Fakultt Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Physik Die Theorie

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Physik Die Theorie hinter dem Standardmodell: Symmetrien & Lagrangedichten Michael Kobel Technische Universität Dresden Netzwerk Teilchenwelt Summer School CERN 1. 07. 2017

Ziel: Herkunft und Bedeutung dieser Formel http: //www. quantumdiaries. org/2011/06/26/cern-mug-summarizes-standard-model-but-is-off-by-a-factor-of-2/ Lesenswert dazu: http: //iopscience. iop. org/article/10. 1088/1361 -6552/aa 5 b 25 CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 2

1. THEORIEN FRÜHER UND HEUTE 2. Lagrangefunktion in klassischer Mechanik 3. Lagrangedichte der Teilchenphysik 4. Ladungen 5. Symmetrien 6. Vorhersagen und Bedeutung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 3 of 45

1. Theorien früher und heute “Standardmodell“ der griechischen Philosophie vor 2500 Jahren v Elemente und Kräfte: 500 -430 v. Chr. Empedokles • Vier Elemente: Feuer, Wasser, Erde, Luft • Zwei Urkräfte: Liebe , Haß Mischung , Trennung v Symmetrien: 427 -347 v. Chr. Platon • Räumliche Symmetrien: Schönheit der Körper v Kleinste Bausteine: 460 -371 v. Chr. Demokrit • Atome: verschiedene Formen und Gewichte • Leere: Verbindung und Bewegung im Nichts CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 4

Vergleich mit heute v Urkräfte (heute: enthalten in Wechselwirkungen (WW)) v Kleinste Bausteine (heute: unteilbare Elementarteilchen) v Räumliche Symmetrien (heute: Ladungssymmetrien) v Neu: verbindendes Konzept: Ladungen für jede WW • Ladungen sind *das* Grundkonzept des Standardmodells (SM) ! Ladungen -- besitzen -> <- ordnen -- Teilchen CERN, 1. 07. 2017 -- generieren -> <- erhalten -- -- spüren -> <- beeinflussen -- Michael Kobel Wechselwirkunge n 5

Wechselwirkung – Boten - Ladungen v Unterschiedliche mathematische Struktur der 3 Ladungen: o Starke`Farb´ladung, schwache `Isospin´ladung, el. Ladung Wechselwirkung Starke Botenteilchen Gluonen g Schwache Elektromagnetische Schwache „Isospin“–Ladungszahl I Photonen g Z=0 Gravitation TU Dresden, Wi. Se 15/16 Ladung der Materieteilchen Gravitonen ? Wahrscheinlich! Michael Kobel Elektrische Ladungszahl Z Z = -1, + ⅔, -⅓, … Masse ? ? ? Nein!

Warum der Name „schwache Isospin-Ladung“? v Zugrundeliegende Symmetrie genau dieselbe wie bei Spin v Vektor mit 3 Komponenten • Spin S = (Sx, Sy, Sz) im Ortsraum • Schwacher Isospin IW = (I 1 W, I 2 W, I 3 W) im abstrakten schwachen Isospinraum v Messbar nur: http: //de. wikipedia. org/wiki/Stern-Gerlach-Versuch • Gesamter Betrag • eine Komponente (meist gewählt: die 3. ) • sie beiden anderen sind „unscharf“ • im Folgenden daher schwache Ladungszahl I: = I 3 W v Darstellung in Multipletts CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 7

1. Theorien früher und heute 2. LAGRANGEFUNKTION IN KLASSISCHER MECHANIK 3. Lagrangedichte der Teilchenphysik 4. Symmetrien 5. Vorhersagen und Bedeutung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 8 of 45

2. Lagrange-Funktion der klassischen Mechanik v Hintergrund der heutigen „Weltformel“ der Teilchenphysik ! CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 9

Die „Weltformel“ der klassischen Mechanik L=T-V v L: Langrange Funktion v v v (Joseph L. Lagrange, 1736 -1814, Mathematiker) T: Bewegungsenergie V: Potentielle Energie (z. B. Lageenergie) Vorgehen: • Finde T und V für das gegebene Problem • Anwenden von Mathematik • Erhalte Bewegungsgleichungen und Bewegungen CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 10

Prinzip der minimalen Wirkung v Grundprinzip von Maureau de Maupertuis (1750) (Prinzip der minimalen Wirkung) https: //de. wikipedia. org/wiki/Pierre-Louis_Moreau_de_Maupertuis https: //de. wikipedia. org/wiki/Hamiltonsches_Prinzip Vereinfacht gesagt: Jede Bewegung erfolgt so, dass der Mittelwert von L=T-V so klein (negativ) wie möglich ist v Handwerkszeug: Mathematik von 1744 (Euler, Lagrange: Variationsrechnung) CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 11

Qualitatives Beispiel: Freier Fall T = 0, V groß T-V sehr negativ GUT ! T groß, V =0 T-V sehr positiv SCHLECHT! Mittelwert: minimales T-V oben lange (langsam) unten kurz (schnell) CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 12

Was leistet der Lagrange-Formalismus in der klassischen Mechanik? v Wenn kin. Energie T und potenzielle Energie V bekannt sind: • Bilde L=T-V • • • Definiere die „Wirkung“ Suche x(t) und so dass Wirkung S minimal (= möglichst negativ) wird (Bemerkung: S minimal, wenn zeitlicher Mittelwert von L minimal) Methode: Variationsrechnung (variiere x(t) solange, bis es passt) erhalte so Bahn und die Bahngeschwindigkeit Ergibt immer die Euler-Lagrange Gleichungen der klass. Mechanik (Uni-Studium Physik, 2. Semester) Man verwendet am besten gleich diese Bewegungsgleichung für x(t) Beispiel freier Fall CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 13

Beispiel: freier Fall V = mgx T = ½mv² Jede Bewegung erfolgt so, dass das Zeitintegral über L=T-V („Wirkung“) so klein wie möglich ist L=T-V = ½ mv² - mgx nutze: Euler-Lagrange Gleichung erhalte: Newtonsche Bewegungsgleichung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 14

1. Theorien früher und heute 2. Lagrangefunktion in klassischer Mechanik 3. LAGRANGEDICHTEN 4. Symmetrien 5. Vorhersagen und Bedeutung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 15 of 45

3. Lagrangedichten v Quantenmechanik verlangt Ersetzungen: • Keine Bahnen mehr: x(t) Wellenfunktionen y(t, x, y, z) • Zeitliche und örtliche Variationen: • Ersetze Zeitableitung Raum+Zeitableitung ¶µ y(t, x, y, z) v Lagrangefunktion L (Energie) Lagrangedichte L (Energiedichte) • Statt • Lagrangedichte wird weiterhin gebildet als L = T – V • • Wirkung Aber: T: kin. Energiedichte, V: potenzielle Energiedichte sind nur für freie Teilchen (ohne WW) aus Quantenfeldtheorie bekannt *Die* theoretische Herausforderung: finde allgemein generelles L=T-v CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 16

freie Baustein-Teilchen ohne Wechselwirkung _ _ T = iygm¶my V = myy Euler-Lagrange Variationsrechnung: Jede Bewegung erfolgt so, dass das Raum-Zeitintegral über L= T - V so klein wie möglich ist (Uni-Studium Physik, 6. Semester) https: //de. wikipedia. org/wiki/Dirac-Matrizen Dirac Gleichung (igm¶m - m)y = 0 (entspricht dem Newtonschen F=ma) CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 17

Wie stellt man allgemein die Lagrangedichte auf? v „Weltformel“ auf CERN T-shirt und Mouse Pad CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 18

1. Theorien von früher und heute 2. Lagrangefunktion in klassischer Mechanik 3. Lagrangedichte der Teilchenphysik 4. SYMMETRIEN 5. Vorhersagen und Bedeutung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 19 of 45

5. Mathematische Symmetrien (Hermann Weyl) Werkzeugkiste: Transformationsgruppen Dreieck Drehung R. P. Feynman: Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn man mit ihm etwas anstellen kann, ohne es am Ende, wenn man fertig ist mit der Prozedur, geändert zu haben. CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 20

Das Konzept des Standardmodells Lokale Eich-Symmetrien generieren Erzeugende der Symmetrien SU(3)c x SU(2)I x U(1)Y bestimmen Ladungen erhalten koppeln an erfüllt Lagrange Dichte: = Dichte von Ekin– Epot benötigt Wechselwirkungen Botenteilchen: g 1 -8 , W+, W-, Z 0, g L=T-V Euler-Lagrange Gleichungen Bewegungsgleichungen Dirac mit Wechselwirkung: (igm. Dm- m) y = 0 Maxwell (Licht, Ströme, Felder): ¶m. Fmn = Jn CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 21

Lokale Umeichungen auf einer Waage Dort 60 70 50 50 Hier 60 70 Messung: 60 70 50 v CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel Lokale Eichsymmetrie erfordert • Absorption oder Emission von “Eich-Teilchen” 22

Umeichung im Elektromagnetismus U(1)Z e Nullpunktseichung der Phase • QED 1927: Dirac, Jordan, Heisenberg, Pauli… Eichtheorie 1941: Pauli, … CERN, 1. 07. 2017 Ergebnis: Fundamentalprozess („Vertex“) Aufnahme oder Abgabe eines Eichbosons (Photon g) Michael Kobel 23

Analogien v Ziel der Person (Teilchen): • Keine Änderung des angezeigten Gewichts 60 50 unter lokalen Änderung der Eichung (Phasenwerts) 70 v Sensitivität auf Umeichungen 60 40 • Bestimmt durch Meßskala (Ladungszahl Z) v Wahrscheinlichkeit der Nahrungsänderung (Wechselwirkung) • Häufigkeit der Gewichtskontrolle (Kopplung e =: geÖ(ħce 0) ) v Zunahme oder Abnahme von Gewicht (Phase) • in Form von Nahrung (Eichbosonen: Photonen) v Menge der Zu- und Abnahme (QM-Amplitude) • Produkt von Sensitivität*Häufigkeit (Produkt Z*e) CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 24 80

4. Die schwachen Eichsymmetrien (historischer Überblick) • • Sheldon Glashow (*1932) 1950: Bronx High School of Science (selbe Klasse wie Steven Weinberg) 1959: Ph. D. in Harvard bei Julian Schwinger (Nobelpreis für QED 1965 mit Feynman und Tomonaga) 1961: Vorschlag SU(2)I Ä U(1)Y Partial Symmetry of Weak Interactions, Nuclear Physics, Bd. 22, 1961, S. 579. Abstract Einführung des Schwachen Isospins Iw analog zum vorher bekannten Starken Isospin IS Einführung der Elektroschwachen Mischung und des schwachen Mischungswinkels • Ad-Hoc um Photon-Kopplungen zu erhalten! (keine Erklärung warum die Natur ausgerechnet genau diesen Mischungswinkel gewählt hat) • Vorhersage von Z 0 („neutrale schwache Ströme“) Probleme mit Teilchenmassen

Die schwache Eichsymmetrie SU(2)I v 1961 S. Glashow: Eichung der schwachen Ladung I 3 I 2 I 1 Neutrino: I 3 = ½ Elektron: I 3 = -½ Up-Quark: I 3 = ½ Down-Quark: I 3 = -½ Idee: (n, e) und (u, d) unterscheiden sich jeweils nur durch die „Richtung“ des schwachen Ladungsvektors Iw v lokale Umeichung I 3 I 2 I 1 CERN, 1. 07. 2017 W+ n e I 2 I 1 Michael Kobel I 3 26

Historischer Ablauf Eichtheorien Schwache und Starke Wechselwirkung v v v 1961: GLASHOW (*1932) 1964: ENGLERT, BROUT, HIGGS KIBBLE, GURALNIK, HAGEN (Bilder) 1964: GELL-MANN (*1929), ZWEIG(*1937) 1965: HAN, NAMBU (*1921), GREENBERG 1967: SALAM (1926 -96), WEINBERG (*1933) Weinberg: “A model of Leptons” 1973: GROSS, POLITZER, WILCZEK, FRITSCH, GELL-MANN, LEUTWYLER, WEINBERG Lokale Elektroschwache Eichsymmetrie Spontane Symmetriebrechung zur Massenerzeugung (“Higgs Boson”) Quarks Starke “Farb-” Ladung Anwendung auf Baustein-Teilchen (Nobelpreis 1979 mit Glashow, Foto) starker Kopplungsparameter (Nobelpreis 2004) und Lokale Eichsymmetrie der starken WW 2010 1979 http: //prl. aps. org/pdf/PRL/v 19/i 21/p 1264_1 09. 06. 2021 Michael Kobel Masse für Bausteine 27

Die starke Eichsymmetrie SU(3)c v 1973: Gross, Politzer, Wilczek, Nambu, Fritzsch… starke WW durch Umeichung der Farbladung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 28

Warum ist der Begriff Ladung so wichtig? v Ladungen ordnen Teilchen in „Multipletts“ • Warum genau diese Anordnung im „Periodensystem der Teilchen“? immernoch unverstanden! v Ladungen erlauben/verbieten Prozesse (Ladungserhaltung!) v Ladungen generieren Symmetrien CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 29

v Jede Eichsymmetrie wird durch n Ladungsoperatoren ”generiert” • Emag Symmetrie mit n=1 durch (1 x 1 Matrix) • • Schwache Isospin Eichsymmetrie mit n=3 durch : = ½ si , i=1, 2, 3 si Pauli-Matrizen (2 x 2) Starke Eichsymmetrie mit n=8 durch : = ½ la , a=1, …, 8 la Gell-Mann-Matrizen (3 x 3) v Die Ladungen sind Eigenwerte der “Generatoren” • z. B. I 3(e-) = -½, da • Nicht-diagonal Operatoren haben keinen Eigenwert -> nicht messbar § Schwache Ladung: 1 Eigenwert § Starke Ladung: 2 Eigenwerte (2 -dim Vektor) CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 30

Erforderliche Wechselwirkungsterme in Lagrangedichte v Freie Lagrangedichte nicht invariant unter *lokalen* Eichtransf. v Invarianz nur möglich, wenn “Eichbosonen” Vµ vorhanden Vµ = Gluonen Gaµ, a=1, …, 8, Weakonen Wiµ, i=1, 2, 3, Photon Aµ v Zahl der Eichbosonen = Zahl der Generatoren T der Symmetrie • Emag: • Schwach: i=1, 2, 3 • Stark: a=1, …, 8 v Eichbosonen haben *Wechselwirkung* mit Materiemultipletts • einfaches “Rezept” zur Ersetzung der Ableitung ¶m durch Dm = ¶m + i g STVµ z. B. Schwache Wechselwirkung Dm = ¶m + i g. W SIi. Wiµ

Was sagen die Symmetrien vorher? v Aus Axiomen des Standardmodells • 3 Symmetrien mit je 1 freien Kopplungsparameter a • Spontane Brechung 1 Symmetrie durch das BEHiggs-Feld (mind. 21 weitere freie Parameter) v ergibt sich theoretische Vorhersagekraft für • Anzahl und *alle* Eigenschaften der Botenteilchen • • (daher konnte Glashow das Z 0 voraussagen) Erlaubte und verbotene Prozesse mit Wahrscheinlichkeiten und Winkelverteilungen Energie (Abstands-)abhängigkeit der Kopplungsparameter a v wobei als rein experimenteller Input nicht vorhersagbar sind • freie Parameter • Objekte (Materieteilchen-Multipletts) auf die Symmetrien wirken CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 32

Farbladungsoperatoren Die 8 Gell-Mann Matrizen und Leiteroperatoren (Berger, Kap. 4)

Der Farbraum der QCD

Nur diese Formel erfüllt alle Symmetrien ! Forschung in Dresden Wechselwirkungen zwischen Boten und Bausteinen Botenteilchen unter sich: keine freien Quarks, emag Wellen, … http: //www. quantumdiaries. org/2011/06/26/cern-mug-summarizes-standard-model-but-is-off-by-a-factor-of-2/ Higgs mit Bausteinen und Boten Massen der Bausteine und Botenteilchen Erzeugung und Zerfälle des Higgs Teilchens CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel Higgsteilchen unter sich noch nicht beobachtet 35

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v Feldstärketensor, siehe https: //de. wikipedia. org/wiki/Elektromagnetischer_Feldst%C 3%A 4 rketensor CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 38

1. Theorien von früher und heute 2. Lagrangefunktion in klassischer Mechanik 3. Lagrangedichte der Teilchenphysik 4. Ladungen 5. Symmetrien 6. VORHERSAGEN UND BEDEUTUNG CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 39 of 45

Zutaten für unser Universum v 3 Typen von Ladungen generieren 3 Symmetrie Gruppen: • SU(3)C Ä SU(2)I Ä U(1)Y • Diese „lokalen Eichsymmetrien“ verlangen (!) Wechselwirkungen, (sonst können die lokalen Symmetrien nicht erfüllt werden) v Je 1 freien Kopplungsparameter (Stärke) für jede Wechselwirkung (genaue Werte abhängig vom jeweiligen Energieübertrag) • vor Kondensation des BEH-Feldes • nach Kondensation des BEH Feldes v Brout-Englert-Higgs (BEH) Mechanismus bei 10 -12 s nach Urknall • Kondensation eines allgegenwärtigen BEH-Feldes • Spontane Brechung der schwachen Eichsymmetrien • Elektroschwache Mischung von (B 0, W 0) zu (Z 0, g) • Generierung der Massen von W+, W- und Z 0 • Mischung der Fermionen und Generierung ihrer Massen v Gravitation CERN, 18. 06. 2015 Michael Kobel 40

6. Vorhersagen und Bedeutung v Aufstellung der Terme der Lagrangedichte: • Natur verlangt ihre Invarianz unter 3 „lokalen Umeichungen“ • -> 3 lokale Eichsymmetrien Jede Symmetrie lässt sich nur mit Hilfe von Wechselwirkungstermen in der Lagrangedichte erfüllen -> lok. Eichsymmetrie ist „Ursache“ der Wechselwirkungen ! v Bedeutung der Terme in der Lagrangedichte: • Jedem Term entspricht entweder • • kinetische Energie freier Teilchen Wechselwirkung (Vertex) zwischen Teilchen Terme (=Vertices), die Eichsymmetrie nicht erfüllen, sind verboten und damit auch Prozesse, diese erfordern. Bewegungsgleichungen (Dirac, Klein-Gordon, Maxwell, …) folgen aus Prinzip minimaler Wirkung CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 41

Why are all the interactions so similar in their structure? There a number of possibilities: v The first is the limited imagination of physicists: When we see a new phenomenon, we try to fit it in the frame-work we already have – until we have made enough experiments we don’t know that it doesn’t work… It’s because physicists have only been able to think of the same damn thing, over and over again. v Another possibility is that it is the same damn thing over and over again – that Nature has only one way of doing things, and She repeats her story from time to time. v A third possibility is that things look similar because they are aspects of the same thing – some larger picture underneath… Richard. P. Feynman, “The strange theory of light and matter” Princeton University Press, 1985 “Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie” Piper Taschenbuch, 9, 95€ Michael Kobel CERN, 1. 07. 2017 42

ANHANG CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 43 of 45

Ein mögliches „larger picture underneath“ v Kopplungsparameter a nähern sich bei hoher Energie an v alle Kräfte haben ähnliche Stärke Zeichen für einen gemeinsamen Ursprung aller Wechselwirkungen? http: //sites. uci. edu/energyobserver/2 012/12/02/update-on-some-higgsblog-entries/ Typische Energie v Klappt sogar noch besser mit Supersymmetrie! CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 44

Übersicht Wechselwirkungen und Eichbosonen v Eichsymmetrien mit masselosen Eichbosonen (ungebrochen) Eichsymmetrie QED U(1)Z QCD SU(3)c abelsch nicht- abelsch Dµ ¶ m + ie Kopplung gem=0. 3 (= e nat. Einh. ) gs = 1. 2 Generatoren 1: 8 : Ca (3 x 3) Eichfelder Aµ Gaµ, a = 1, …, 8 Eichbosonen Photon g Gluonen g 1… 8 Wirkt auf Teilchenmultiplett (e), (m), (t), Ladungen Aµ (1 x 1) ¶m + igs. Ca. Gaµ (u), (c), (t), (d), (s), (b) Elektrische Ladung -1, -1, +⅔, -⅓, … Starke Farbladung

v v Schwache Eichsymmetrien: ungebrochen nur bis ~10 -10 s nach dem Urknall Eichsymmetrie v U(1)Y (“QFD”) SU(2)I abelsch nicht- abelsch ¶m + ig. WIi. Wiµ Dµ ¶ m + ig Y Kopplung g. Y = 0. 36 g. W = 0. 63 Generatoren 1: 3: Eichfelder Bµ Wiµ , i = 1, …, 3 Eichbosonen B-Boson Weakonen W+, W-, W 30 Wirkt auf Teilchenmultiplett (e), (m), (t), (ne)(nm)(nt), (u), (c), (t), (d), (s), (b) Ladungen Schwache Hyperladung YW = Q - I 3 Bµ (1 x 1) Ii (2 x 2) Schwache Isospin-Ladung I 3 = nach Symmetriebrechung im Brout-Englert-Higgs Feld B 0 und W 0 vermischt zu Z 0 und g in “elektroschwacher Wechselwirkung

Suche nach Neuer Physik v Theoretiker schlagen neue(n) Term(e) in L vor • (Meist) motiviert von neuen Ideen / Erklärungen v Experimentalphysiker simulieren Effekt in Detektor+ Daten • suchen danach, bzw schließen diesen Term aus v Beispiel Diplomarbeit in Dresden 2013 Constanze Hasterok, Optimization of the Search for Contributions of Anomalous Quartic Gauge Couplings to Vector Boson Scattering at the Large Hadron Collider https: //cds. cern. ch/record/1647794/files/CERN-THESIS-2013 -273. pdf • Neuer „a. QGC“ Beitrag zum WWWW-vertex CERN, 1. 07. 2017 Michael Kobel 47