DERET FOURIER Fungsi Periodik Fungsi fx dikatakan periodik

DERET FOURIER:

Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda T, jika untuk semua harga x berlaku: f(x+T) = f(x); T adalah konstanta positif Harga terkecil dari T > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).

Contoh: • Fungsi sin x mempunyai periode 2 , 4 , 6 , …karena sin (x+2 ) = sin (x+4 )= sin (x+6 ) =…=sin x • Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2 /n • Periode dari tan x adalah • Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif

Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodik a. f(x) x periode b. f(x) x periode

Kontinuitas Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval tertentu dan diskontinu pada titik -titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)

Contoh gambar kontinuitas f(x) x 1 x x 2 x 3 x 4

Definisi Deret Fourier Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L, L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2 L, maka Deret Fourier atau Ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:

dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:

Jika interval (-L, L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2 L maka dengan C sembarang bilangan real. Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).

CONTOH : 0 -5<x<0 f(x)= periode = 10 3 0<x<5 a. Gambarkan f(x) diatas ! b. Tentukan koefisien Fourier an dan bn! c. Tuliskan deret Fourier ! d. Uraikan deret Fourier !

Jawab : f(x) a. 6 3 -10 -5 5 10 x

b. Periode 2 L L = = = 10 10 5

c. Deret Fourier

d. Uraian Deret Fourier

Syarat / Kondisi Dirichlet Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/ kondisi Dirichlet Teorema: Jika 1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval ( -L, L) 2. f(x) periodik dengan periode 2 L 3. f(x) dan f (x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L, L).

maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke : 1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L, L) 2. jika x adalah titik diskontinu

Contoh: Dari soal sebelumnya : bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5, 5)

Jawab : Berhubung pada titik-titik continue, deret adalah konvergen ke f(x) maka pada titik-titik diskontinu agar deret konvergen, haruslah diambil konvergen ke : Bila kita definisikan f(x) sebagai, 3/2 , x = -5 0 , -5 < x < 0 f(x) = 3/2 , x = 0 3 , 0 < x < 5 3/2 , x = 5 Maka deret konvergen ke f(x) untuk -5 ≤ x ≤ 5

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x) untuk setiap x. Contoh : f(x) = cos x f(x) = x 4 Fungsi polinomial dalam x yang suku- sukunya berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka :

Deret fourier dari fungsi genap: Jadi jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku yang mengandung cosinus (suku dari an)

Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika : f(-x) = - f(x) untuk setiap x. Contoh : f(x) = sin x f(x) = x 3 Fungsi polinomial dalam x yang sukunya berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka :

Deret fourier dari fungsi ganjil: Jadi, jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0, sehingga yang muncul hanya suku yang mengandung sinus (suku dari bn)

Deret Fourier Sinus atau Cosinus Separuh Jangkauan • Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja. • Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L, L) yaitu pada interval (0, L). Setengah lainnya yaitu (-L, 0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

• Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: a. f(x) fungsi ganjil b. • Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: a. f(x) fungsi genap b.

Contoh : Ekspansikan f(x) = x; 0<x<2 ke dalam; a. Deret sinus setengah jangkauan b. Deret cosinus setengah jangkauan

Jawab : a. Deret sinus setengah jangkauan. f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval -2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:

Sehingga an = 0 Jadi deret sinus setengah jangkauannya :

b. Deret cosinus setengah jangkauan. f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi genap sepanjang interval -2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:

Sehingga bn = 0 Jadi deret cosinus setengah jangkauannya :