TA 631 OPERAES UNITRIAS I Aula 05 09032012

TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I Aula 05: 09/03/2012 Cálculo da energia de atrito Atrito de parede de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. Fator de atrito de Darcy e de Fanning Gráfico de Moody. Gráfico de Dodge-Metzner. 1

Quais são os termos do balanço de energia mecânica? 2

Energia que entra com o fluido + Energia mecânica (P 1/ρ + v 12/2α + Z 1) + Weixo = Energia que sai com o fluido + Calor = (P 2/ρ + v 22/2α + Z 2) + Ef We = (P 2 -P 1)/ρ + (v 22 -v 12)/2α + (Z 2 – Z 1) + Ef onde: Zi = hi * g O trabalho mecânico gera uma mudança na Energia de pressão, na Energia cinética e na Energia potencial do fluido e libera calor devido ao atrito com o meio. 3

Energia gasta no atrito no escoamento de um fluido em um tubo horizontal Perda de pressão Ponto 1 Ponto 2 Balanço de Energia Mecânica Êm 1 + We = Êm 2 + Êf Expandindo os termos de Êm: (Êp 1 + Êh 1 + Êk 1) + We = (Êp 2 + Êh 2 + Êk 2) + Êf Como: h 1 = h 2 v 1 = v 2 We = 0 Êh 1= Êh 2 Êk 1 = Êk 2 ρ = constante Assim: Êf = Êp 2 -Êp 1 = (p 2–p 1)/ρ Energia de atrito: Êf = ∆P/ρ Êf = f(L, vz , ε, µ, ρ, D) 4

1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1. 1. Fluidos Newtonianos 1. 1. 1. Regime Laminar Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de um fluido newtoniano viscoso em uma tubulação horizontal de seção constante. Fazemos um balanço de forças em um elemento de volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa na direção horizontal z: Considerações: R Regime laminar r Fluido incompressível Não há efeitos terminais L 5

Para que haja escoamento é necessário aplicar uma força ao fluido. Geralmente eleva-se a pressão do fluido no ponto inicial da tubulação usando uma bomba. P P-∆P Figura 1. 1. Balanço de forças no equilíbrio em um tubo 6

Figura 1. 1. b. Análise de forças na tubulação Desenvolvimento gradual do perfil de velocidades do regime laminar e escoamento do fluido. Direção do escoamento R Pressão aplicada L Comprimento 7

Figura 1. 1. c. Movimento e resistência no elemento de volume P σp σr z vz(r) P∆P R r vmax L 8

Em estado estacionário: Força normal= Força de cisalhamento ∆P*An = ∆ *At L Pressão * Área transversal = Tensão * Área longitudinal (1. 1) [P (P d. P)] r 2 = 2 r dz R r Onde: P = pressão em um ponto z ao longo da tubulação P-d. P = pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulação r = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio = tensão de cisalhamento dz = elemento de distância ao longo do comprimento do tubo 9

[P (P d. P)] r 2 = 2 r dz (1. 1) (1. 2) (1. 3) É interessante expressar a perda de carga linear (d. P/dz) em função da tensão de cisalhamento: (1. 4) Rearranjando, para expressar a tensão de cisalhamento (1. 5) 10

A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede ( p ) quando r=R e pode ser expressa como: (1. 6) ∆P onde: R= raio do tubo σp Considerando o comprimento L : D Vz(r) (1. 7) L Onde: ∆P= diferença de pressão no comprimento de tubulação L D = diâmetro da tubulação 11

Substituindo (1. 6) em (1. 5) tem-se: r (1. 8) De acordo com a equação (1. 8), a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo do raio do tubo, variando desde zero em r = 0 até um valor máximo na posição r = R. L Como os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton: (1. 9) µ = viscosidade newtoniana dvz / dr = variação de velocidades ao longo do raio do tubo 12 R

• No interior de uma tubulação a medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por isso dvz/dr é negativo. • A transferência de impulso é feita da região de maior concentração de movimento para a de menor concentração. • No centro do tubo, dvz/dr=0, a tensão de cisalhamento é nula, (1. 10) Rearranjando os termos de (1. 10): (1. 11) 13

Integrando a relação (1. 11) entre um ponto r e a parede R: Para a integração deve-se observar que trata-se de um integral indefinida; indefinida vz(r) e r não são pontos conhecidos. Surge, assim, uma constante arbitrária que chamaremos de C 1. 14

As condições de contorno deste caso são: (a) r = R vz = 0 (b) r = r vz = vz (r) C 1 é obtido da aplicação da condição de contorno (a) para a qual são conhecidos os valores de vz e de r. Então: 15

Da substituição de C 1 na resultante da integral indefinida, obtém-se a equação do perfil parabólico de velocidade para um fluido newtoniano em escoamento laminar. Rearranjando os termos da equação acima temos: (1. 12) 16

Por outro lado, a velocidade média pode ser calculada pela definição: (1. 13) Ou ainda: Onde: d. A = elemento diferencial de área = 2 r dr 17

Integrando (1. 13) do centro do tubo (r=0) até a parede (r = R): (1. 14) Substituindo vz(r), equação (1. 12), na expressão acima temos: (1. 15) 18

(1. 16) (1. 17) (1. 18) Chegamos a expressão da velocidade média: (1. 19) 19

(1. 7) (1. 19) Substituindo (1. 7) em (1. 19) para incluir o termo ∆P: (1. 20) Rearranjando (1. 20) e dividindo tudo por : (1. 21) 20

Multiplicando ambos os lados por tem-se que: (1. 22) Lembrando que o número de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulações cilíndricas é definido como: Rearranjando para separar o termo 1/Re da expressão (1. 22): (1. 23) 21

Finalmente, chegamos a expressão geral para cálculo da energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em regime laminar: ∆P 32 L v 2 ---- = ------(1. 24) ρ Re D 16 f. F = ----Re Então: f. F= fator de atrito de Fanning (1. 25) ∆P L 2 v 2 ---- = f. F ----ρ D Geralmente usa-se o termo Êf para expressar a energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg) L f ---Êf = F D 2 2 v ----22

A expressão define o fator de atrito de Fanning (f. F) como: f. F = 16 Re (1. 25) A literatura cita o fator de atrito de Darcy (f. D): f. D = 64 (1. 26) Re Os dois podem ser usados. Porém, na bibliografia recente tem-se empregado principalmente f. F e, por isso, quando se menciona ao fator de atrito refere-se geralmente à f. F. 23

1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1. 1. Fluidos Newtonianos 1. 1. 2. Região de transição O fator de atrito na região de transição, ou seja, quando 2100< Re< 4000, não pode ser predito, com o qual deve-se usar a solução gráfica. No caso de fluidos Newtonianos, emprega-se o Diagrama de Moody (Figura 1. 2). Neste gráfico deve-se destacar que o fator de atrito é função da rugosidade relativa ( / D). f. F ε = f(---- , Re ) D Segue-se a tradução dos materiais de tubos que estão escritos em inglês: 24

Materiais de construção do Diagrama de Moody Em inglês Em português Smooth pipes Drawn tubing Commercial steel Wrought iron Asphalted cast iron Galvanized iron Cast iron Wood stove Concrete Tubos lisos Tubos estirados Aço comercial Ferro forjado Ferro fundido asfaltado Ferro galvanizado Ferro fundido Aduela de madeira Concreto Riveted Steel Aço rebitado 25

Figura 1. 2. Diagrama de Moody f = 16/Re 26

1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1. 1. Fluidos Newtonianos 1. 1. 3. Regime turbulento Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja, Re> 4000, existem várias maneiras de se obter f. F. Existem algumas equações para tubos lisos e rugosos e solução gráfica. a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos (2. 103 < Re < 105): f. F = 1, 28. Re -0, 25 (1. 27 a) f. D = 0, 32. Re -0, 25 (1. 27 b) b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos: (1. 28) 27

c) Equação de Churchill válida para tubos rugosos: No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA útil para o cálculo de bomba centrífuga para água no qual aplicou-se a equação de Churchill. http: //www. unicamp. br/fea/ortega/info/cursojava/Calc. Bomba. htm 28

c) Solução gráfica por meio do Diagrama de Moody, visto no item anterior. Os dados necessários são: • • As propriedades do fluido: densidade e viscosidade à temperatura de trabalho; Velocidade média do fluido: obtém-se conhecendo (volume/tempo/área); Diâmetro interno da tubulação; A rugosidade relativa da tubulação ( /D); no caso do processamento de alimentos e de instalações sanitárias, usa-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero ( ε =0 ). 29

1. 2. Fluidos não-newtonianos 1. 2. 1. Fluidos lei da potência 1. 2. 1. 1. Regime laminar Para obter expressões para cálculo do fator de atrito foram usadas as mesmas considerações da dedução do item 1. 1. Sabendo que a tensão de cisalhamento para esses fluidos é definida como: 1. 29 30

A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como: 1. 30 Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como: 1. 31 31

Ou ainda: (1. 32) Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como: (1. 33) A equação (1. 33), quando inserida na expressão do fator de atrito, proporciona uma expressão do tipo: (1. 34) 32

Onde o número de Reynolds da lei da potência é definido como: (1. 35) A equação (1. 34) é apropriada para o escoamento de fluidos lei da potência em regime laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade é satisfeita: (1. 36) Dados experimentais indicam que a equação (1. 34) superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potência. Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou mudanças nas propriedades reológicas em emulsões e 33 suspensões.

1. 2. Fluidos não-newtonianos 1. 2. 1. Fluidos lei da potência 1. 2. Regime turbulento O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência, pode ser predito pela Equação de Dodge-Metzner. Essa equação só é válida para tubos lisos. (1. 37) 34

Figura 1. 3. Diagrama de Dodge-Metzner 35

1. 2. Fluidos não-newtonianos 1. 2. 2. Fluidos plásticos de Bingham 1. 2. 2. 1. Regime laminar O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham pode ser escrito como: (1. 38) para R 0 r R. O raio crítico (R 0), que define o contorno externo do pistão, pode ser calculado a partir da tensão de cisalhamento inicial ( ): (1. 39) 36

É interessante levar em consideração que o fluido não sofrerá tensão de cisalhamento na região empistonada central, ou seja, quando < 0. Então, a função tensão de cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento inicial ( 0) e a tensão de cisalhamento na parede ( p ). A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plásticos de Bingham, cujo modelo reológico é: pode ser calculada a partir da vazão volumétrica de uma maneira similar àquela usada para fluidos pseudoplásticos: (1. 40) 37

Onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais difícil será iniciar o escoamento: (1. 41) Escrito em termos de velocidade média, média a equação (1. 40) torna-se: (1. 42) Portanto, o cálculo do fator de atrito fica: (1. 43) 38

O fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (Re. B) e o número de Hedstrom (He): (1. 44) Onde (1. 45) e (1. 46) 39

As equações (1. 43) e (1. 44) poderiam ser usadas para estimar f. F em estado estacionário no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade: (1. 47) onde cc é o valor crítico de c definido como: (1. 48) cc varia de 0 a 1 e o valor crítico do número de Reynolds de Bingham aumenta com o número de Hedstrom. 40

1. 2. Fluidos não-newtonianos 1. 2. 2. Fluidos plásticos de Bingham 1. 2. 2. 2. Regime turbulento O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plástico de Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a seguinte relação: (1. 49) 41

Com o aumento dos valores de tensão de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta significativamente. Neste caso, quando a perda de carga é muito alta, c poderia ser muito pequeno, nesse caso a equação (1. 49) se simplifica, ela ficaria da seguinte forma: (1. 50) 42

1. 2. Fluidos não-newtonianos 1. 2. 3. Fluidos Herschel-Bulkley 1. 2. 3. 1. Regime laminar A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em função do raio pode ser descrita como: (1. 51) A velocidade do pistão se obtém substituindo r= R 0 na equação (1. 51). 43

Há duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, cujo moedelo reológico é: a) Solução numérica O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkley pode ser calculado a partir das seguintes relações: 44

(1. 52) Onde: (1. 53) c pode ser expresso como uma função implícita de Re. LP e uma forma modificada do número de Hedstrom (He. M): (1. 54) 45

Onde: (1. 35) e (1. 55) Para encontrar f. F para fluidos Herschel-Bulkley, c é determinado através de uma iteração da equação (1. 54) usando a equação (1. 53) e o fator de atrito poderia ser calculado a partir da equação (1. 52). 46

b) Solução gráfica Existem soluções gráficas que facilitam os problemas computacionais. Essas figuras(Figuras 1. 6 -1. 15) indicam o valor do número de Reynolds crítico a diferentes He. M para um valor particular de n. O número de Reynolds crítico é baseado em princípios teóricos e tem pouca verificação experimental. 47

Figura 1. 6. f. F para fluido Herschel-Bulkley 48

Figura 1. 7. f. F para fluido Herschel-Bulkley com 49

Figura 1. 8. f. F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0, 3. 50

Figura 1. 9. f. F para fluido Herschel-Bulkley 51

Figura 1. 10. f. F para fluido Herschel-Bulkley 52

Figura 1. 11. f. F para fluido Herschel-Bulkley com 53

Figura 1. 12. f. F para fluido Herschel-Bulkley 54

Figura 1. 13. f. F para fluido Herschel-Bulkley com 55

Figura 1. 14. f. F para fluido Herschel-Bulkley com 56

Figura 1. 15. f. F para fluido Herschel-Bulkley com 57

1. 2. Fluidos não-newtonianos 1. 2. 3. Fluidos Herschel-Bulkley 1. 2. 3. 2. Regime turbulento Utilizam-se as soluções gráficas vistas no item anterior. 58

Recordando outras soluções gráficas: - Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody - Pseudoplásticos, Gráfico de Dodge. Metzner As equações são úteis para: desenvolvimento de modelos computacionais para aplicações diversas cuja solução gráfica não esteja pronta! 59

RESUMO DA AULA: Como calcular o fator de atrito para cada caso? 1. Fluidos Newtonianos 16 f. F = ----Re 1. 1. Regime laminar Êf = 1. 2. Região de transição f. F L f. F ---D 2 v 2 ----- ε = f(---- , Re ) D Diagrama de Moody 60

1. Fluidos Newtonianos a) Equação de Blasius válida para tubos lisos (2. 103 < Re < 105): f. F = 1, 28. Re -0, 25 1. 3. Regime turbulento 3 modos de se obter f. F f. D = 0, 32. Re -0, 25 b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos: c) Diagrama de Moody 61

2. Fluidos Não-newtonianos 2. 1. Fluidos Lei da Potência Fluido Lei da potência em regime laminar satifaz a desigualdade: 2. 1. 1. Regime laminar 62

2. 1. Fluidos não-newtoniano Lei da Potência 2. 1. 2. Regime turbulento Equação de Dodge-Metzner válida para tubos lisos Diagrama de Dodge-Metzner 63

2. Fluidos Não-newtonianos 2. 2. Plástico de Bingham 2. 2. 1. Regime laminar Ou, o fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (Re. B) e o número de Hedstrom (He): Fluido Plástico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade: 64

2. 2. Plástico de Bingham 2. 2. 2. Regime turbulento Quando a perda de carga é muito alta, c (τ0/τp) pode ser muito pequeno e nesse caso a equação acima se simplifica: 65

2. Fluidos Não-newtonianos 2. 3. Fluido Herschel-Bulkley 2. 3. 1. Regime laminar: a) Solução Numérica: 2 modos cálculos iterativos He. M é Hedstrom modificado b) Solução Gráfica: diferentes He. M e n específico figuras Re crítico, 66

2. 3. 2. Regime turbulento: solução gráfica Exemplo de gráfico Figura 1. 10. f. F para fluido Herschel-Bulkley 67

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