Investigacin de Operaciones INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE

Investigación de Operaciones

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (I de O) Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que está sometido a muchos más cambios, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, además de la nueva tecnología creciente. y la internacionalización

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (I de O) Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.

NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.

EL GRUPO INTERDISCIPLINARIO Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en los campos apropiados.

¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

Aspectos a rescatar de la definición: • Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. • La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. • La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.

ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

METODOLOGÍA DE LA I de O 1. Definición del problema Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.

2. Formulación de un modelo matemático La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

3. Obtención de una solución a partir del modelo. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

4. Prueba del modelo Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar 5. Validación del modelo Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de moelo se comporten de una manera factible.

6. Establecimiento de controles sobre la solución Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

7. Implantación de la solución El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.

NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO EN LA I de O 1. El éxito del empleo de la I de O es el de un enfoque de solución de problemas y no una colección asociada de métodos cuantitativos. 2. La I de O es relativamente costosa, lo que significa que no debe emplearse en todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en que las ganancias sea mayores que los costos.

NORMAS. . • Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

LIMITACIONES DE LA I de O 1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y tener una solución. 2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales. 4. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

Aplicaciones de la Investigación de operaciones Organización Naturaleza de la aplicación Año de publicación* Capítulos Relacionados Ŧ Ahorros anuales ŧ The Netherlands Rijkswaterstat t Desarrollo de política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operación y costeo. 1985 2 -8, 13, 21 $ 15 millones Monsanto Corp. Optimización de operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo. 1985 2, 12 $ 2 millones Weyerhauser Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción. 1986 2, 10 $ 15 millones Electrobras/C EPAL, Brasil Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía. 1986 10 $ 43 millones

United Airlines Programación de turnos de trabajo en las oficinas de reservaciones y en los aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo. 1986 2 -9, 12, 15, 16, 18 $ 6 millones Citgo Petroleum Corp. Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos. 1987 2 -9, 18 $ 70 millones SANTOS, Ltd. , Australia Optimización de inversiones de capital para producir gas natural durante 25 años. 1987 2 -6, 13, 21 $ 3 millones San Francisco police Department Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computarizado. 1989 2 -4, 12, 18 $ 11 millones Electric Power Research Institute Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes. 1989 17, 21 $ 59 millones Texaco, Inc. Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad. 1989 2, 13 $ 30 millones

IBM Integración de una red nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio. 1990 2, 17, 21 $ 20 millones + $ 250 millones ahorrados en inventario. Yellow Freight System, Inc. Optimización del diseño de una red nacional de transporte y la programación de rutas de envío. 1992 2, 9, 13, 18, 21 $ 17. 3 millones U. S. Military Airlift Command Rapidez en la coordinación de aviones, tripulaciones, carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto Tormenta del Desierto en el Medio Oriente. 1992 10 Victoria American Airlines Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventa y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades. 1992 2, 10, 12, 17, 18 $ 500 millones más de ingresos New Haven Health Dept. Diseño de un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del SIDA. 1993 2 33% menos contagios * Pertenecen a los números de enero-febrero de Interfaces en donde se pueden encontrar los artículos completos. Ŧ Se refiere a los capítulos de este libro que describen las técnicas de 10 empleadas en las aplicaciones. ŧ Cifras dadas en dólares. fin

Introducción a la Programación lineal El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.

MODELO GENERAL DE PL Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z =valor de la medida global de efectividad Xj = nivel de la actividad j (para j = 1, 2, . . . , n) en unidad aumentar unaal resulta que Cj = Zincremento en el nivel de la actividad j bi =cantidad actividades (para i = 1, 2, . . . , m) por consumido i recursoaijdel = cantidad actividad j

Estructura de un modelo de PL 1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza. 2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

Estructura de un Modelo de pl 3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. 4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

Modelo general de PL Optimizar Z = Sujeta a:

Tipos de Modelos Un Modelo es Una Representación Simplificada e Idealizada de la Realidad TIPO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS Físicos • Tangible • Modelos a escala • Fácil de comprender de aeroplanos, • Difícil de duplicar casas, ciudades, . . . y compartir • Difícil de manipular • Baja amplitud de uso 27

TIPO Analógicos CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS • Intangible • Mapa de • Difícil de comprender carreteras • Fácil de duplicar • Velocimetro y compartir • Gráficas • Fácil de manipular • Alta amplitud de uso 28

TIPO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS Simbólicos • Intangible • Difícil de comprender • Fácil de duplicar y compartir • Fácil de manipular • Muy Alta amplitud de uso • Modelo de Simulación • Modelo Algebraico • Modelo de la Economía • Modelo de Programación Lineal 29

Construiremos Modelos Simbólicos (cuantitativos) Modelo Simbólico Utiliza las Matemáticas Para Representar las Relaciones entre los Datos de Interés 30

Modelo de Decisión Es un Modelo Simbolico • Contiene Variables de Decisión • Busca alcanzar un “Objetivo” La solución del Modelo produce Valores Numericos de estas Variables de Decisión Utiliza una “Medida del Desempeño” que indica el “Logro del Objetivo” 31

Ejemplos: 1. Modelo de Asignación de la Fuerza de Ventas • Variables de Decisión: Cuantos Vendedores Asignar a cada Territorio. • Medida del Desempeño: Ingreso por Ventas • Objetivo: Maximizar el Ingreso por Ventas 32

2. Modelo de Programación del Trabajo en un Taller • Variables de Decisión: • Medida del Desempeño: • Objetivo: Cuantas horas Programar determinadas partes en determinadas máquinas y la secuencia Costo de Fabricación ó Tiempo de Fabricación Minimizar el Costo ó el Tiempo de Fabricación 33

3. Modelo de Administración de Efectivo • Variables de Decisión: • Medida del Desempeño: • Objetivo: Cantidad de Fondos mantenidos en c/u de varias categorias (Efectivo, bonos, bolsa de valores etc. . . ) Costo de Oportunidad por mantener Activos Líquidos Minimizar el Costo de Oportunidad 34

Construcción de Modelos Se requiere Arte Imaginación Conocimientos Técnicos Se divide en tres etapas 35

1. Se estudia el Ambiente • Comprensión del Problema 2. Se hace una Formulación Lógica • Análisis conceptual básico • Se hacen conjeturas y simplificaciones 3. Se hace una Formulación Simbólica • Construcción de las relaciones lógicas en el Lenguaje Simbólico de las Matemáticas 36

Definir las Variables de Decisión Función Objetivo x 1 , x 2 , . . xn Maximizar ó min f( x 1 , x 2 , . . xn ) Sujeto a: Restricciones g 1( x 1 , x 2 , . . x n ) b 1 g 2( x 1 , x 2 , . . . . g m( x 1 , x 2 , . . xn ) b 2. . . xn ) = bm x 1 , x 2 , . . xn 0 37

Cuando la función objetivo y todas las Restricciones Son “Lineales” tenemos un “Modelo de Programación Lineal. Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +. . . + cnxn Sujeto a: a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn b 2 . . . am 1 x 1 + am 2 x 2 +. . . + amnxn bm x. J 0 Para J = 1, 2, 3, . . . n 38

ALGORITMOS ESPECIALES

FUNCIÓN Una función es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una máquina de moler café es una función que transforma los granos de café en polvo. La función (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado región factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores máximo y mínimo. Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones: 1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas); 2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y 3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas (£, ³, O =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas). Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a < 1. Este problema tan sencillo no tiene solución. Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimización como un problema de PL. ¿El siguiente problema es un problema de PL?

Max X 2 sujeta a: X 1 + X 2 £ 0 X 12 - 4 £ 0 Aunque la segunda restricción parece "como si" fuera una restricción no lineal, esta restricción puede escribirse también de la siguiente forma: X 1 ³ -2, y X 2 £ 2. En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL. Para la mayoría de los problemas de PL, podemos decir que existen dos tipos importantes de objetos: en primer lugar, los recursos limitados, tales como terrenos, capacidad de planta, o tamaño de la fuerza de ventas; en segundo lugar, las actividades, tales como "producir acero con bajo contenido de carbono", y "producir acero con alto contenido de carbono". Cada actividad consume o probablemente contribuye cantidades adicionales de recursos. Debe haber una función objetivo, es decir, una manera de discriminar una mala de una buena o una mejor decisión. El problema es determinar la mejor combinación de niveles de actividades, que no utilice más recursos de los disponibles. Muchos gerentes se enfrentan a esta tarea todos los días. Afortunadamente, el software de programación lineal ayuda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien formulado. El método Simplex es un algoritmo de solución muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

El Problema del Carpintero Durante un par de sesiones de brain-storming con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5 X 1 + 3 X 2, donde X 1 y X 2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente:

Sujeta a: £ Maximizar 5 X 1 + 3 X 2 2 X 1 + X 2 £ 40 restricción de mano de obra X 1 + 2 X 2 £ 50 restricción de materiales tanto X 1 como X 2 son no negativas. Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X 1, y X 2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X 1 + 3 X 2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2, . . ). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta. Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X 1 como X 2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X 1 y X 2 deben ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero continúa fabricando estos productos. Los artículos parciales simplemente se contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en productos terminados, en la siguiente semana.

Podemos intentar resolver X 1 y X 2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X 1, X 2) que maximice 5 X 1 + 3 X 2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologías preferidas (más eficientes y efectivas), conocidas como las Técnicas de Soluciones de Programación Lineal están disponibles en el mercado en más de 4000 paquetes de software de todo el mundo. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, , es establecer X 1 = 10 mesas y X 2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X 3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es:

Maximizar 5 X 1 + 3 X 2 - 2 X 3 Sujeta a: 2 X 1 + X 2 £ 40 + X 3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas X 1 + 2 X 2 £ 50 restricción de materiales En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X 1 = 50, X 2 = 0, X 3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas. ¿Qué pasaría si sólo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qué pasaría si" (what-if) se estudia en la sección sobre análisis de sensibilidad en este sitio Web.

Un Problema de Mezcla El taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion del sistema electrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulacion. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulacion toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. Joe paga a los mecanicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1. 750 semanales. Joe desea maximizar el beneficio total. Formule el problema. Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un cambio del aceite o del ajuste no es factible. X 1 = Cambios del aceite, ajuste X 2 = Ajuste Maximizar 7 X 1 + 15 X 2 Sujeta a: X 1³ 30 Cuenta De la Flota 20 X 1 + 60 X 2 £ 4800 De trabajo tiempo 8 X 1 + 15 X 2 £ 1750 Primas Materias X 1³ 0, X 2³ 0. El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formatar el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideración el coste de trabajo.

Método Simplex En el año 1947 el doctor George Dantzig presentó el algoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. A partir de este logro se pudieron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad de estudio e investigación con modelos formulados pero no resueltos. El desarrollo paralelo de la computación digital, hizo posible su rápido desarrollo y aplicación empresarial a todo tipo de problemas. El método simplex disminuye sistemáticamente un número infinito de soluciones hasta un número finito de soluciones básicas factibles. El algoritmo simplex utiliza el conocido procedimiento de eliminación en la solución de ecuaciones lineales de Gauss- Jordan y, además aplica los llamados criterios del simplex con los cuales se asegura mantener la búsqueda dentro de un conj unto de soluciones factibles al problema; así valora una función económica Z, exclusivamente en vértices FACTIBLES (posibles). También se consigue con eficiencia, debido a que se dirige la búsqueda haciendo cambios a una solución básica factible adyacente, que se distingue al tener m-1 variables básicas iguales; es decir, dos vértices adyacentes sólo difieren en una variable básica; seleccionando la ruta de mayor pendiente, para mejorar el valor de Z, o por lo menos conservarlo.

Primero se presenta el método simplex, específico para un modelo de PL en forma canónica de máximo, aplicado con la conocida tabla matricial, (también identificada como tableau), lo cual se resume mediante el diagrama funcional de la Figura 2 -1, que muestra los fundamentos del algoritmo contenidos en niveles o bloques numerados para la referencia en la descripción del mismo. Nivel 1. - Forma estándar. -El modelo de PL en forma canónica de máximo que se desea resolver, tiene m ecuaciones obtenidas al convertir las restricciones de desigualdad a igualdad, agregando m variables de holgura, que sumadas a las n variables de decisión, hacen un total de (m + n) incógnitas. Las m restricciones con las (m + n) variables, producen un número infinito de soluciones, entre ellas, un conjunto de factibles y también las no factibles. Nivel 2. - Calcule una primera solución básica factible. - Del total, (m + n) variables, sólo n se igualan con cero ( n = 0 ), lo cual produce (sí existen), un número finito de soluciones básicas con un límite máximo de (m + n)! / m! n!. Estas pueden ser, factibles y no factibles; se consideran sólo las primeras. Nivel 3. - Se toman en cuenta sólo las soluciones básicas factibles, esto es, las que tienen todas las variables básicas >= cero; es decir, con un número de iteraciones menor a (m + n)! / m! n!, se obtienen soluciones básicas factibles: no degeneradas, si todas las incógnitas básicas son positivas y soluciones degeneradas, si al menos una variable básica es igual a cero. Se aplican los criterios del algoritmo en forma iterativa para evaluar la función objetivo en puntos extremos adyacentes que potencialmente puedan mejorar el valor Z.

Nivel 4. - Se generan nuevas soluciones básicas factibles, tales que el valor de la función objetivo Z mejore; se repite el procedimiento (iteraciones) entre los niveles 3 y 4, hasta que ninguna solución básica factible adyacente resulte mejor; es decir, hasta que no haya incremento de valor, si el problema es de máximo, (hasta que no haya decremento, para el problema, no tratado ahora, de mínimo). Figura 2 -1. Diagrama funcional del algoritmo simplex.

Nivel 5. - Se interpretan los resultados de la última (iteración) tabla calculada, porque se identifican las características de una solución óptima. Criterios del Algoritmo Simplex El algoritmo simplex emplea los siguientes criterios para asegurar que la búsqueda de la solución óptima del problema en estudio sea rápida, limitando el cálculo a soluciones básicas (puntos extremos) que sean factibles. Criterio de optimalidad. Se aplica en el simplex para determinar entre las variables no básicas, una que entre (VE) a la base, eligiendo en la columna que tenga el coeficiente más negativo en el renglón "Z" de la tabla, si el problema es maximizar. Por lo contrario, si el problema es minimizar se elige para variable entrante (VE) a la base la que cumpla con el coeficiente más positivo en dicho renglón "Z". Criterio de factibilidad. - Se aplica en el simplex para determinar entre las variables básicas, una que salga de la base (VS), eligiéndola que cumpla en donde Xi es el valor de la variable básica en el renglón i; a ik es un coeficiente en el mismo renglón i ubicado en la columna k correspondiente a la variable entrante elegida. Esto es válido tanto para problemas de máximo como de mínimo. Elemento pivote: En el cruce correspondiente a columna y renglón elegidos con los dos criterios anteriores, se ubica un coeficiente denominado pivote (P) que se utiliza durante las iteraciones o etapas de cálculo del simplex.