Deret Taylor dan Analisis Galat Indriati ST MKom

Deret Taylor dan Analisis Galat Indriati. , ST. , MKom Powerpoint Templates Page 1

Deret Taylor • Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’’, f’’’, … menerus di dalam selang [a, b]. Misalkan : xoє[a, b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor : Powerpoint Templates Page 2

• Jika (x-xo)=h, maka : • Contoh : Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x) f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’’(x) = - sin(x) dst. Powerpoint Templates Page 3

maka : Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku. • Contoh-1 : f(x)= sin(x) dimana xo = 0 Powerpoint Templates Page 4

• Penyelesaian : • Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0 Penyelesaian : Powerpoint Templates Page 5

• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan: Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis : Powerpoint Templates Page 6

dimana : Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-n Penyelesaian : Powerpoint Templates Page 7

Analisis Galat • Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : a. Bagaimana menghitung galat b. Bagaimana galat timbul Powerpoint Templates Page 8

• Misalkan : • Contoh : Powerpoint Templates Page 9

• Contoh : Diketahui : a= 10/3; â = 3, 333 Hitung : (a). Galat ! (b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif ! (d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian : (a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3, 333 = 10. 000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0, 000333 Powerpoint Templates Page 10

(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0, 000333 (c). (d). Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan cara : dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya Powerpoint Templates Page 11

• Proses lelaran dihentikan bila : |єRA| < єS єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya • Contoh : Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0, 1, 2, 3 Xo= 0, 5; єs= 0, 00001 Hitung : єRA ! Powerpoint Templates Page 12

• Penyelesaian : Xo = 0, 5 X 1 = 0, 4791667; X 2 = 0, 4816638; X 3 = 0, 4813757; X 4 = 0, 4814091; X 5 = 0, 4814052; Powerpoint Templates Page 13

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK • Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (truncation error) 2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu : 1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman Powerpoint Templates Page 14

(1). Galat Pemotongan (truncation error). Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pd metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode. Powerpoint Templates Page 15

• Misalkan: turunan pertama f(x 1), dihampiri dengan formula : dimana : h = lebar absis xi+1 • Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 ! Penyelesaian : f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’(x) = - sin(x) f’’(x) = - cos(x) Powerpoint Templates Page 16

• Maka : Nilai hampiran Galat pemotongan • Galat pemotongan : Powerpoint Templates Page 17

• Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu : Powerpoint Templates Page 18

• Contoh-1 : Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1 untuk menghampiri ln(0, 9) dan berikan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat ! Penyelesaian : f(x) = ln(x) f(1) = 0 f’(x) = 1/x f’(1) = 1 f’’(x) = -1/x 2 f’(1) = -1 f’’’(x) = 2/x 3 f’’’’(1) = 2 f(4)(x) = - 6/x 4 f(4)(1) = -6 f(5)(x) = 24/x 5 f(5)(c) = 24/c 5 Powerpoint Templates Page 19

• Deret Taylor : • Jadi : ln(0, 9) = -0, 1053583 dengan galat pemotongan < 0, 0000034. Powerpoint Templates Page 20

• Contoh-2 : Hampiri nilai secara numerik, yaitu : dengan deret Maclaurin orde 8 ! Penyelesaian : Deret Maclaurin orde 8 dari adalah : Powerpoint Templates Page 21

GALAT PEMBULATAN • Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan. Powerpoint Templates Page 22

• Contoh : 1/6 = 0, 16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0, 166667. Galat pembulatannya = 1/6 – 0, 166667 = -0, 00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu : (a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62. 358; 0, 013; 1. 000 Powerpoint Templates Page 23

(b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0, 6238 x 103 atau 0, 6238 E+03 0, 1714 x 10 -13 atau 0, 1714 E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure). Powerpoint Templates Page 24

ANGKA BENA • Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti. • Contoh : 43. 123 memiliki 5 angka bena (4, 3, 1, 2, 3) 0, 1764 memiliki 4 angka bena (1, 7, 6, 4) 0, 0000012 memiliki 2 angka bena (1, 2) 278. 300 memiliki 6 angka bena (2, 7, 8, 3, 0, 0) 0, 0090 memiliki 2 angka bena (9, 0) Powerpoint Templates Page 25

GALAT TOTAL • Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. • Contoh : Galat pemotongan Galat pembulatan Powerpoint Templates Page 26

• Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0, 2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena. Powerpoint Templates Page 27

ORDE PENGHAMPIRAN • Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkapkan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh). Powerpoint Templates Page 28

• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h). Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hn) dan ditulis dgn : f(h) = p(h) + O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya. Powerpoint Templates Page 29

• Metode yg berorde O(h 2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h 2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula. Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan : xi+1 = xi + h, i=0, 1, 2, …. . Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah : Powerpoint Templates Page 30

Dalam hal ini : Jadi, kita dapat menuliskan : Powerpoint Templates Page 31

• Contoh : Powerpoint Templates Page 32

BILANG TITIK AMBANG • Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-ambang • Bilangan titik-ambang a ditulis sebagai a = ± m × B p = ± 0. d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6. . . dn × Bp – m = mantis/mantisa (riil), d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6. . . dn adalah digit mantis. – B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb) – p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pmin sampai+Pmaks • Contoh: 245. 7654 = 0. 2457654 × 103 Powerpoint Templates Page 33

BILANG TITIK AMBANG Bilangan Titik-ambang Ternormalisasi • Syarat: digit yang pertama tidak boleh 0 • a = ± m × Bp = ± 0. d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6. . . dn× Bp • 1 ≤ d 1 ≤ B -1 dan 0 ≤ dk ≤ B-1 untuk k > 1. • Pada sistem desimal, 1 ≤ d 1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, • Sedangkan pada sistem biner, d 1 =1 dan 0 ≤ dk ≤ 1. • Contoh: 0. 0563 × 10 -3 0. 563 × 10 -4, 0. 00023270 × 106 0. 23270 × 103 Powerpoint Templates Page 34

BILANG TITIK AMBANG Pembulatan pada Bilangan Titik-ambang • Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas. • Bilangan titik-ambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai di dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan kesalah satu nilai di dalam rentang • Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat pembulatan. • Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu pemenggalan (chopping) dan pembulatan ke digit terdekat (inrounding). Powerpoint Templates Page 35

PEMENGGALAN (CHOPPING) • Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ± 0. d 1 d 2 d 3. . . dndn+1. . . × 10 p • flchop(a) = ± 0. d 1 d 2 d 3. . . Dn-1 dn × 10 p • Contoh: π = 0. 314159265358. . . × 100 p flchop(π) = 0. 3141592 × 100 p ( 7 digit mantis) • Galat= 0. 000000065. . . Powerpoint Templates Page 36

PEMBULATAN Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) • Misalkan a = ± 0. d 1 d 2 d 3. . . dndn+1. . . × 10 p • flround(a) = ± 0. d 1 d 2 d 3. . . dn × 10 p Powerpoint Templates Page 37

PEMBULATAN • • • Contoh: a = 0. 5682785715287 × 10 -4 : Di dalamkomputer 7 digit dibulatkan menjadi flround(a) = 0. 5682786 × 10 -4 Di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi? Di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi Didalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi? Powerpoint Templates Page 38

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG • Kasus 1: Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar menyebabkan timbulnya galat pembulatan. • Contoh: Misalkan digunakan komputer dengan 4 digit (basis 10). Hitunglah: 1. 557 + 0. 04381 = 0. 1557 × 101 + 0. 4381 × 10 -1. Cari Galat dari penyelesaian penjumlahan aritmetika terhadap bilangan pendekatan yang didapat dengan pemotongan dan pembulatan! Powerpoint Templates Page 39

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG • Kasus 2: Pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar (nearly equal). • Bila dua bilangan titik-ambang dikurangkan, hasilnya mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang paling berarti (posisi digit paling kiri). • Keadaan ini dinamakan kehilangan angka signifikan (loss of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama Powerpoint Templates Page 40

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG • Contoh: • Kurangi 0. 56780 × 105 dengan 0. 56430 × 105 (5 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan! • Kurangi 3. 1415926536 dengan 3. 1415957341 (11 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan! Powerpoint Templates Page 41

ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG • Contoh: • Diberikan. hitunglah f(500) dengan menggunakan 6 angka bena dan pembulatan ke digit terdekat! • Penyelesaian: • (Solusi eksak adalah: 11. 174755300747198…)! Kenapa hasil tidak akurat? Apakah ada cara penyelesaian yang lebih baik? Powerpoint Templates Page 42

Powerpoint Templates Page 43