertiaire

GAP DANS UNE LIAISON PRIMAIRE Liaison surfacique t 1 a t 1 b gap Le gap est la distance maxi entre deux surfaces lorsqu'elles sont en contact. Si le gap est trop grand : - déformation de la pièce lors de l'assemblage - fuite - usure (s'il y a un mouvement relatif) Gap = somme des tolérances de forme Gap = t 1 a + t 1 b Il faut respecter la condition : gap maxi. ex : t 1 a + t 1 b 0, 04. 6

RESULTANTE DES EXIGENCES DE JONCTION Gap secondaire : Somme des tolérances d’orientation Avec jeu défavorable A t 1 b D D t 1 a + t 1 b gap a b b t 1 b D A L a D t 1 a + t 1 b + JM. L/E gap JM = Jeu maxi au Les efforts peuvent "écarter" les surfaces. t 1 b D E b a t 1 a A gap maxi a a Avec jeu favorable t 1 a A E gap maxi t 1 a A gap maxi Avec serrage A D L t 1 a + t 1 b - Jm. L/E gap Jm = Jeu mini au Les efforts "rapprochent" toujours les surfaces 7

JEU DANS UNE LIAISON PRIMAIRE Liaison ajustement avec jeu b 1±t 1 b/2 a 1±t 1 a/2 E E Distance mini Arbre (a) Bâti (b) Le jeu mini est le double de la distance mini entre les surfaces d’une liaison. Si le jeu est trop petit : - impossibilité d'assemblage, - lubrification insuffisante, - risque de grippage en cas de pollution. Si le jeu est trop grand : - manque de précision du guidage, - fuite, - bruit, - laminage des surfaces de contact. Jeu mini = b 1 - a 1 - (t 1 a+t 1 b)/2 Jeu maxi = b 1 - a 1 + (t 1 a+t 1 b)/2 Généralement, on n'a que l'exigence de jeu mini. Le jeu maxi est indirectement imposé par une exigence de précision du guidage Il faut respecter la condition : jeu mini. ex : jeu 0, 02 8

JEU DANS UNE LIAISON SECONDAIRE OU TERTIAIRE Arbre (a) distance mni b 1±t 1 b/2 E Bâti (b) a 1±t 1 a/2 E Liaison ajustement avec jeu D Æte t 2 a M A Æts t 2 b M D Le jeu mini est le double de la distance mini entre deux surfaces, tout en maintenant le contact primaire Si le jeu est trop petit : - il est impossible de plaquer l’appui plan A Il faut respecter la condition : jeu mini. ex : jeu 0, 02 b 1 -a 1 - (t 1 a/2+t 2 a+t 1 b/2+t 2 b) jeu mini Différence des diamètres des états virtuels au maximum de matière 9

SERRAGE DANS UNE LIAISON PRIMAIRE b 1±t 1 b/2 a 1±t 1 a/2 E E serrage Bâti (b) Le serrage dans une liaison est la différence des diamètres des cylindres extérieurs matière serrage = arbre - alésage (positif) Arbre (a) Si le serrage est trop faible : - la pièce n'est pas tenue Si le serrage est trop fort : - impossibilité d'assemblage, - coût d'assemblage, - détérioration de la pièce, - contraintes internes trop élevées. Il faut respecter les deux conditions : serrage mini serrage maxi Ex : serrage mini = 0, 01 ; serrage maxi = 0, 04 serrage a 1 - b 1 + (t 1 a+t 1 b)/2 serrage maxi a 1 - b 1 - (t 1 a+t 1 b)/2 serrage mini 10

MONTABILITE DES VIS Chaque vis est centrée dans son trou taraudé avec un écart de localisation du taraudage dans la zone projetée. Les trous de passage doivent être assez gros pour laisser passer le corps de la vis de taille maxi. Dvis B E Dmaxi du corps de la vis a 1±t 1 a/2 distance mini a b 0 t 1 b E M A B P D E Systèmes de références de la jonction entre les deux pièces Hypothèse : les axes nominaux sont identiques. Le jeu est le double de la distance mini Jeu mini = a 1 - t 1 a/2 - Dvis - t 1 b Diamètre mini trous (Convient pour un nombre quelconque de trous). 11

MONTABILITE DE BOULONS Les trous doivent être assez gros pour laisser passer le corps de la vis de taille maxi, avec des écarts de localisation des trous. B E Dvis Dmaxi du corps de la vis a 1±t 1 a/2 Distance mini a Distance mini b E 0 M A B b 1±t 1 b/2 E 0 M D E Systèmes de références de la jonction entre les deux pièces Hypothèse : les axes nominaux sont identiques. Le jeu mini est le double de la distance mini Jeu mini = a 1 - t 1 a/2 - Dvis Jeu mini = b 1 - t 1 b/2 - Dvis Diamètre mini trous (Convient pour un nombre quelconque de trous). 12

MONTABILITE DE PIONS SERRES B E a 1±t 1 a/2 Distance mini Exigences de serrage mini et maxi Pion D td/2 a b 0 A B M b 1±t 1 b/2 t 2 b E P E D E Hypothèse : les axes nominaux sont identiques Serrage mini = D-b 1 - (td+t 1 b)/2 Serrage maxi = D-b 1+(td+t 1 b)/2 (Convient pour un nombre quelconque de pions). Jeu mini = a 1 -t 1 a/2 - D - td/2 - t 2 b 13

PLAN DU COURS 1. Démarche chaîne de cotes 2. Cotation des jonction 3. Chaine de cotes 1 D 4. Influence des défauts angulaires 5. Jonctions avec 2 cylindres 6. Analyse de tolérance 7. Cumul probabiliste

PRINCIPE DE LA COTATION FONCTIONNELLE Il s’agit de déterminer les spécifications ISO à imposer sur les pièces pour respecter l’exigence étudiée. L’exigence fonctionnelle est imposée entre des surfaces fonctionnelles terminales selon une direction d'analyse pour une configuration donnée du mécanisme. 15

METHODE CLIC UNIDIRECTIONNELLE L'exigence est définie avec les normes ISO par une localisation de la surface terminale de l'exigence par rapport à un système de références Références B surface terminale A direction d'analyse 70 valeur théorique 0, 4 A B tolérance 16

RAPPEL DE LA COTATION DES JONCTIONS A b 1±t 2 b/2 t 3 b M E t 3 e D B E p 1±t 1 p/2 B A e 1±t 1 e/2 D E (Cotation des jonctions déjà obtenues par la cotation type) E t 1 b e 2±t 4 e/2 t 5 e M E A D A t 2 e D t 2 p A B 17

IDENTIFICATION DES PIECES INFLUENTES 70 B A 0, 4 A B direction d'analyse bleu rouge bleu Méthode : - supprimer "mentalement" toutes les pièces en conservant la position relative de la surface terminale par rapport au système de références (on suppose que les pièces sont magnétiques et qu'il n'y a aucun effort extérieur, donc elles tiennent sans aucun vissage). - représenter en bleu la surface terminale et de référence perpendiculaires à la direction d'analyse. - représenter en rouge et les surfaces de jonction perpendiculaires à la direction d'analyse. 18

CHAINE DE COTES Exigence à respecter 70 B A 0, 4 A B direction d'analyse bleu b rouge e p • Règles : • Un maillon doit appartenir à une seule pièce • Il n’y a qu’un seule maillon par pièce (pour une chaîne de cotes 1 D) • La chaine de cote passe d’une surface terminale à l’autre, sans interruption en suivant la chaîne de cotes. 19

COTATION EN LOCALISATION 0, 4 pointe E E t 3 e D B p 1±t 1 p/2 t 3 b M E e 1±t 1 e/2 A b 1±t 2 b/2 A B base D A A entretoise Sur chaque dessin - Mettre en place des cotes encadrées - localiser la surface d'appui par rapport au système de références principal A B. B 70 B E t 1 b e 2±t 4 e/2 t 5 e M b 2 B t 4 b A B E A D A t 2 e D t 2 p A p 2 e 3 t 6 e A B t 3 p A B On supprime les références à droite de la référence perpendiculaire à la direction d'analyse Remarque : CLIC : Cotation en Localisation avec Influence des Contacts 20

70 B CONDITION A RESPECTER A 0, 4 entretoise Calcul de la résultante A B pointe base bleu t 3 b M t 3 e D B p 1±t 1 p/2 A E e 1±t 1 e/2 A b 1±t 2 b/2 B E D E rouge E t 1 b e 2±t 4 e/2 t 5 e M b 2 B E A D A t 2 e D e 3 t 6 e A t 2 p A p 2 t 3 p A B t 4 b A B Il faut : b 2 + e 3 + p 2 = 70 et : t 4 b + t 6 e + t 3 p 0, 4 21

CAS DE LIAISONS AVEC JEU 70 0, 4 A B B liaison avec jeu A La chaîne de cotes passe par le plan médian (ou l'axe). 38 bleu (surfaces terminales) 0, 4 A B rouge (jonction) B 32 A 22

CAS DE LIAISONS AVEC JEU X p 2 t 2 p A B L jeu /2 p 1 ± t 1 p/2 E A X maxi B e 1 ± t 1 e/2 E t 2 e L E A B jeu /2 B X mini e 2 A Résultante moyenne : p 2 + e 2 Jeu maxi (au minimum de matière) : e 1 - p 1 + t 1 e/2 + t 2 e + t 1 p/2 X maxi = (p 2 + e 2) + t 2 p/2 + jeu maxi/2 X mini = (p 2 + e 2) - t 2 p/2 - jeu maxi/2 jeu /2 23

PLAN DU COURS 1. Démarche chaîne de cotes 2. Cotation des jonction 3. Chaine de cotes 1 D 4. Influence des défauts angulaires 5. Jonctions avec 2 cylindres 6. Analyse de tolérance 7. Cumul probabiliste

EXIGENCE ET BRANCHE DE MISE EN POSITION Exigence de distance entre 2 surfaces terminales. Surfaces terminales Exigence Si le modèle CAO est construit au nominal centré, la valeur nominale de la résultante peut être mesurée sur le modèle en 3 D. support 2 Branches de mise en position base Le support est la pièce dans laquelle converge les 2 branches de mise en position. 25

RESULTANTE UNIDIRECTIONNELLE Calcul de la résultante des valeurs nominales et du cumul des tolérances dans la direction d'analyse f. Exigence t 1 a A B C X = 0, 3± 0, 2 a 1 Direction d'analyse t 1 b A B C b 1 f a b t 1 c A B C Bleu c t 1 d D E F c 1 d Rouge d 1 Résultante : Résultante mini et maxi X nominal = d 1 – a 1 - b 1 – c 1 Variation de X = t 1 a + t 1 b + t 1 c + t 1 d Xmini = X nominal - (t 1 a + t 1 b + t 1 c + t 1 d) /2 ≥ 0, 1 Xmaxi = X nominal + (t 1 a + t 1 b + t 1 c + t 1 d) /2 ≤ 0, 5 Conditions à respecter 26

INFLUENCE DES DEFAUTS ANGULAIRES Exigence maxi F Pièces terminales G a d. Fa d. Gb a b c support d d Pièces intermédiaires d. Fd d. Fc a b c c support d Référence choisie sur le support d X maxi = X nominal + d. Fa + d. Fc + d. Fd + d. Gb ≤ Exigence maxi 27

COMPORTEMENT D'UNE LIAISON PLANE Détermination de l'influence des défauts de la pièce A sur le déplacement du point F. b F 30 a t 1 a A t 2 a A d. Fa A F a a A Tolérances Orientation t 2 a Etendue E Distance L F Localisation t 1 a d. Fa Surface nominale t 1 a d. Fa t 2 a a Hypothèse de la méthode des droites d'analyse : La référence de b reste dans les zones de tolérance Droite d’analyse Déplacement maxi d. Fa = 0. 5 t 1 a + t 2 a. L/E Variation : t 1 a + 2. t 2 a. L/E 28

COMPORTEMENT D'UNE LIAISON PLANE F a A t 1 a A 30 b d. Fa A Si la droite d'analyse coupe le plan, il n'y a pas d'effet angulaire => pas de spécification d'orientation.

COMPORTEMENT D'UNE JONCTION PLAN|PLAN Point d'analyse secondaire d. Fa d. S F b S b d. F F j F' d. S d. P a S a A A E L Point d'analyse primaire t 3 a A B 10 t 1 a A t 2 a A 30 B A d. F = d. P. sin j + d. S. cos j d. P = t 1 a/2 + t 2 a. L/E d. S = t 3 a/2 d. P

INFLUENCE D'UNE LIAISON CYLINDRIQUE AVEC JEU Calcul de l'écart de position e à l'extrémité de l'arbre, en M. Bâti t 2 b L A 0 L A 50 b 1+t 1 b/2+t 2 b Arbre t A L A A E L b JVL/2 a 50 a 1 t 1 a/2 b 1 t 1 b/2 a 1 -t 1 a/2 Etat virtuel en localisation au mini matière DVL = (b 1+t 1 b/2+t 2 b) Etat virtuel en orientation au mini matière DVo = (b 1+t 1 b/2) Etat virtuel au mini matière de l'arbre dm = a 1 -t 1 a/2 Jeu virtuel en localisation JVL = DVL – dm F d. Fb Jeu virtuel en orientation JVo = DVo – dm a = JVo / E d. Fb = JVL /2 + L. a Influence de la liaison en F : A d. Fb= JVL/2 + JVO. L. / E 31

LIAISON AVEC DEUX PIONS AVEC JEU Jeu maxi JM Carter pion p 1±t 1 p/2 Bâti Déplacement maxi de l'axe F d'un trou dans la direction f par rapport au bâti - Si la droite d'analyse (F, f) coupe le segment PQ, le déplacement est une translation. f F jeu JM P Q d. F = JM/2. - Sinon, le carter pivote autour de la liaison F q f j Point d'intersection de la droite P Q d'analyse avec la médiatrice du segment PQ. d. F = JM. Cos q 2. Cos j 32

CAS PARTICULIER Droite d'analyse perpendiculaire à PQ : E f F jeu JM P Q L d. F = JM. L/E

LIAISON AVEC DEUX PIONS AVEC JEU Carter pion p 1±t 1 p/2 Bâti 4 x t A B L Cotation du bâti f 2 x b 1±t 1 b/2 D P x Cotation du carter 2 x c 1±t 1 c/2 0 E M E A t 2 b P E D E B Calcul du jeu maxi Jeu maxi : JM = (c 1 – p 1 ) + (t 1 c+t 1 p+t 2 b)/2 Serrage du pion Maxi = (p 1–b 1) +(t 1 b+t 1 e)/2) Mini = (p 1–b 1) - (t 1 b+t 1 e)/2 34

AMELIORATION DE LA REGLE QUICK_GPS Si la droite d'analyse ne coupe pas la jonction primaire, il faut ajouter une spécification d'orientation. Collision Droite d'analyse Jonction Principale (A B C) Pièce b Pièce a Droite d'analyse Y X Affleurement Pièce c

TRANSFERT D'UNE RECTITUDE EN ZONE COMMUNE M C D 0 M C L t 1 c M A B 0 M A C A D L D mini Bâti t 1 b D mini c 1±tc/2 b 1±tb/2 E E r CZ M B d ØD Carter r Ød La réduction de diamètre correspond à la rectitude sur le mécanisme assemblé : E L E r = D- d = d. E E+L Avec d = t 1 b+t 1 c + Jeu maxi c/b 36

TRANSFERT D'UNE RECTITUDE EN ZONE COMMUNE E c 1±tc/2 b 1±tb/2 E r CZ Bâti t 1 b C D t 1 c A B L t 2 b C L t 2 c A C A D B Carter (c) Droite d'analyse f axe CD Fc (d) axe du carter r axe de Ee l'embase L -f axe du bâti Fe r' axe du carter f F'c F'e -f L axe CD Ec JM : jeu maxi Eb Ec r= max{ [d(F c, f ) + d(Fb, -f )]; [d(F' c, f ) + d(F'b, -f )]} entre les 2 pièces Eb+L Ec+L Eb [(t 1 c+JM)/2 + (t 1 b/2 + t 2 b. L/Eb)] ; Ec [t 1 b/2 + (JM+ t 1 c)/2 + t 2 c. L/Ec)] } r= max{ Eb+L Ec+L 37

SYNTHESE 3 types d'exigences Exigence par rapport à la base Exigence de distance entre 2 surfaces terminales. Exigence de rectitude en zone commune r CZ t A B support base X A d. Fa d. Fc d. Fd d. Fb d. Fa d. Fb d. Fc d d. F d. G d B d. Ga d. Gb c d. G d d. G Xmaxi = X nom + d. F +d. G d. F 2 d. F 1 r = k 1. d. F 1 + k 2. d. F 2 38

APPLICATION Déterminer le déplacement du point F par rapport au bâti Collecteur (c) Bâti (b) d. F Pot (p) F d. F= d. Fp+d. Fc+d. Fb 39

APPLICATION Eb Collecteur (c) Bâti (b) Lb d. F Pot (p) Ec Pot (p) Lc F Collecteur (c) Pôt (p) Lc t 1 c t 2 c d. Fc =t 1 c/2 + t 2 c. Lc/Ec t 3 p d. Fp =t 3 p/2 F F 40

APPLICATION Eb Collecteur (c) Ec F Lc Lb Bâti (b) d. F Les pions sont serrés dans le collecteur Pot (p) 2 x Vue de face t 1 b Bâti (b) Øt 1 c Vue de dessus Bâti (b) Lb 2 j = atan ( ) Eb 2 2 b E Lb Lb 2 j d. Fb 2 = JM. Cos q 2. Cos j JM = jeu maxi pion/trou au minimum de matière d. Fb =t 1 b. Lb/Eb q 41

LIAISON AVEC DEUX PIONS AVEC JEU Jeu maxi JM Carter pion p 1±t 1 p/2 Bâti Déplacement maxi de l'axe F d'un trou dans la direction f par rapport au bâti - Si la droite d'analyse (F, f) coupe le segment PQ, le déplacement est une translation. f F - Sinon, le carter pivote autour de la liaison F q f j P jeu JM P Q Q d. F = JM/2. Point d'intersection de la droite d'analyse avec la médiatrice du segment PQ. d. F = JM. Cos q 2. Cos j 42

APPLICATION Relation donnant le déplacement du point F par rapport au bâti en fonction des tolérances Collecteur (c) Bâti (b) d. F= d. Fp+d. Fc+d. Fb Pot (p) F d. Fp = t 3 p/2 d. Fc = t 1 c/2 + t 2 c. Lc/Ec d. Fb = t 1 b. Lb/Eb d. Fb 2 = JM. Cos q 2. Cos j 43

PLAN DU COURS 1. Démarche chaîne de cotes 2. Cotation des jonction 3. Chaine de cotes 1 D 4. Influence des défauts angulaires 5. Analyse de tolérance 6. Cumul probabiliste

ANALYSE DES TOLERANCES Lorsque les valeurs nominales sont connues, les inéquations sont de la forme : X nominal + S ki. ti ≤ Exigence maxi X nominal - S ki. ti Exigence mini Les tolérances ti sont choisies par le concepteur en relation avec la production. Il faut vérifier que le cumul des tolérances respecte l'exigence Sinon, il faut soit : - Modifier le nominal (en particulier sur les surfaces terminales) - Réduire les tolérances en acceptant une augmentation du coût - Négocier l’exigence en acceptant un risque supplémentaire.

REPARTITION UNIFORME DES TOLERANCES Lorsque les valeurs nominales sont connues, les inéquations sont de la forme : S ki. ti ≤ IT Résolution du système avec ki=1 Etape 1 : Etat initial des inéquations ta + tb + tc 0, 6 ta + td 0, 8 tc + tf + tg 0, 3 n 1 = 3 n 2 = 2 n 3 = 3 t 1 = 0, 2 t 2 = 0, 4 t 3 = 0, 1 • Nombre de tolérances dans la condition (tenir compte des coefficients n=Ski) • Calculer la tolérance maxi = Sti/n • Chercher la plus petite tolérance tc = tf = tg = 0, 1 Les valeurs de la ligne critique sont imposées. Supprimer la ligne traitée et remplacer les valeurs connues dans le tableau et poursuivre par itérations. Etape 2 avec tc = tf = tg = 0, 1 ta + tb 0, 5 ta + td 0, 8 n 1 = 2 n 2 = 2 t 1 = 0, 25 t 2 = 0, 4 ta = tb = 0, 25 t 2 = 0, 55 td = 0, 55 Etape 3 avec ta = tb = 0, 25 td 0, 55 n 2 = 1 46

D=6 s REPARTITION ISO CAPABILITE Il faut maximiser les Cam. IT D=6 s = Dispersion instantanée Cam = ou D=tolérance mini réalisable. ta = 0, 2 D Il faut connaître la dispersion D = 6 si de chaque moyen pour chaque surface : Exemple : D b =0, 018 D f = D g =0, 06 D d =0, 18 D a = D c =0, 12 Il faut déterminer les tolérances ti telles que les capabilités soient les plus grands possibles. Etat initial des inéquations Ci = ti Di ta + tb + tc 0, 6 ta + td 0, 8 tc + tf + tg 0, 3 Chercher la plus petite capabilité Après changement de variables D a. Ca + D b. Cb + D c. Cc 0, 6 D a. Ca + D d. Cd 0, 8 D c. Cc + D f. Cf + D g. Cg 0, 3 Cc = Cf =Cg = 1, 25 n 1 = D a + D b + D c = 0, 258 C 1 = 2, 32 n 2 = D a + D d = 0, 30 C 2 = 2, 66 n 3 = D c + D f + D g = 0, 24 C 3 = 1, 25 (si inférieur à 1, ce n'est pas réalisable) tc = D c. Cc=0, 12 1, 25= 0, 15 tf = tg = D f. Cf = 0, 06 1, 25= 0, 075 Poursuivre par itération en éliminant les valeurs connues, du système d'inéquations 47

PLAN DU COURS 1. Démarche chaîne de cotes 2. Cotation des jonction 3. Chaine de cotes 1 D 4. Influence des défauts angulaires 5. Analyse de tolérance 6. Cumul probabiliste

ANALYSE DE L'EXIGENCE Besoin Caractéristique à mesurer Jeu Distance mini Montabilité => jeu mini 0, 02 Bruit => jeu maxi Pour chaque position angulaire de l'arbre, il faut maximiser la distance mini entre les surfaces. La condition est : min (distance mini) 0, 02/2 Le jeu n'est pas la différence des diamètres Problème d'identification : Quelles sont les caractéristiques à mesurer sur l'arbre et sur l'alésage pour connaître la valeur du jeu ? Quelle est la valeur du jeu mini acceptable ? Quelle est la caractéristique significative pour limiter le bruit ?

d mini D mini d maxi D maxi CARACTERISTIQUES SIMPLIFIEES d mini D maxi Probabilité d'avoir dmaxi et D mini du même côté ? d maxi Au cours de la rotation, on est sûr d'avoir dmaxi en face de D mini

ETUDE DU RISQUE AVEC DISTRIBUTION UNIFORME Point correspondant au diamètre maxi mesuré sur l'arbre et au diamètre mini mesuré dans l'alésage X 0, 1 30 0 Jeu mini "0, 02" Hypothèse : aucune pièce hors tolérances ! 30, 02 0 30 -0, 1 30, 1 Alésage Intervalle de tolérance Jeu maxi "0, 2" 29, 98 30 Jeu mini "0" Arbre Avec une hypothèse de probabilité uniforme sur le diamètre maxi de l'arbre et du diamètre mini de l'alésage, la proportion de mécanismes avec un jeu ≤ 0, 02 est égale au rapport de l'aire du triangle jaune / aire totale du rectangle. Probabilité = 0, 02 x 0, 02/2 / 0, 1 x 0, 1 = 2%

ETUDE DU RISQUE AVEC DISTRIBUTIONS QUELCONQUES Dmaxi 30, 1 Alésage Intervalle de tolérance Dmini Jeu mini "0, 02" 30, 02 30 29, 98 30 Arbre La proportion doit être estimée avec un calcul intégral. d maxi dmini dmaxi

RISQUE DE NON MONTABILITE Courbe définie par un expert en fonction des conditions d'utilisation du produit (température, charge, pollution des huiles…) Risque de grippage 0, 005 r 3 r 2 r 1 0% 0, 04 0, 01 jeu 0, 03 0, 02 Risque de non montabilité en usine (risque client =0) Le risque client est le produit de la proportion de pièces dans la zone par le risque. R = r 1. p 1 + r 2. p 2+r 3. p 3… 30, 1 Intervalle de tolérance Alésage 100% Ce risque correspond sensiblement au risque de grippage de la liaison au cours de la vie du véhicule, soit à la proportion de clients mécontents. 30 Proportion Jeu mini p 1 0, 01 p 2 0, 02 p 3 0, 03 29, 9 Arbre 29, 98 30 30, 02 Jeu mini "0"

MAITRISE DU RISQUE Il faut ajuster la limite de la zone de tolérance pour faire diminuer la proportion d'assemblages à risque 30, 1 Alésage Intervalle de tolérance Alésage 30, 1 Proportion p 1 p 2 p 3 30, 02 30 29, 9 Arbre 29, 98 30 Jeu mini "0" 30, 02 30 29, 98 Arbre En diminuant le risque de bruit, on augmente le risque de grippage !

COMPROMIS RISQUE / TOLERANCE Risque de bruit 100% 0, 2 0% 0, 08 Risque de non montabilité 100% Jeu maxi = Dmaxi – d mini 0, 005 Jeu mini = Dmini – d maxi 0% 0, 04 IT D + IT d

COMPROMIS RISQUE / TOLERANCE En acceptant un risque, on peut augmenter les tolérances. Hiérarchisation criticité 3 1 Risque de grippage IT D + IT d 100% Risque de bruit 0, 2 r 1 0% 0, 04 Risque "0" 0, 08 IT D + IT d L'optimisation des tolérances impose de modifier les nominaux. Pour faire une réelle optimisation, il faudrait établir le coût de la défaillance (coût de la réparation, perte d'image, perte de ventes…. )

Modèle Pièce réelle Ø Quel est le risque pour le client qui achètera cette pièce ? Le risque est égal au rapport des longueurs. Le risque d'avoir un jeu inférieur à 0, 02 est 20%. 29, 9 Tolérance sur l'arbre 30 X 29, 998 30, 1 Intervalle de tolérance Alésage J'ai une pièce dans la main avec dmaxi à la limite de la zone de tolérance. 29, 998 ROLE D'UNE TOLERANCE Tolérance => pièce OK ou KO 30 Proportion Jeu mini p 1 0, 01 p 2 0, 02 p 3 0, 03 29, 9 Arbre 29, 98 30 30, 02 Jeu mini "0"

TOLERANCE SECURISÉE L'intervalle de tolérance au pire des cas pour avoir un jeu mini de 0, 02 est : Dmini = 30, 01, d maxi = 29, 99 En acceptant un risque de 1/1000 pour le client, l'intervalle de tolérance est augmenté dé 4. 10 -5 mm Pire des cas 29, 9 Probabiliste sécurisé 30, 1 Alésage 29, 99 ~0, 09 0, 00009 30, 01 Arbre Jeu mini "0, 02" 29, 99904 30, 00996 = 30, 01 à 0, 04 mm près Jeu mini "0, 02"

CUMUL STATISTIQUE En (a), on connaît les dimensions nominales des pièces et la position nominale du point F. On cherche le déplacement du point F dû aux défauts des différentes jonctions. 0. 2 A B X = 50 a f Influence de la surface terminale d. Fa b d Influence de chaque jonction d. Fb F jonction étudiée F d. Fc jonction étudiée d. Fd jonction étudiée F Droite d'analyse a a b b base d (a) B A d (b) a b b b c c a a d d d (d) (c) c (e) d. F Il faut calculer l'influence de chaque jonction sur l'exigence fonctionnelle. Le déplacement résultant du point F noté d. F est la somme des influences de chaque jonction d. Fa d. Fb d. Fc d d. F 59

METHODE PROBABILISTE • En cotation fonctionnelle, il s'agit de faire un calcul prévisionnel. • Quelle est la probabilité de monter une pièce dans un mécanisme avec une influence petite, moyenne ou grande sur l'exigence ? d. Fa d. Fb d. Fc d d. F On ne sait pas quelle sera le décalage dû au défaut d'une pièce fabriquée à une date donnée dans le futur. Modèle de distribution Uniforme 1/i s = i/2 3 Influence i d. Fa

CUMUM PROBABILISTE DES TOLERANCES S'il y a au moins 5 maillons avec les intervalles d'influence du même ordre de grandeur, la distribution résultante est normale. Il faut choisir un taux d'incident acceptable p. sx Résultante moyenne sx P=3 donne un risque de 0, 13% Xmaxi Choix p=3 X nominal + p ia² ib² ic² id² ie² + + Xmaxi (2 3) L'influence ia est la somme pondérée au pire des cas de toutes les tolérances de la pièce a ia = ta ou ia = (ta 1 + ta 2. L/E). cos j + ta 2. sin j

LOI NORMALE F(p) donne la proportion d'individus contenue dans la population à gauche de la limite x + p. sx à gauche : F(p) à droite : 1 -F(p) P=F(p) p. sx x p à gauche à droite intérieur extérieur 2 0, 9772 0, 0228 0, 9545 0, 0455 2, 5 0, 9938 0, 0062 0, 9876 0, 0124 intérieur : 2 F(p)-1 extérieur : 2 - 2 F(p) p. sx -p. sx x 3 3, 5 4 4, 5 5 5, 5 6 0, 9987 0, 9998 0, 999968 0, 999997 1, 000000 0, 0013 2, 3267 E-04 3, 1686 E-05 3, 4008 E-06 2, 8710 E-07 1, 9036 E-08 9, 9012 E-10 0, 9973 0, 9995 0, 999937 0, 999993 0, 999999 1, 000000 0, 0027 0, 0005 6, 3372 E-05 6, 8016 E-06 5, 7421 E-07 3, 8073 E-08 1, 9802 E-09 62

DISTRIBUTION DE LA RESULTANTE (a) 5 influences identiques 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 6 s (b) 1 influence 10 fois plus grande que les 4 autres (c) 2 influences 5 fois plus grandes que les 3 autres 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1314 15 6 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 6 s La distribution de la résultante est normale s’il y a au moins 5 pièces avec des influences du même ordre de grandeur Conclusion : les relations à utiliser sont : R moyen + p s. R Rmaxi ou R moyen - p s R Rmini. Le coefficient p peut être lu dans la table de la loi normale dès qu'il y a plus de 5 pièces dans la chaîne de cotes. 63

CHAINE DE COTES AVEC DEUX PIECES IDENTIQUES c 1 C 1 a b A B c 2 X e C 2 dk Pièces identiques D Choix p=3 X nominal + p ia² ib² (2. ic) ² id² + ie² + + + (2 3) Doublement de l'influence Xmaxi

INFLUENCE DU NOMBRE DE PIECES ta tb tc td t = IT*1, 053/2 Pire des cas ta+tb+tc…. = 0, 2 a b H c IT = 0, 2 d Probabiliste 3 ta² + tb² + tc² … = 0, 2 5% 11% 0, 105 0, 077 Gain 40% Gain 100% t = IT*1, 115/3 65

SIMULATION PROBABILISTE p=3, q=3, 46, décalage de t/4 (a) (b) Pièce a d. R = 0, 071 pièce c da = 0, 012 0, 022 sa = 6 0, 047 (c) Résultante excursion a pièce b = 0, 004 pièce d 0, 099 IT = 0, 2 pièce e 3. s. R = 0, 029 0, 1 pièce f d. R + 3. s. R =0. 0995 La probabilité est vérifiée 66

SIMULATION p=3, q=3, 46, décalage de 3 t/8 (a) (b) pièce b Pièce a da = 0, 018 a 0, 047 (c) Résultante d. R = 0, 106 pièce c 0, 011 sa = pièce d 6 = 0, 002 pièce e IT = 0, 2 3. s. R = 0, 014 0, 120 pièce f Probabilité : (¼)6 × 2 = 1/2000 Pour une chaîne de cotes sur 2000, plus de 50% des pièces seront hors tolérances ou => mises au point sur ces chaînes de cotes 67

ANALYSE DU RISQUE EN PROBABILISTE En choisissant P = 3, on a admis un risque de 0, 13% de dépassement de l'exigence maxi. Ce risque correspond en fait à une situation rarissime que les lots fabriqués soient tous décalés dans le même sens. Par contre, lorsque cela arrive, beaucoup de mécanismes assemblés consécutivement risqueront d'être défaillants. Le défaut pourra être détecté assez rapidement. En pratique, de nombreux décalages de la moyenne sont stables et plus ou moins centrés. Il n'y a aucune raison que tous ces décalages migrent simultanément vers la même limite de leur zone de tolérance. Cela signifie que le problème sera sans doute détecté dès le lancement du produit. Le risque est donc que sur 1000 chaînes de cotes traitées en statistique dans un produit, 1, 3 chaîne de cotes imposera le recentrage de la production sur une des pièces de la chaîne.

CALCUL DES TOLERANCES EN PROBABILISTE SECURISE t x Quel est le risque de défaillance du mécanisme avec un pièce à la limite de la tolérance ? psx Résultante moyenne ta/2 sx Probabilité de non respect de l'exigence Résultante maxi de b à f IT/2 IT = 0, 2 ; n = 6 pièces, la répartition uniforme des tolérances pour respecter ces 6 conditions donne une tolérance de 0, 041 contre 0, 047 pour le calcul probabiliste simple.

DOMAINE D'EMPLOI DE LA METHODE PROBABILISTE La méthode peut s'appliquer dès que l'on a établi la chaîne de cotes au pire des cas et qu'il y a au moins 5 influences du même ordre de grandeur. Elle convient pour tous les types de chaînes de cotes, pour tous les types de production, y compris en travail unitaire. Elle est applicable en bureau d'étude, pour gagner plus de 40% sur les tolérances, sans aucun surcoût en production et contrôle.

COTATION STATISTIQUE SEMI QUADRATIQUE m s=t/8 t/4 t Pour pouvoir faire cette hypothèse, il faut refuser tous les lots hors de l'intervalle de tolérance de réglage…. Il est indispensable de faire un suivi de production, afin de recentrer la distribution dans l'intervalle de tolérance et un contrôle de réception des lots. 71

SUIVI DE L'INERTIE DE LA PRODUCTION d s Une pièce isolée est acceptable si elle est dans l'intervalle de tolérance. Un lot est acceptable si l'inertie du lot est inférieure à l'inertie maxi. t La tolérance et les hypothèses de calcul de la chaîne de cotes permettent de calculer l'inertie maxi admissible Un réglage sera acceptable si l'inertie du lot de décalage d et d'écart type s est inférieure à l'inertie maxi : 72

CALCUL DE LA TOLERANCE EN SEMI-QUADRATIQUE Le cumul des écarts type donne la relation suivante : Pour IT = 0, 2 et n = 6 pièces, la tolérance est t = 0, 094 Risque avec une pièce f à la limite de la zone de tolérance soit décalée de 0, 094/2. P=1, 736 => 4% de risque l'exigence ne soit pas respectée… Calcul semi quadratique sécurisé (p=3) : La tolérance est 0, 046 soit une valeur quasi identique au probabiliste…. 73

RISQUE SANS SUIVI DE PRODUCTION (a) (b) Pièce a pièce b pièce c ga = 0, 023 a 0, 094 0, 041 sa = 6 = 0, 007 pièce d pièce e pièce f (c) g. R = 0, 141 Résultante IT = 0, 2 3. s. R = 0, 057 0, 199 Le résultat est inacceptable : C'est pourtant le modèle quadratique souvent employé en entreprise ! 74

Droite d'analyse F 2 H 1 = a 1+b 1+c 1+d 1+e 1 e e 2 c 1 d c c 2 d 2 Il faut mesurer a 1 sur toutes les pièces pour calculer la moyenne et l'écart type en a 1. b 1 b b 2 a 1 CARACTERISTIQUE A MAITRISER a H 2 = a 2+b 2+c 2+d 2+e 2 Il faut mesurer a 2 sur toutes les pièces pour calculer la moyenne et l'écart type en a 2 H 1 F 1 A Avec un effet angulaire, la caractéristique est à mesurer en dehors de la surface… ed (a) (b) ec d R eb c Deux surfaces influentes F 1 Calibre de contrôle fonctionnel F 2 M 1, M 2 b ea a A Droite d'analyse Pièce à contrôler Marbre Droite d'analyse 75

ANALYSE STATISTIQUE DES CARACTERISTIQUES Problème : la moyenne et l'écart type dépend du point…. pt 1 LS = 29. 5 pt 4 LS = 29. 5 29. 4 LI = 29. 3 Ppk=1. 60 LI = 29. 3 LS = 29. 5 29. 4 4 LI = 29. 3 5 8 LS = 29. 5 3 9 sens d 1 ’usina ge 6 m=29. 35 s=0. 056 8 défauts pt 3 29. 4 pt 5 Ppk=0. 30 m=29. 39 s=0. 029 0 défaut 29. 4 m=29. 42 s=0. 016 0 défaut Ppk=1. 04 LI = 29. 3 pt 2 7 Ppk=1. 14 m=29. 43 s=0. 018 0 défauts Ppk=0. 39 LS = 29. 5 2 29. 4 z y x LI = 29. 3 m=29. 36 s=0. 056 6 défauts 76

SPECIFICATION STATISTIQUE DES CARACTERISTIQUES Tolérance => rebut d'une pièce Inertie maxi => refus d'un lot 20 12 STI (t/6, 92) 40 0, 3 P P (t/8) t/4 STQ d 0, 038 s 0, 038 Réglage t ou A b A L'inertie en tous les points de la pièce doit respecter l'inertie maxi. L'inertie de la pièce est la plus grande des inerties mesurées en différents points de la surface.

COMPARAISON Chaines de cotes simples avec 6 pièces et un IT = 0, 2 sur l'exigence. Pire des cas 0, 033 Probabiliste sécurisé 0, 041 Semi-quadratique sécurisé 0, 046 Probabiliste 0, 047 Semi-quadratique ou inertiel +40% sans risque fournisseur 0, 094 Doublement de la tolérance Mais impose un suivi statistique 0, 024 Maxi 16% des pièces au-delà de l'intervalle probabiliste Avec un modèle semi-quadratique ou inertiel, la moyenne doit être dans un intervalle plus petit que l'intervalle au pire des cas. Le seul intérêt, c'est d'admettre quelques pièces hors limites de l'intervalle probabiliste, car on suppose que les autres pièces de la chaîne sont bien centrées. 78

CONCLUSION SUR LE SEMI-QUADRATIQUE OU INERTIEL Difficile et couteux à mettre en œuvre. Production de séries uniquement Chaînes de cotes purement unidirectionnelle (sans effet angulaire, ni covariance de défauts d'une même pièce). Le gain apparent est "en gros" le doublement de l'intervalle de tolérance par rapport à la méthode probabiliste. En réalité la condition de centrage de la production est assez sévère Coûts de suivi de production et de réception des lots important. Þ Très difficile à faire Þ Proposition d'exploiter ce bonus comme règle de dérogation "automatique"

REGLE DE DECISION Moins de 5 pièces : calcul au pire des cas => tolérance au pire des cas. Plus de 5 pièces : calcul probabiliste et semi-quadratique => tolérance en probabiliste => limite de dérogation exceptionnelle avec l'IT semi-quadratique. La marge non exploitée compense la non prise en compte de la méthode probabiliste sécurisée. Attention, la dérogation doit être exceptionnelle et ne s'applique pour une pièce couteuse hors tolérance. La production doit être impérativement recentrée. La dérogation exploite le bonus laissé par l'espoir que toutes les productions sont centrées. Laisser une production décentrée est radicalement contraire à l'hypothèse de calcul. Cette dérogation est raisonnable à condition que l'on garantissent qu'il n'y a pas deux pièces qui exploitent le même bonus…

CONCLUSION Le modèle probabiliste peut être utilisé très largement, même sur des productions unitaires ou en petites séries dès qu'il y a 5 maillons indépendants dans la chaine de cotes. Le gain en tolérance est au moins de 40%, sans risque majeur et sans surcoût en production. t Seul le bureau d'étude est impacté par cette hypothèse de calcul. Le seul "coût" par rapport au pire des cas est une formule de calcul avec une racine dans EXCEL ! Il faut recommander le modèle probabiliste dans les Bureaux d'études. Il faut se méfier des méthodes statistiques semiquadratiques ou inertielles qui imposent un contrôle de réception des lots. En particulier, la caractéristique à mesurer pour calculer la moyenne et l'écart type est souvent difficile à déterminer. s=t/8 m t/4 t 81

FORMULE A RETENIR influence de la pièce b Probabilité désirée (p=3 pour 99, 86%) X moyen + p ia² ib² ic² id² ie² + + Xmaxi 2 3 ia est le cumul au pire des cas de toutes les tolérances de la piècea. Ex : ia = t 1 a + t 2 a. 2 L/E position orientation "La chaîne de cotes qui pose problème, c'est celle que l'on a pas faite" Christophe LAFROGNE, Chef du bureau d'études AMETRA. 82