INVESTIGACION DE OPERACIONES I PROGRAMACION LINEAL METODO GRAFICO

INVESTIGACION DE OPERACIONES I PROGRAMACION LINEAL METODO GRAFICO MINERAL MINING COMPANY

OBJETIVO: METODO GRAFICO Mineral Mining Company envía una carga de camión de mineral de hierro y cobre de la mina a la planta procesadora. El camión tiene una capacidad de peso de 10 toneladas y una capacidad de volumen de 1000 pies cúbicos. Cada libra de mineral de hierro toma 0. 04 pies cúbicos de espacio y produce una ganancia neta de $ 0. 30 al procesarse. Cada libra de mineral de cobre ocupa 0. 08 pies cúbicos de espacio y proporciona una ganancia neta de $0. 50 Formule un problema de programación lineal para determinar la cantidad de cada mineral por cargar diariamente para maximizar la ganancia. Importante: 1 Ton = 2000 Libras (Aproximadamente)

¿¿¿COMO RESOLVER EL PROBLEMA PLANTEADO? ? ? Paso # 1 FORMULACION DEL MODELO Es un modelo cuyo objetivo es encontrar valores para las variables de decisión, que optimicen una función objetivo, sujeta a restricciones. 1. _ Definición de variables: Son las variables que se tienen bajo control 2. _Función Objetivo: Representa la medición de desempeño ya sea para optimizar, maximizar o minimizar 3. _Restricciones: Conjunto de ecuaciones que representa las limitaciones del problema y definen la región factible

FORMULACIÓN DEL MODELO Para el problema planteado, definimos el modelo Definición de Variables X 1 : Cantidad de mineral de Hierro para transportar en libras X 2 : Cantidad de mineral de Cobre para transportar en libras Función Objetivo Max : Z= 0. 30 X 1 + 0. 50 X 2 Restricciones 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1000 Capacidad de volumen en (pie 3) X 1 + X 2 ≤ 20000 Capacidad de peso en (Libras) X 1 ; X 2 ≥ 0 No negatividad

Paso # 2 GRAFICAR El problema de Mineral Mining Company, se resuelve mediante el método grafico, ya que consta de dos variables de decisión. ¿Cómo Graficar? Se debe tomar en cuenta que se grafican las restricciones, que definen el área conocida como región factible de solución. Nota: Debido a que las restricciones representan líneas rectas, se sugiere dar valores de cero (0), que permitan encontrar los pares ordenados para graficar.

¿¿¿COMO GRAFICAR? ? ? Capacidad de volumen 1. - 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1000 Capacidad de peso 2. - X 1 + X 2 ≤ 20000 X 1 X 2 25000 0 20000 0 0 12500 0 20000 Función Objetivo: Nota: La f. O. debe igualarse a un valor múltiplo de los coeficientes de la misma Z: 0. 30 X 1 + 0. 50 X 2 =15000 X 1 X 2 50000 0 0 30000 Interceptando 1 y 2: 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1000 X 1 + X 2 ≤ 20000 Punto Optimo: X 1 = 15000 X 2 = 5000

SOLUCIÓN GRAFICA Libras de Mineral de Cobre 22 Nota: El punto c es llamado punto 20 optimo y se encuentra ubicado en la 18 intersección de las líneas rectas. La 16 Región Factible esta delimitada por 14 las restricciones. 12 10 8 6 4 C 2 0 2 4 Región Factible 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Libras de Mineral de Hierro

PREGUNTAS: 1. Resuelva el problema gráficamente. Indique la solución óptima y el valor de la función objetivo del contexto de este problema. Solución Optima: X 1 =15000 X 2 =5000 Valor Optimo de la f. o. Z: 0. 30(15000) + 0. 50(5000) = 7000 Como se puede observar en el grafico, la solución optima es el punto C; ya que en el se obtiene el mejor valor de la función objetivo. La solución también se puede conseguir interceptando las restricciones para encontrar los valores de las variables de decisión, y posteriormente se sustituyen en la función objetivo.

CLASIFICACION 2. Indique la clasificación para cada una de las restricciones: N 0 Descripción Ecuación Clasificación 1 Capacidad de Volumen 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1000 Activa 2 Capacidad de Peso 3 No Negatividad X 1 + X 2 X 1 ; X 2 ≤ 20000 ≥ 0 Activa Lógica Como podemos observar las dos restricciones son activas, ya que el punto optimo pasa por su intersección. Esto quiere decir que los recursos capacidad de volumen y peso se agotan completamente.

¿COMO SABEMOS LIMITES ENTRE LOS CUALES OSCILA EL COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO? 3. Para el mineral de hierro, indique los valores entre los cuales oscila el coeficiente de la función objetivo, de tal forma que la solución óptima se mantenga constante. Entonces necesitamos encontrar el intervalo entre el cual el coeficiente de la función objetivo para el hierro (Ganancia en $ para el mineral de hierro) se mueve; haciendo que el punto optimo permanezca constante. Para conseguir estos valores, se debe tomar en cuenta la solución grafica dada anteriormente, ya que se puede observar gráficamente el desplazamiento de la función objetivo entre los puntos llamados B y D.

ANALISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO Para el límite Inferior: Se pivotea la recta de la función objetivo hacia abajo, tendiendo a hacer la pendiente igual a 0 (m=0 α=0º) respecto al eje de las libras del mineral de hierro(X 1) hasta que nos toque con otra restricción e igualamos el punto óptimo con el punto que se encuentra. Zb = Zc ò Zf = Zc Como necesitamos hallar el coeficiente de hierro colocamos un coeficiente C 1 a la función objetivo, para así conocer su valor. f. o. : C 1 X 1 + 0. 5 X 2 ahora sustituyendo las coordenadas en la función objetivo tenemos : 0 x C 1 + 0. 5 x 12. 5 = 15 x C 1 + 5 x 0. 5 6. 25 = 15 C 1 + 2. 5 C 1 = 3. 75 C 1 = 0. 25 15

ANALISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO Para el límite superior Se pivotea la recta de la función objetivo hacia arriba, tendiendo a hacer la pendiente igual a 1 (m=1 α=90º) respecto al eje de las libras del mineral de hierro (X 1) hasta que nos toque con otra restricción e igualamos el punto óptimo con el punto que se encuentra. Ze = Zc ò Zd = Zc Siguiendo el procedimiento anterior tenemos: f. o. : C 1 X 1 + 0. 5 X 2 ahora sustituyendo las coordenadas en la función objetivo tenemos: 0 x C 1 + 0. 5 x 20 = 15 x C 1 + 5 x 0. 5 10 = 15 C 1 + 2. 5 C 1 = 7. 5 C 1 = 0. 5 15

ANALISIS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO 4. Para el mineral de cobre, indique los valores entre los cuales oscila el coeficiente de la función objetivo de forma tal que la solución se mantenga constante. Siguiendo el método usado en la pregunta anterior, conseguimos limites para la ganancia neta del mineral de Cobre. Z = 0. 30 X 1 + 0. 50 X 2 0. 30 X 1 + C 2 X 2 ZC = Z D 0. 30(15000) + C 2 (5000) = 0. 30(20000) + C 2(0) C 2 = 0. 3 ZC = Z B 0. 30(15000) + C 2(5000) = 0. 30(0) + C 2(12500) C 2= 0. 6

5. Indique la solución optima y el incremento del valor en la función objetivo si el camión tiene una capacidad adicional de 2 toneladas. Para resolver esta pregunta, lo que se tiene que hacer es alterar la restricción de peso, de la siguiente manera: X 1 + X 2 ≤ 24000 Debido a que el camión tiene una capacidad adicional de 2 toneladas tanto para el hierro como para el cobre, se infiere un aumento de 4000 Kilos en la restricción. Al interceptar las restricciones activas tenemos la nueva solución óptima: X 1 + X 2 ≤ 24000 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1000

X 1 = 23000 X 2 = 1000 Z = 7400 Debido a que el valor pedido es ∆Z este se haya de la siguiente manera: ∆Z = 7400 – 7000 ∆Z = 400

6. Indique la solución optima y el incremento del valor en la función objetivo si se tiene una capacidad de volumen de 1300 pie 3. Para resolver esta pregunta, lo que se tiene que hacer es alterar la restricción de volumen, de la siguiente manera: 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1300 Al interceptar las restricciones activas tenemos la nueva solución óptima: X 1 + X 2 ≤ 20000 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1300 X 1 = 7500 X 2 = 12500 Z = 8500

Debido a que el valor pedido es ∆Z este se haya de la siguiente manera: ∆Z = 8500 – 7000 ∆Z = 1500

7. Para la restricción de capacidad de volumen indique el precio sombra. Calculando el precio sombra para la capacidad de volumen: 1 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 999 X 1 + X 2 ≤ 20000 X 1 = 15025 X 2 = 4975 Z = 6995 1 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1000 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1001 X 1 + X 2 ≤ 20000 X 1 = 14975 X 2 = 5025 Z = 7005 Lo que se está dispuesto a pagar por 1 pie 3 extra de volumen en el camión es de 5$.

8. La gerencia esta considerando uno de los siguientes dos camiones para reemplazar el existente. Tipo de Camión Capacidad de Peso (lb. ) Capacidad de Volumen (ft 3) Costo Adicional ($/día) Tr 22 /12 22000 1200 100 Tr 20/13 20000 1300 150 ¿Debería la compañía reemplazar el viejo camión?

Para saber si es rentable a la compañía reemplazar el cambio por uno de estos dos tipos debemos calcular el beneficio neto que cada uno de los camiones nos va a generar para así tomar una decisión. Para el camión Tr 22 /12 la capacidad lb. de peso aumenta en 2000 libras respecto al camión original y nos genera un costo diario de 100 $. Para el camión Tr 20 /13 la capacidad de volumen aumenta en 300 ft 3 respecto al camión original y nos genera un costo diario de 150 $. Entonces nos quedan las nuevas restricciones así

Tr 22 /12 X 1 + X 2 ≤ 22000 (Peso) 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1200 (Volumen) Tr 20 /13 X 1 + X 2 ≤ 20000 (Peso) 0. 04 X 1 + 0. 08 X 2 ≤ 1300 (Volumen) Resolvemos el sistema de ecuaciones para calcular los nuevos valores de X 1, X 2 y Z Se obtiene: X 1 = 14000 X 2 = 8000 Z = 8200 X 1 = 7500 X 2 = 12500 Z = 8500

Solución n El valor original de nuestra utilidad es de 7000 $ n Para el camión de tipo Tr 22 /12 nos genera una utilidad neta de $1200 (∆Z = 8200 - 7000) y a su vez un costo adicional de $100, es decir, que se obtiene una utilidad de $1100 por reemplazar el actual camión por el Tr 22/12 n Para el camión de tipo Tr 20/13 nos genera una utilidad neta de $1500 (∆Z = 8500 - 7000) y a su vez un costo adicional de $150, es decir, que se obtiene una utilidad de $1350 por reemplazar el actual camión por el Tr 20/13 n Entonces la compañía debería reemplazar el viejo camión por el Tr 20/13 debido a que este camión genera una mayor utilidad que el camión original y el Tr 22/12