WELCOME BARISAN DERET B Deret Aritmetika Definisi Deret

WELCOME

BARISAN DERET

B. Deret Aritmetika �Definisi �Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D. Dengan demikian, Dn = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + Un. Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut : Misalkan U 1, U 2, U 3, . . . , Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. Dn = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + Undisebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.

�Defenisi deret aritmatika : Jika u 1, u 2, u 3, …. , un merupakan barisan aritmatika maka penjumlahan dari u 1 + u 2 + u 3 + …. . + un disebut deret aritmatika. �Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang ditulis dengan sn adalah : Jika u 1 = a , u 2 = a + b, u 3 = a + 2 b, un = a + (n-1)b maka : Sn = u 1 +u 2 + u 3 + …. . + un Dengan menggantikan

�U 1 = a, u 2 = a+b, u 3 = a+2 b, un-1 = a+(n-2)b, dan un = a+(n-1)b. maka diperoleh : �Sn = a+(a+b)+(a+2 b)+…+(a+(n-1)b) �Sn=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+(a+(n-3)b)+…+a 2 Sn=(2 a+(n-1)b)+(2 a+(n-1)b)+…+(2 a+(n-1)b) nx 2 Sn=n. (2 a+(n-1)b) Karena Un = a + (n-1)b maka rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut :

DERET ARITMETIKA BENTUK UMUM DERET ARITMETIKA a+ a+b+ a+2 b+…. . +a+(n-1)b

Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika jika diketahui u 1=10 dan u 15=94? �Jawab : �Diketahui : �a= u 1 = 10 �U 15= 94 Ditanya : S 15 = ? Jb:

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut: Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2 b)+. . . +(a+2 b)+(a+b)+a …(2) Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan Dn= a + (a + b ) + (a + 2 b ) + …+ (Un-2 b) + (Un-b) + Un Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2 b)+. . . +(a+2 b)+(a+b)+a 2 Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) +. . . + (a + Un) n suku Dengan demikian, Dn = (1/2) 2 Dn = n(a + Un ) n(a + (n – 1)b)) n(2 a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Dn = (1/2) n(a + Un ) Dn = (1/2) n(2 a + (n – 1)b) Keterangan: Dn = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda Un = suku ke-n n = banyak suku

A. Barisan Aritmetika �Definisi Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). �Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. �Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . b. 2, 8, 14, 20, . . . Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, . . .

Defenisi deret Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret Jika barisan bilangan dinyatakan dengan : u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un-1 , un Maka deret bilangan tersebut dapat dituliskan sbb : U 1+u 2 + u 3+ u 4 +. . +un-1 +un Contoh : 1. Deret bilangan asli : 1+2+3+4+5+… 2. Deret Bilanga Prima : 2+3+5+7+11+… 3. dll

Menentukan rumus suku ke-n! Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : 2, 4, 8, 16 ? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! U 1= 2 1 U 2= 4 = 2 2 U 3= 8 = 2 3 U 4 =16 = 24 Jadi dari pola diatas dapat disimpulkan bahwa : u n = 2 n

Contoh 2. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 1. 2, 2. 3, 3. 4, 4. 5, …? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! u 1=1. 2=1. (1+1) U 2=2. 3=2. (2+1) U 3=3. 4=3. (3+1) U 4=4. 5=4. (4+1) Jadi dari pengamata diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un=n. (n+1)

Cotoh 3. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut ini: 2, 5, 8, 11, … Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! u 1=2=2+(1 -1). 3=3. 1 -1 U 2=5=2+(2 -1). 3=3. 2 -1 U 3=8=2+(3 -1). 3=3. 3 -1 U 4=11=2+(4 -1). 3=3. 4 -1 Jadi dari hasil pengamatan diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah : un=2+(n-1). 3 atau un=3 n-1

Contoh : a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, . . . +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, . . . – 5 – 5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah – 5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya – 5 atau b = – 5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U n – 1. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U 1 U 2 U 3 U 4 U 5. . . Un Jadi, = = = a U 1 U 2 U 3 U 4 + b = a + b = (a + b) + b = a + 2 b + b = (a + 2 b) + b = a + 3 b + b = (a + 3 b) + b = a + 4 b = Un-1 + b = a + (n – 1)b rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama Un = a + (n – 1)b b = beda n = banyak suku