CURSO DE MATEMTICA S DISCRETAS PARTE 1 LOGICA

CURSO DE MATEMÁTICA S DISCRETAS

PARTE 1 LOGICA

Introducción a la lógica Coherente Estructurado Tiene sentido Estudio del razonamiento Lógica proposicional, simbólica o matemática PROPOSICIONES O AFIRMACIONES

Proposiciones o afirmaciones El día esta soleado Verdadero México esta en Europa Enunciado 3+3=7 Bogotá es la capital de Colombia Falso Comprame una hamburguesa 2+3=5 Te deseo lo mejor ¿Cuantos años tienes? RELACIÓN Pablo es ingeniero Los ingenieros son aburridos PABLO ES ABURRIDO

Proposiciones simples

Proposiciones compuestas Conectores Lógicos

Conectores lógicos Conector lógico y o o…o Si… entonces. . Si y solo si No es verdad Símbolo Nombre Conjunción Disyunción debíl Disyunción fuerte Implicación Equivalencia Negación

Valor de verdad V F V V F F V F V V F F V F V F

TABLAS DE VERDAD Conjunción V V F F V F V F F F

Disyunción débil V V F F V F V V V F

Disyunción fuerte o V V F F V V F

Condicional Si Hace frío Entonces Antecedente Consecuente V V F F V F V V

Bicondicional Hace frío Si y solo si V V F F V F V F F V

Negación Esta lloviendo No esta lloviendo Esta lloviendo y hace frio No es verdad que Esta lloviendo y hace frio V F F V

Tablas de verdad Tautología V V F F Contradicción V F V V V F F V F Contingencia F F V V F F V F V F

Construcción tabla de verdad V F V V F F V F V F F F F V F F F V Contingencia V V F F V F V V

V V F F V F V V V F F V F V V V V Tautología V V F F V V V F

Ejemplo

Ejemplo

Circuitos lógicos Interruptor Generador Bombillo

Lógica y circuitos eléctricos V 1 F 0 1 0

Lógica y circuitos Circuito en serie 1 1 Conjunción 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0

Circuito en paralelo 1 Lógica y circuitos 1 1 1 Disyunción 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0

Lógica y circuitos Disyunción Conjunción p p q q Negación

Ejemplo Representar

PARTE 1 TEORIA DE CONJUNTOS

Introducción a los conjuntos Grupo de objetos o elementos Vocales Números pares Relación de pertenencia

Determinación de un conjunto y cardinalidad Por extensión Por compresión Infinitos Finitos cardinalidad

Subconjuntos

Conjuntos especiales Conjunto nulo Conjunto unitario Conjunto Universal

Operaciones entre conjuntos Resta

Representación gráfica de conjuntos 3 5 1 2 6 8 7 9 11 10 4

Unión 3 1 5 6 11 2 8 7 9 10 4

Intersección 3 5 1 6 8 7 9 10 11 2 4

Rest a 3 5 7 1 6 11 2 3 10 5 7 8 9 4 1 6 11 2 8 9 10 4

Complemento 3 5 6 7 1 11 2 3 10 5 6 7 8 9 4 1 11 2 8 9 10 4

Algunas propiedades

PARTE 3 TEORÍA DE GRÁFICAS

Grafos Módelos matemáticos que sirven para representar las relaciones entre objetos de un conjunto

Vertices, V e v Grafo Aristas, E b d a c g f e w

Tipos de grafos Simple Pseudografo Multigrafo a a b c c d 4 5 a c 10 3 d d Ponderado d b Multigrafo Dirigido Grafo Dirigido a b c d d b

Grado 2 a c Grado de un vértice b d 2 4 4 4 2 2

Caminos, cadenas y ciclos Cadena Camino a Ciclo a b c d c e d a a b b c c e e No Conexo Cadena Cerrada d b d e

Caminos Eulerianos y ciclos eulerianos f a b c d 4 Camino e f a 4 c 2 4 b Ciclo Vf No más de dos vértices con grado impar 3 d e 4 f a 2 3 Vi 4 2 b c d g 4 Vi=Vf e 4 4 Todos los vértices con grado par

Caminos y ciclos hamiltoniano f a b c d 4 Camino e f a 4 c 2 4 b Ciclo d e 4 f b c d Vf 3 a 2 3 Vi 4 2 g 4 Vi=Vf e 4 4

Ejemplos de grafos no hamiltonianos a a b c d e c d f a b e Camino Hamiltoniano No hay ciclo hamiltoniano No es un grafo hamiltoniano

Matriz de Adyacencia 3 3 a 4 b d c a b c d a a b c d 3 a 1 0 1 1 b 0 2 0 1 c 1 0 1 2 0 d 1 1 2 0 b Grado 3 3 4 4 c 0 d 0 Grado 3 0 4 3 3 a b c d

Matriz de Incidencia e 2 a e 1 e 3 c e e 6 b e 5 e 4 d e 1 a b c d e 0 0 0 e 2 e 3 1 0 e 4 0 e 5 0 e 6 0 1 1 1 0 0

Matriz de Incidencia a b c d e e 1 1 1 0 0 0 e 2 0 1 0 e 3 1 1 0 0 0 e 3 e 4 0 1 0 0 1 e 5 0 0 1 1 0 e 6 0 0 0 1 1 b a e 2 e 4 e c e 5 e 6 d

Ejercicio matriz de adyacencia e incidencia

PARTE 4 ARBOLES

Introducción a los arboles Mexico Colombia España Francia M C E F C C F

Presidente Vicepresidente Académico Docente Cátedra Vicepresidente Administrativo Personal Docente Plante Equipo Documentos Trabajos Descargas Archivos Fotos

Tipos de arboles Raíz Libres c e a c f b d b g h a e g d h f Expansión a c b f 4 2 c e 1 Binarios 1 2 a b h d 4 g d g h

Determina el nivel y la altura del siguiente árbol considerando como raíz el vértice d c e a f d b g h

Subarboles, vertices terminales e internos c c Ancestro Padre Nivel 0 a e b d Nivel 1 a Hijos h f g j i c Nivel 2 Sub arbol raiz b Sub arbol raiz e b e Nivel 3 k b Nivel 4 Vertices terminales d, g, I, k, h d f g j Vertices Internos b, e, f, j, a i k

Árbol de expansión mínimo c 6 d 3 5 e 7 i 4 2 a 2 gg 2 5 6 3 3 3 h b f 3 g f 3 e b 2 d 3 h 2 2 i a 3 c 4

Arbol binario Binario Padre, raíz Binario completo Binario lleno a c a Hijo izq b Hijo Der b c c Padre, raíz d e d f eg f d g eg Hijo izq Hijo Der g h h i i Degenerado c b d a f g

Árbol binario, estructura recursiva Raiz a a b d Subarbol derecho b c c eg h Subarbol izquierdo f i g d f eg h g Raiz i c Sub arbol izq Sub arbol der f g

Recorrido arboles a c Pre Orden f b g d Post orden h e l Entre orden m

Expresiones aritméticas Los vértices terminales son operandos (números) / Los vértices internos son operadores + a b c La raíz siempre debe ser un operador d Prioridad de operadores Pre fijo Entre fijo Pos fijo Raiz Izquierda Derecha Izquierda Raiz Derecha Izquierda Derecha Raiz

PARTE 5 ALGORITMOS

Inicio Algoritmo de prim 6 Selecciona un vertice Selecciona la arista de menor peso conectada al vertice seleccionado En cada iteración selecciona la arista de menor peso relacionados con los vertices conectados 8 1 6 5 El algoritmo finaliza cuando todos los vertices estan conectados con n-1 aristas Fin

Inicio Algoritmo de flujo máximo Direccionar flujos e iniciar en ceros 4 1 6 7 Obtener trayectorias buscando siempre el mayor flujo 4 2 Escoger el menor flujo de la trayectoria 9 5 Actualizar el gráfico con las capacidades mínimas 7 Buscar nueva trayectoria en aumento y repetir hasta que no existan más Fin

Inicio Algoritmo de Dijkstra 6 4 8 Calcular distancias a cada nuevo nodo sumando la distancia anterior 11 Mantener un registro de los nodos visitados 2 Asignar para cada nodo no visitado infinito Si la distancia nueva calculada es menor que la anterior, reemplazarla, sino ignorarlo 7 El algoritmo finaliza cuando se llega al nodo final Fin

Algoritmo de Kruskal 6 Inicio 8 5 En cada iteración agregue la arista de menor longitud del conjunto de arcos disponibles 1 6 Selecciona arista menor El algoritmo finaliza cuando todos los vertices estan conectados con n-1 arcos Inicio

Inicio Algoritmo de Fleury Verificar Grado de mi gráfico Realizar un circuito cerrado En cada iteración construye un nuevo camino cerrado visitando aristas incidetes que no han sido visitados Reemplaza cada nuevo circuito en el inicial hasta visitor todas las aristas Inicio