Elments de correction du galop Correction du Galop

Eléments de correction du galop

Correction du Galop Ø Bons résultats dans l’ensemble Ø Problèmes de forme (attention au galop suivant!!) Ø Construction des graphes Ø Propreté et lisibilité Ø Problèmes de gestion du temps Ø 15 min pour le QCM Ø 3 ✕ 30 min pour les parties substantielles Ø 15 min pour compléter les réponses ou relire.

La Théorie des jeux

La Théorie des jeux Analyse des comportements stratégiques des agents Ø Utilisée en économie, relations internationales, jeux d‘argent ou de société, etc. Ø Dilemme du prisonnier Ø Equilibre de Nash Ø Efficacité de l’équilibre Ø Stratégies pures / mixtes Ø Jeux répétés

Le Dilemme du prisonnier Le dilemme du prisonnier définit une solution de jeux dans lesquels l’équilibre est sous-optimal, c’est-à-dire qu’il existe une solution qui améliore le bien-être (ici le gain) mais qui ne peut constituer l’équilibre du jeu issu de la rationalité des agents compte tenu des hypothèses de comportement et d’informations. Le dilemme du prisonnier démontre la difficulté à établir des coopérations entre les agents alors que celles-ci auraient accru le bénéfice des agents.

Illustration: Duopole avec bien homogène Rappel de la dernière séance : ¢ Deux entreprises en concurrence sur un marché peuvent : l l ¢ ¢ se faire concurrence (conduisant à la solution de Cournot) s’entendre afin de se partager une rente de monopole (cartel). Profit de l’entente > profit de duopole. Si l’entente n’est pas illégale, alors cette solution est optimale du point de vue des entreprises. Mais l’entreprise peut essayer de tricher et produire plus.

Illustration: Duopole avec bien homogène Ø 2 joueurs : Ø 2 entreprises (A et B) produisant le même bien Ø 2 stratégies : Ø Produire la quantité de duopole Ø Produire la quantité d’entente inférieure Etant donnés 2 joueurs et 2 stratégies, le marché peut se trouver dans 4 cas de figure différents.

Illustration: Duopole avec bien homogène Hypothèses sur les différents profits dans chaque cas : Ø Dans un cas d’entente : Ø Chaque entreprise gagne un profit d’entente : Πe = 10 Ø Dans un cas de concurrence de duopole : Ø Chaque entreprise gagne un profit de duopole, moins élevé: Πd = 2 Ø En cas de concurrence de duopole : Ø L’entreprise produisant la quantité de duopole capture des parts de marchés et gagne un profit de tricheur élevé, Πt = 15. L’autre entreprise est pénalisée et gagne un profit minimum, Πm = 0.

Le Dilemme du prisonnier Matrice des gains Ent. B Quel est la meilleure stratégie pour chaque entreprise? Qd Qe Qd 2 2 0 15 Pour ent. A: Qd si ent B choisit Qd Qd si ent B choisit Qe Qe 15 0 10 10 Pour ent. B: Qd si ent A choisit Qd Qd si ent A choisit Qe Ent. A Remarque: le jeu est symétrique, la stratégie dominante est de produire la quantité de duopole.

L’Equilibre de Nash Définition d’un équilibre de Nash Une situation ou aucun joueur ne peut améliorer sa situation en changeant unilatéralement de stratégie Propriétés centrales: Ø L’équilibre de Nash est généralement stable Ø Chaque jeu défini à au moins un équilibre de Nash: Ø soit en stratégies pures : les joueurs ne jouent qu'une seule stratégie à l’équilibre Ø soit en stratégies mixtes : les joueurs jouent plusieurs stratégies avec une probabilité fixe

Efficacité de l’équilibre Retour à l’exemple de Duopole: Matrice des gains Qd Ent. A Qe Ent. B Qd Qe 2 2 0 15 15 0 10 10 La stratégie dominante est de produire « Qd » Mais l’équilibre «Qd-Qd» n’est pas collectivement optimal au sens de Pareto Si le nombre d’agents est restreint, la rationalité individuelle n’amène pas forcement au bienêtre collectif

Stratégies pures, stratégies mixtes Autre aspect de l’équilibre de Nash en stratégies pures: Il n’existe pas pour tous les jeux… Exemple du jeu des tirs au but: 2 joueurs: Gardien et buteur 2 stratégies : tirer / plonger à gauche ou a droite Hypothèse de « talent » des joueurs: le buteur ne tire jamais à coté, le gardien intercepte toujours si il a choisi le bon coté. Ceci permet de simplifier!! Quelle est la matrice des gains?

Stratégies pures, stratégies mixtes Matrice des paiements G Buteur D Gardien G D 1 0 0 1 1 0 Pour le buteur: D si le gardien choisit G G si le gardien choisit D Pour le gardien: G si le buteur choisit G D si le buteur choisit D Quel que soit le résultat, l’un des joueurs peut améliorer sa situation en changeant de stratégie. Pas d’équilibre de Nash en stratégies pures !

Stratégies pures, stratégies mixtes Il existe cependant un équilibre en stratégies mixtes Matrice des paiements Gardien G D G 1 0 0 1 D 0 1 1 0 Buteur Stratégie pour les deux joueurs: Jouer G et D 50% du temps (1 fois sur deux) Ainsi: Ø Chaque cas à une probabilité de 0. 25 Ø Le buteur marque un but sur deux, l’autre est arrêté par le gardien

Stratégies pures, stratégies mixtes Vérifions que cet équilibre est bien un équilibre de Nash: Le gardien joue G et D 50% du temps. Le buteur peut il augmenter son taux de succès en déviant de la règle 50 -50? Si le buteur décide de jouer 60% à gauche et 40% à droite, son taux de succès est: (0. 6 ✕ 0. 5) + (0. 4 ✕ 0. 5) = 0. 5 (0. 3) + (0. 2) = 0. 5 En choisissant 60 -40, le buteur marque plus à gauche mais moins à droite. Son taux de succès est le même, il ne peut donc pas améliorer sa situation. On a bien un équilibre de Nash

Les jeux répétés Enfin, la nature et la stabilité de l’équilibre dépendent du fait que le jeu est répété ou non. Ø L’existence d’équilibre en stratégies mixtes, par exemple, repose sur une répétition du jeu. Ø Même dans les cas de stratégie pure (par exemple le dilemme du prisonnier), la stabilité est affectée par les répétitions du jeu.

Les jeux répétés Cas du duopole: l’équilibre socialement préférable (entente) peut être stable dans le temps si le jeu est répété indéfiniment : Ø On peut sanctionner le « tricheur » lors du jeu suivant. Ø On peut aussi mettre en place une menace crédible pour dissuader le tricheur.