TA 631 OPERAES UNITRIAS I Aula 17 24052012

TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I Aula 17: 24/05/2012 Movimento de Partículas em Fluidos - Velocidade terminal - Balanço de forças em uma partícula - Coeficiente de arraste (Cd) - Reynolds da Partícula - Lei de Stokes

MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS Não é uma operação unitária, é um conceito físico que será utilizado em várias operações unitárias de transferência de quantidade de movimento, como: • Fluidização • Transporte de sólidos em leito de fluido • Sedimentação simples • Centrifugação • etc.

Velocidade Terminal: definição As partículas ao cair no seio de um fluido, sob ação de uma força constante, por exemplo a força da gravidade, sofrem aceleração durante um período de tempo muito curto e depois disso se movem à uma velocidade constante. Essa máxima velocidade que as partículas podem alcançar é chamada de velocidade terminal, e depende da densidade, tamanho e forma da partícula, além das propriedades do fluido e do campo. aceleração Velocidade constante (terminal)

Que forças agem sobre uma partícula sólida em movimento em um fluido (líquido ou gás)? As forças de campo, de empuxo e de arraste Força de campo gravitacional: Força de empuxo: Força de arraste (atrito): Força resultante Fa Fe Fc Resistência Movimento da partícula

Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob ação de um campo gravitacional: Velocidade da partícula (+) Velocidade do fluido (+) vf = 0 vp = 0

vf = 0 vp = 0 (a) (b) (c) (d) (e) vf = velocidade do fluido + - vp = velocidade partícula + -

Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do balanço de forças [1], tem-se: [1] Como não há aceleração da partícula, tem-se: Rearranjando tem-se: [2] Como calcular Vp, Ac e Cd?

Calculo de Vp e Ac: A área característica é a área projetada. Quando a partícula é esférica, tem-se: [3] Partícula esférica Área projetada de uma esfera [4] Área projetada Fluxo de fluido Volume de uma esfera Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq) definido na “aula de sólidos particulados”.

Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se: [5] E o valor de Cd?

O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de Reynolds da Partícula: , onde Regime Laminar (Eq. de Stokes) Regime Intermediário Regime Turbulento (Eq. Newton) Regime Alta Turbulência [6]

Gráfico do Coeficiente de Atrito Regime laminar Lei de Stokes 1000 Região camada quase laminar 100 Região camada turbulenta Região alta turbulência 10 1 0. 1 1 10 102 103 104 Reynolds da Partícula 105 106 107

Quando o Re atinge valores altos ocorre uma separação de camada de fluido, no início laminar depois turbulenta Ao aumentar a velocidade relativa (v. R), as linhas de corrente começam a oscilar na parte de trás da esfera. A pressão na parte frontal aumenta e ocorre um atrito adicional devido as oscilações.

Video sobre escoamento laminar: http: //www. youtube. com/watch? v=rb. Mx 2 NMqyu. I&feature=relmfu Vídeo sobre escoamento turbulento: http: //www. youtube. com/watch? v=7 KKFtgx 2 an. Y&NR=1 http: //www. youtube. com/watch? v=Lv. Vuuaq. CC 7 A&feature=related

No regime laminar tem-se: Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5] [6] [5] Se obtém: Lei de Stokes Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos.

De forma análoga para os outros regimes tem-se: Regime laminar Regime de transição Regime turbulento sem oscilações Mas como saber o regime se Rep depende de vr?

Abordagens para o cálculo de vr: Método 1 Método 2

Método 1 As equações [5] e [6] podem ser utilizadas para calcular v. R por tentativa e erro. Processo de cálculo com laço de interação: Início Se propõe um valor de v. R [6] Comparar valores. Propor novo valor ou aceitar o valor de v. R calculado Gráfico v. R [5] O laço de interação continua até que o valor da velocidade calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta.

Método 2 Define-se o número adimensional de Arquimedes Cd Rep 2 Isola-se vr de [6] e substitui-se em [5]. Gráfico Cd Rep 2 versus Rep vr

fer Es ad e icid ida de ric fe Es

Exemplo: (1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de um grão de soja cujas características são: dp = 0, 006 m; p = 0, 98; p = 1190 kg/m 3 O fluido é ar a 20ºC: = 1, 2 kg/m 3 f μf = 1, 7. 10 -5 kg/m. s Método 1 Chute inicial vr (m/s) 2, 00 12, 40 13, 86 Cd (gráfico) 838, 55 0, 50 5199, 24 0, 40 5812, 93 0, 40 Velocidade relativa de 13, 86 m/s 12, 40 13, 86 dp= pf = uf = g = pp= 0, 006 m 1, 2 kg/m 3 1, 70 E-05 kg/m. s 9, 8 m/s 2 1190 kg/m 3

Gráfico do Coeficiente de Atrito Regime laminar Lei de Stokes 1000 Região camada quase laminar 100 Região camada turbulenta Re Cd (gráfico) 838, 55 0, 50 5199, 24 0, 40 5812, 93 0, 40 Região alta turbulência 10 1 0. 5 0. 1 1 10 102 103 104 Reynolds da Partícula 105 106 107

Método 2 1, 35. 10^7 vr=14, 3 m/s 6, 00. 103

(2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de diâmetro, em ar a 21 o. C e 100 k. Pa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de 1280 kg/m 3, que o ar tem uma viscosidade de 1, 8. 10 -5 N. s/m 2 e uma densidade de 1, 2 kg/m 3. Assuma regime laminar para iniciar os cálculos. Regime Laminar Regime Transição Para a partícula de 60 m: v. R = (60 10 -6)2 9, 8 (1280 – 1, 2) = 0, 139 m s-1 18 (1, 8 10 -5) Verificando o Re para a partícula de 60 m: Re = (60 10 -6) 0, 14 (1, 2) / (1, 8 10 -5) = 0, 556 (Transição) Recalculando para regime transição: v. R = 0, 303 m s-1 ; Re = 1, 212 (confirmado regime de transição).

Para a partícula de 10 m: v. R = (10 10 -6)2 9, 8 (1280 – 1, 2) = 0, 00387 m s-1 18 (1, 8 10 -5) Verificando o Re para a partícula de 10 m: Re = (10 10 -6) 0, 00387 (1, 2) / (1, 8 10 -5) = 0, 0026 (Laminar)