Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
- Slides: 71
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom 0 Barisan dan Deret
Barisan 0 0 Definisi Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli. Notasi: f: N R n f(n ) = an Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil {an} dengan an adalah suku ke-n. Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 2
Kekonvergenan Barisan 0 Definisi: Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 3
Catatan 0 Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut. Jika , maka Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 4
Sifat Limit Barisan 0 Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka 0 Barisan {an} dikatakan 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 5
Contoh Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini: 1. Jawab: Ambil , Dalam hal ini menurut kaidah I’Hospital, Jadi, artinya barisan an konvergen menuju ½. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 6
Contoh 2. Jawab: Ambil I’Hospital, , Dalam hal ini menurut kaidah Jadi, artinya barisan an konvergen menuju e. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 7
Latihan Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini: 1. 7. 2. 8. 3. 4. 9. 10. 5. 6. 12/5/2020 11. [MA 1124] KALKULUS II 8
Deret Tak Hingga 0 Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut: dengan an adalah suku ke-n. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 9
Barisan Jumlah Parsial Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret , maka S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2. . . Sn = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + …+ an = Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 10
Kekonvergenan Deret Tak Hingga Deret tak hingga konvergen dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn} divergen maka deret divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 11
Deret Geometri 0 Bentuk umum deret geometri adalah 0 dengan a 0. Jumlah parsial deret ini adalah dan dapat ditulis sebagai 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 12
Sifat Deret Geometri 1. Jika maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena maka deretnya konvergen ke 2. Jika maka barisan {rn} divergen karena maka deretnya juga divergen 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 13
Contoh (Selidiki kekonvergenannya) 1. Jawab: Kalau kita perhatikan Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya Dan Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 14
Contoh (2) 2. (Deret Kolaps) Jawab: Kalau kita perhatikan Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya Dan Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 15
Contoh (3) 3. (Deret Harmonik) Jawab: Dari sini kita dapatkan Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 16
Uji kedivergenan dengan suku ke-n. Apabila konvergen maka = 0, ekivalen 0 maka deret divergen. Contoh: Buktikan bahwa divergen. Bukti = = Jadi terbukti bahwa 12/5/2020 (Tidak Nol) divergen. [MA 1124] KALKULUS II 17
Masalah Baru = 0, tetapi dari sini Dalam banyak kasus bahwa kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Sebagai contoh deret harmonik, =1 + Jelas bahwa +. . . = 0, tetapi deret harmonik adalah deret yang divergen. Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 18
Uji Deret Positif 1. Tes Integral Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1, ) konvergen, maka deret a. Jika integral tak wajar konvergen. b. Jika integral tak wajar divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II divergen, maka deret 19
Contoh 1. Selidiki kekonvergenan dari Jawab. Kita ambil , sehingga = = Jadi karena = konvergen, maka juga konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 20
Contoh 2. Selidiki kekonvergenan dari Jawab. Kita ambil Jadi karena , sehingga divergen, maka juga divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 21
Latihan Selidiki kekonvergenan deret berikut: 1. 4. 2. 5. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 22
Uji Deret Positif 2. Uji Deret -p Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan = = Kalau kita perhatikan, untuk 1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 2. deret divergen. = 0, sehingga diperoleh deret 2. p > 1 maka yang konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 23
Uji Deret Positif 3. p < 1 maka divergen. =∞, sehingga diperoleh deret yang 4. p < 0, suku ke-n deret , yaitu, tidak menuju 0. Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu: 1. Deret-p konvergen apabila p > 1 2. Deret-p divergen apabila 0 p 1 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 24
Contoh Apakah deret berikut konvergen atau divergen? 1. Berdasarkan uji deret-p, deret konvergen karena p=1, 001 > 1 2. Berdasarkan uji deret-p, deret divergen karena p= ½ < 1 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 25
Uji Deret Positif 3. Tes Perbandingan deret lain Andaikan deret positif, jika an bn maka 1. Jika konvergen, maka 2. Jika divergen, maka 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II konvergen divergen 26
Contoh Selidiki Kekonvergenan deret berikut: 1. Jawab: Akan kita bandingkan deret ini dengan kita tahu bahwa , dan bn= adalah deret harmonik dan , Sehingga karena deret divergen, maka deret yang divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 27
Contoh 2. Jawab: Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= kita tahu bahwa p = 2 >1 dan konvergen, maka 12/5/2020 dan an= adalah deret hiperharmonik dengan , Sehingga karena deret yang konvergen. [MA 1124] KALKULUS II 28
Latihan Selidiki kekonvergenan deret berikut 1. 4. 2. 5. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 29
Uji Deret Positif 4. Tes Banding limit Andaikan an dan bn deret positif dan 1. Jika 0 < L < maka dan =L sama-sama konvergen atau divergen 2. Jika L = 0 dan 12/5/2020 konvergen maka [MA 1124] KALKULUS II konvergen. 30
Contoh Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 1. Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= sehingga =2 Jadi karena L=2 dan konvergen, maka deret konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 31
Contoh Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 2. Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= sehingga =1 = = Jadi karena L=1 dan divergen, maka deret divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 32
Latihan Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: 1. 4. 2. 5. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 33
Uji Deret Positif 5. Tes Hasil Bagi Diketahui merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif, misalkan 1. Jika < 1 maka deret konvergen 2. Jika > 1 maka deret divergen 3. Jika = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 34
Contoh Selidiki kekonvergenan deret berikut: 1. Jawab: Misalkan suku ke-n adalah an = adalah an+1= sehingga , maka suku ke-n+1 Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II konvergen 35
Contoh 2. Jawab: Misalkan suku ke-n adalah an = adalah an+1= sehingga , maka suku ke-n+1 Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II divergen 36
Latihan Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: 1. 4. 2. 5. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 37
Uji Deret Positif 6. Tes Akar Diketahui merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif, misalkan 1. Jika a < 1 maka deret konvergen 2. Jika a > 1 maka deret divergen 3. Jika a = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 38
Contoh Selidiki kekonvergenan deret 1. Jawab: Misalkan suku ke-n adalah an = , maka nilai limitnya adalah Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret divergen 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 39
Contoh 2. Jawab: Misalkan suku ke-n adalah an = , maka nilai limitnya adalah Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret konvergen 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 40
Latihan Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: 1. 3. 2. 4. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 41
Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Mutlak 0 Deret Ganti Tanda Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut dengan an > 0, untuk semua n. Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 42
Uji Deret Ganti Tanda Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika 1. an+1< an 2. Contoh Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut 1. 2. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 43
Contoh 1. Jawab (uji ganti tanda) Dari soal diatas kita punya an= , dan an+1 = , deret tersebut konvergen jika a. an >an+1 b. Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 44
Contoh 2. Jawab (uji ganti tanda) Dari soal diatas kita punya an= , dan an+1 = , deret tersebut konvergen jika a. an >an+1 b. Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 45
Latihan Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut: 1. 4. 2. 5. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 46
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga mutlak deret tersebut konvergen. Atau dengan kata lain dikatakan konvergen mutlak jika Dan dikatakan konvergen bersyarat jika tetapi 12/5/2020 konvergen. divergen, konvergen. [MA 1124] KALKULUS II 47
Pengujian Kekonvergenan Mutlak Misalkan dengan an 0 dan = r. Maka 1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak 2. bila r > 1 maka deret divergen 3. bila r = 1 maka tes gagal. ` 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 48
Contoh Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen 1. Jawab: Dari soal diatas kita punya an= , dan an+1 = sehingga Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 49
Contoh 2. Jawab: Dengan uji deret ganti tanda deret konvergen adalah deret divergen (buktikan!!), sedangkan (karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1) Jadi deret 12/5/2020 adalah konvergen bersyarat. [MA 1124] KALKULUS II 50
Latihan Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen: 1. 4. 2. 5. 3. 6. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 51
Deret Pangkat Deret pangkat secara umum ada dua bentuk 1. Deret pangkat dalam x didefinisikan = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . 2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan = a 0 + a 1 (x-b) + a 2 (x-b)2 +. . . Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 52
Selang Kekonvergenan Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut: Misalkan dan 1. Jika L < 1, maka deret konvergen. 2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakan uji deret sebelumnya. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 53
Soal Tentukan selang kekonvergenan deret 1. 2. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 54
Jawab 1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak. Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu – 2 < x < 2 Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu x = 2 atau x = -2. q Pada x = 2 deret ini adalah deret harmonik yang divergen. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 55
Jawab q Pada x = – 2 deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen. Sehingga selang kekonvergenannya adalah – 2 x < 2 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 56
Jawab(2) 2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak. Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x. Jadi selang kekonvergenannya adalah (- , ) 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 57
Jawab(3) 3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak. Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 58
Teorema 1 Himpunan kekonvergenan deret pangkat berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut: 1. satu titik x = 0 2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan riil 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 59
Teorema 2 Himpunan kekonvergenan deret pangkat berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut : 1. satu titik x = b 2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan riil 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 60
Latihan Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut: 1. 2. 3. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 61
Operasi deret pangkat Dalam pasal sebelumnya untuk deret Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di atas (misal S(x)= ) misalkan bagaimana jika S(x) didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 62
Teorema 0 Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; jadi S(x)= = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3+. . . Maka 1. S’(x) = = D[a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3+. . . ] = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2+. . . = 2. = = a 0 x + a 1 x 2 + a 2 x 3 + a 3 x 4+. . . = 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 63
Contoh Sesuai teorema di atas = 1 + x 2 + x 3 +. . . untuk -1< x <1, tentukan a. b. ln(1 – x) Jawab: a. Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 +. . . , 12/5/2020 -1< x <1 [MA 1124] KALKULUS II 64
Contoh a. ln (1 – x) Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga , 12/5/2020 -1< x <1 [MA 1124] KALKULUS II 65
Latihan Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas) 1. 5. f(x)=tan-1(x) 2. 6. 3. 7. 4. 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 66
Deret Taylor dan Deret Maclurin Deret Taylor 0 Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk f(x) = = f(b) + f ’(b)(x-b)+ +. . . deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b. Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu f(x) = 12/5/2020 = f(0) + f ’(0)(x)+ [MA 1124] KALKULUS II +. . . 67
Contoh Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin: 1. f(x)= sin x Jawab: f(x) = sin x f(0) = 0 f ’(x) = cos x f ’’(x) = - sin x f’(0) = 1 f’’(0) = 0 f ’’’(x) = - cos x f’’’(0) = -1 f f l. V(0) = 0 l. V (x) = sin x Sehingga, 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 68
Contoh 2. f(x)= ex Jawab: f(x) = ex f(0) = 1 f ’(x) = ex f ’’(x) = ex f’(0) = 1 f’’(0) = 1 f ’’’(x) = ex f’’’(0) = 1 f f l. V(0) = 1 l. V (x) = ex Sehingga, 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 69
Contoh 3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1 Jawab: f(x) = ex f(1) = e f ’(x) = ex f ’’(x) = ex f’(1) = e f’’(1) = e f ’’’(x) = ex f’’’(1) = e f f l. V(1) = e l. V (x) = ex Sehingga, 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 70
Latihan 1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin a. f(x) = cos x e. f(x) = sin 2 x b. f(x) = cos x 2 f. f(x) = sec x c. f(x) = cos 2 x g. f(x) = tan x d. f(x) = ex + sin x h. f(x) = sec x 2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a a. f(x) = cos x, a = /3 c. f(x) = ex, a = 2 b. f(x) = sin x, a = /3 12/5/2020 [MA 1124] KALKULUS II 71
- Sekolah tinggi teknologi telkom
- Erd perkuliahan
- Flowchart sistem perkuliahan
- Kalkulus integral
- Jelaskan perbedaan antara ringkasan abstrak dan sintesis
- Materi pengantar ilmu pendidikan semester 1
- Percepatan toefl/imka uin walisongo
- Kontrak perkuliahan
- Gambaran umum pekerjaan di bidang teknologi informasi
- Gambaran umum pekerjaan di bidang teknologi informasi
- Gambar model sistem umum perusahaan
- Tugas kementerian riset teknologi dan pendidikan tinggi
- Sekolah agama menengah tinggi sultan hisamuddin
- Konsep dasar teknologi informasi
- Kerangka dasar sak umum
- Apa itu pemasaran
- Penelitian dasar unggulan perguruan tinggi
- Utm odl
- Nde.ypt.or.id
- Elearning smk telkom
- Standar redaman fiber optik telkom
- Telkom dealerweb
- Alpro telkom adalah
- Telkom
- Irtms
- Kk ibm telkom university
- Lms.telkom university.acid
- Ikhsansetia18
- Padamu negeri siap online
- Makalah jaringan internet
- Plc telkom
- Subnet isp telkom
- "telkom solution"
- Peran sekolah sebagai lembaga pengembangan budaya
- Pelaksanaan kokurikulum
- Pendekatan pembelajaran bahasa indonesia di sd
- Permasalahan wog di sekolah
- Perkembangan pendidikan ips di sd berdasarkan kurikulum
- Contoh lembar kerja analisis akar masalah
- Contoh skripsi pendidikan guru sekolah dasar
- Inovasi garapan sekolah
- Direktorat pembinaan sekolah dasar
- Pendidikan guru sekolah dasar in english
- Direktorat pembinaan sekolah dasar
- Definisi fonem dan jenisnya
- Konsep dasar bk belajar
- Dasar rekayasa perangkat lunak
- Lipatan accordion
- Konsep esensial dasar-dasar desain grafis
- Buatlah peta konsep tentang hardware
- Dasar dasar pengambilan keputusan menurut george r terry
- Pengertian pengorganisasian dan pengembangan masyarakat
- Teori pengukuran dan ketidakpastian
- Basic culinary knowledge pdf
- Dasar dasar prosedur pembukuan
- Dasar dasar pengujian perangkat lunak
- Dasar dasar korespondensi bisnis
- Prosedur pembukuan
- Dasar dasar pemrosesan komputer
- Dasar dasar advokasi
- Etika relasi karyawan dan perlakuan adil di tempat kerja
- Dasar-dasar pembentukan kelompok sosial
- Dasar dasar penelitian sejarah
- Konsep dasar unit pemrosesan dan dasar datapath
- Konsep dasar unit pemrosesan dan dasar datapath
- Materi dasar-dasar agronomi ipb
- Dasar dasar komputer
- Dasar dasar manajemen
- Modul plc omron
- Dasar dasar manajemen
- Jaringan komputer dasar
- Dasar-dasar komunikasi dalam pembelajaran