ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA Logica delle proposizioni Nel

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA

Logica delle proposizioni �Nel linguaggio naturale ovvero il linguaggio che usiamo quotidianamente per comunicare, indichiamo con il termine di proposizione una frase che esprime un pensiero compiuto. �In matematica, invece, chiamiamo:

DEF : PREPOSIZIONE una frase o un enunciato che può essere : VERO 1 FALSO 0 ma non contemporaneamente vero e falso.

ESEMPI: Sono proposizioni : 10 è un numero dispari il 25 Dicembre è Natale Roma è capitale d’Italia La prima è FALSA, Mentre le altre due sono VERE.

Non sono proposizioni �Come ti chiami ? �Milano è una bella città �Che bel sole! Poiché non è possibile stabilirne la verità; la prima è una domanda, la seconda esprime un giudizio soggettivo , la terza un’esclamazione.

Quando diciamo che una proposizione è VERA oppure FALSA Attribuiamo ad essa un VALORE DI VERITA’. In matematica i concetti noti sono detti PRIMITIVI, per cui i concetti di “ vero” e “ falso “ sono tali.

TRE PRINCIPI DELLA LOGICA �Principio di identità : ogni proposizione ha lo stesso valore di identità di se stessa �Principio di non contraddizione : una proposizione non può essere contemporaneamente VERA e FALSA �Principio del terzo escluso : una proposizione può essere solo VERA o FALSA

OPERAZIONI LOGICHE �Le proposizioni si possono collegare tra loro in modo da formare nuove proposizioni pertanto possiamo eseguire le operazioni logiche tra di esse.

LA NEGAZIONE E’ la proposizione che è vera se l’enunciato di partenza è falso e falsa nell’altro caso. Si indica �Corrisponde al connettivo «non» . �Nel linguaggio informatico è anche indicato NOT o INVERTER. �La tavola di verità corrispondente è: Esempio: p: « 6 è pari» non p: « 6 non è pari » V F

LA CONGIUNZIONE Dati due enunciati, la congiunzione è quella terza proposizione che è vera solo se le due di partenza sono vere. Si indica p q e corrisponde al connettivo «e» anche detto AND. La tavola di verità è la seguente. Esempio: p: “Roma è in Italia” q: “Il forno raffredda” p q: “Roma è in Italia e il forno raffredda” V F F

LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA E’ quell’operazione che permette di trovare una terza proposizione che è vera se almeno uno degli enunciati di partenza è vero. Viene indicata: si legge “p vel q” o altrimenti: p OR q Corrisponde al connettivo linguistico «o» . Esempio: p: «Pordenone è in Friuli» V q: «Il ghiaccio è caldo» F p q: «Pordenone è in Friuli o il ghiaccio è caldo » V

LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA �La disgiunzione esclusiva è l’operazione binaria che fa corrispondere a due proposizioni p e q la proposizione composta p q che è vera quando è vera una sola delle proposizioni componenti. �La disgiunzione esclusiva corrisponde al connettivo “o…o…”(in latino a “aut”) o, nel linguaggio informatico, a “XOR”. �La tavola di verità correspondente è: Esempio: p: ”Napoli è in Campania” q: ”Venezia è in Liguria” p q: ”o Napoli è in Campania o Venezia è in Liguria” V F V

L’IMPLICAZIONE MATERIALE �L’implicazione materiale o condizionale è l’operazione binaria che fa corrisponere a due proposizioni p e q la proposizione composta p q che è sempre vera tranne quando p è vera e q è falsa. �L’implicazione materiale corrisponde al connettivo “se…allora”. �La tavola di verità corrispondente è: Esempio: p: “Milano è in Lombardia” q: “Madrid è in Italia” p q: “Se Milano è in Lombardia allora Madrid è in Italia” V F F

LA DOPPIA IMPLICAZIONE �La doppia implicazione materiale o bicondizionale è l’operazione binaria che fa corrispondere a due proposizioni p e q la proposizone composta p q che è vera quando p e q sono entrambe vere o entrambe false. �La doppia implicazione materiale corisponde al connettivo “. . . se e solo se…” o, nel linguaggio informatico, a “NOT XOR”. �La tavola di verità corrispondente è: Esempio: p: ”Genova è in Liguria” V q: ”Il monte Bianco è in Sicilia” F p q: ”Genova è in Liguria se e solo se il monte Bianco è in Sicilia” F

TAUTOLOGIE �Si definisce tautologia una proposizione composta che risulta sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni componenti. Ecco alcuni esempi di tautologie: Principio del Terzo Escluso or Esempio: è sempre vero che cammino o non cammino

Principio di non contraddizione Esempio: non può essere vero che piove e (contemporaneamente) non piove.

CONTRADDIZIONI �Si definisce contraddizione una proposizione composta sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni componenti. �La proposizione p p è una contraddizione perché è sempre falsa, come si può vedere nella corrispondente tabella di verità. Esempio: è sempre falso che piove e (contemporaneamente) non piove

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