Suatu Matriks DETERMINAN SUATU MATRIKS hasil penjumlahan dari

DETERMINAN SUATU MATRIKS (hasil penjumlahan dari penggandaan suatu unsur yang tidak sebaris maupun tidak

Algoritma (silang) [Hanya berlaku pada matriks berdimensi 2 & 3] A 2 = |A|

A 3 = Alterlatif 1 + a 11 a 12 a 13 a 21

A 3 = Alterlatif 2 a 11 a 12 a 13 a 21 a

A 3 = Alterlatif 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a

CL D 01 - SL D 01 (algoritma) 1. Tentukan determinan matriks (2 x

Minor & kofaktor M 4 = m 11 m 12 m 13 m 14

Misal dari kotak-silang di atas/sebelumnya : Minor dari m 22 yaitu M 22 =

CL D 02 - SL D 02 (minor-kofaktor) 1. Tentukan determinan matriks (3 x

f 31 = (-1)3+1 2 -1 = -5 -1 -2 f 32 = (-1)3+2

JCL D 02 -2 : (minor-kofaktor) M = 2 -1 1 3 (4 x

Penyapuan (transformasi dasar) A BARIS M 0 B |M| TDasar L A J U

Masih ingat Transformasi Dasar ? baris Pengolahan pertukaran letak penjumlahan (thd st matriks) lajur

• Penjumlahan A E 3. 2(1) 2 1 3 4 Brs 3 :

• Penggandaan • Kali A E 3(2) 2 1 4 1 3 8

CL D 03 - SL D 03 (penyapuan) 1. Tentukan determinan matriks (3 x

JCL D 03 -1 A : (penyapuan baris) Pengolahan baris dengan atas 2 3

Pengolahan baris dengan 2 1 4 E 1. 3(4) 3 4 1 1 1

JCL D 03 -1 B : (penyapuan lajur) Pengolahan lajur dengan 2 3 1

Pengolahan lajur dengan 2 3 1 1 4 1 F 2. 3(-3) 4 1

2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut : M = JCL D 03

KASUS Data yang akan ditentukan determinannya berukuran (dimensi) besar sehingga sangat menyulitkan dalam pelaksanaannya

Kasus ini terutama dilakukan bila terdapat unsur-unsur yang merupakan matriks nol m 11 m

Olah matriks tsb menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah m 11 m

CL D 04 - SL D 04 (matriks sekatan) 1. Tentukan determinan matriks berikut

Slides: 34

Download presentation

Suatu Matriks

DETERMINAN SUATU MATRIKS (hasil penjumlahan dari penggandaan suatu unsur yang tidak sebaris maupun tidak selajur) Algoritma (silang) |D| = Minor & kofaktor Penyapuan (transformasi dasar)

Algoritma (silang) [Hanya berlaku pada matriks berdimensi 2 & 3] A 2 = |A| = - a 11 a 12 a 21 a 22 = + a 11 a 22 - a 12 a 21 +

A 3 = Alterlatif 1 + a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 – | A | = + (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 32 a 21) - (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 32 a 23)

A 3 = Alterlatif 2 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | A | = + (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32) - (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32)

A 3 = Alterlatif 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | A | = + (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32) - (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32)

CL D 01 - SL D 01 (algoritma) 1. Tentukan determinan matriks (2 x 2) berikut : B = -1 1 A= 1 2 5 -1 JCL D 01 -1 : A = 1 2 (2 x 2) 5 -1 1 -1 (algoritma) | A | = (1)(-1) – (2)(5) = (-1) – (10) = -11

B = -1 (2 x 2) -1 1 -1 | B | = (-1)(- 1) – (1)(-1) = (+1) – (-1) = 2 2. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : C= 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 D= 2 -1 1 1 -1

Minor & kofaktor M 4 = m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 Tentukan : * Minor untuk matriknya * Kofaktor dari matriksnya

Misal dari kotak-silang di atas/sebelumnya : Minor dari m 22 yaitu M 22 = Kofaktornya yaitu f 22 = (-1)2+2 M 22 Untuk menentukan determinannya “pilih 1 baris atau 1 lajur” Misal dipilih baris ke dua : |M| = m 21. f 21 + m 22. f 22 + m 23. f 23 + m 24. f 24

CL D 02 - SL D 02 (minor-kofaktor) 1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : M= JCL D 02 -1 : M = (3 x 3) 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 (minor-kofaktor) 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 |M| = m 31. f 31 + m 32. f 32 + m 33. f 33

f 31 = (-1)3+1 2 -1 = -5 -1 -2 f 32 = (-1)3+2 1 -1 = -3 5 -2 f 33 = (-1)3+3 1 2 5 -1 |M| = (11)(-5) + (4)(-3) + (-5)(-11) = (-55) + (-12) + (55) = -12 2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut : M= 2 -1 1 3 -1 1 1 -1 2 1 3 2 1 0 = -11

JCL D 02 -2 : (minor-kofaktor) M = 2 -1 1 3 (4 x 4) -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 |M| = m 21. f 21 + m 22. f 22 + m 23. f 23 + m 24. f 24 f 21 = (-1)2+1 -1 1 1 -1 2 1 3 = -12 f 22 = (-1)2+2 1 0 2 1 1 -1 3 1 f 23 = (-1)2+3 2 -1 1 1 3 2 3 = 10 f 24 = (-1)2+4 1 0 2 -1 1 = 9 1 1 -1 3 2 1 |M| = (-1)(-12) + (-1)(13) + (1)(10) + (2)(9) = (12) + (-13) + (10) + (18) = 27 3 = 13 1 0

Penyapuan (transformasi dasar) A BARIS M 0 B |M| TDasar L A J U R A 0 B

Masih ingat Transformasi Dasar ? baris Pengolahan pertukaran letak penjumlahan (thd st matriks) lajur penggandaan

x = 2 2 1 3 4 3 2 4 6 2 • Pertukaran letak A E 1. 2 1 3 4 2 1 2 2 4 6 A F 1. 2 1 2 2 3 1 4 4 2 6

• Penjumlahan A E 3. 2(1) 2 1 3 4 Brs 3 : 2 Brs 2 x 1 : 1 3 7 10 3 • Tambah A F 3. 2(1) Ljr 3 4 3 6 4 7 10 Ljr 2 x 1 2 1 3 1 3 7 4 3 7 2 4 10 6 4 10 + +

A E 3. 2(-1) 2 1 1 3 2 4 1 1 2 Brs 3 : 2 4 6 Brs 2 x (-1) : -1 -3 -4 1 1 2 • Kurang Ljr 3 2 A F 3. 2(-1) 1 1 1 3 1 2 4 2 Ljr 2 x (-1) 2 -1 1 4 -3 1 6 -4 2 + +

• Penggandaan • Kali A E 3(2) 2 1 4 1 3 8 8 12 2 4 12 2 1 1 1 3 4 1 3 2 1 2 3 2 4 3 2 1 3 4 4 A F 3(2) • Bagi A E 3(1/2) A F 3(1/2)

CL D 03 - SL D 03 (penyapuan) 1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : M 3 = 2 3 1 1 4 1 dengan : a. Pengolahan baris dengan segitiga atas b. Pengolahan baris dengan segitiga bawah c. Pengolahan lajur dengan segitiga atas d. Pengolahan lajur dengan segitiga bawah 4 1 0

JCL D 03 -1 A : (penyapuan baris) Pengolahan baris dengan atas 2 3 1 1 4 1 E 1. 2(-1) 4 1 0 E 1. 2(-2) E 3. 2(-4) -1 0 1 1 0 0 2 M 3 = 0 1 2 1 1 1 0 -3 -4 E 2. 1(1) 2 3 4 1 1 1 4 1 0 E 3. 1(3) -1 0 1 2 0 0 2 Det. M = (-1)(1)(2) = -2 0 1 2 1 1 1 0 0 2

Pengolahan baris dengan 2 1 4 E 1. 3(4) 3 4 1 1 1 0 E 1. 3(-3) 2 0 0 1 1 1 4 1 0 -10 0 4 1 1 1 4 1 0 E 3. 2(-1) bawah E 1. 2(-4) 2 0 0 1 1 1 3 1 -1 Det. M = (2)(1)(-1) = -2 E 2. 3(1) -14 -4 0 1 1 1 4 1 0 2 0 0 4 1 0 3 0 -1

JCL D 03 -1 B : (penyapuan lajur) Pengolahan lajur dengan 2 3 1 1 4 1 0 F 1. 2(-1) F 3. 2(-1) -2 0 4 4 1 1 0 0 -1 2 3 1 1 1 0 4 1 -1 F 1. 3(4) atas F 2. 3(1) 2 1 4 2 4 1 0 0 0 -1 Det. M = (2)(1)(-1) = -2 4 1 1 0 0 -1

Pengolahan lajur dengan 2 3 1 1 4 1 F 2. 3(-3) 4 1 0 F 3. 2(-1) -1 0 3 0 1 1 0 4 -1 2 1 4 3 1 1 0 1 -1 F 3. 1(1) bawah F 1. 2(-1) -1 3 1 0 3 1 -1 -1 0 0 0 1 0 3 4 2 Det. M = (-1)(1)(2) = -2

2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut : M = JCL D 03 -2 : (penyapuan) 2 -1 1 3 M = -1 1 1 -1 2 -1 1 3 3 2 1 0 -1 1 1 -1 2 1 3 2 1 0

2 -1 1 3 -1 1 1 -1 2 1 E 2. 4 2 2 1 0 3 2 1 0 E 2. 3(1) E 4. 3(-1) -1 1 3 1 2 -1 1 0 0 3 2 0 1 2 E 2. 3(-2) -1 1 3 0 0 3 1 -1 1 1 2 -1 2 0 1 0 -1 1 -1 4 1 -1 0 0 3 -3 1 3

2 0 1 0 -1 1 -1 4 1 -1 0 0 E 1. 2(-3) 0 0 1 0 3 -3 1 3 E 1. 3(-2) 0 -9 10 -1 4 -3 1 -1 1 0 0 3 0 0 1 0 E 1. 3 | M | = (1)(-9)(3) = 27 -3 -1 1 0 0 0 3 1 4 -3 -1 1 0 3 1 -1 4 -3 0 -9 10 0 0 3

KASUS Data yang akan ditentukan determinannya berukuran (dimensi) besar sehingga sangat menyulitkan dalam pelaksanaannya Upaya untuk mengatasinya dengan cara : a. menyekat matriks tsb menjadi 4 anak-matriks b. salah satu anak-matriksnya dijadikan matriks nol

Kasus ini terutama dilakukan bila terdapat unsur-unsur yang merupakan matriks nol m 11 m 21 m 31 m 41 m 51 m 12 m 22 m 32 m 42 m 52 m 13 m 23 m 33 m 43 m 53 dimana : * M 11 dan M 22 masing 2 berupa matriks segi m 14 m 24 m 34 m 44 m 54 m 15 m 25 m 35 m 45 m 55 * M 12 atau M 21 merupakan matriks nol M 2 = (mij)b = M 11 0 M 21 M 22 | M | = |M 11| |M 22|

Olah matriks tsb menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 0 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 0 0 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 0 0 0 m 44 M M 2 = M 11 0 M M 12 M 22 atas | M | = |M 11| |M 22| = (m 11)(m 22). (m 33)(m 44)

CL D 04 - SL D 04 (matriks sekatan) 1. Tentukan determinan matriks berikut dengan membentuk matriks sekatan : JCL D 04 -1 : M = 2 -1 1 3 -1 1 1 -1 2 1 3 2 1 0 M = 2 -1 1 -1 3 2 1 0

2 -1 1 3 E 1. 3(1) E 4. 3(-1) -1 1 1 -1 2 1 3 0 1 1 3 2 1 0 E 2. 3(1) E 4. 3(-1) 0 0 4 0 0 3 1 -1 1 0 3 -2 2 0 1 2 E 1. 4(-3) -1 1 3 0 0 3 1 -1 1 1 2 -1 0 0 1 1 0 -9 10 0 0 3 1 -1 1 0 3 -2

0 0 1 1 0 -9 10 0 0 3 1 -1 1 0 3 -2 | M | = |M 12| |M 21| = {(-27)-(0)} {(0)-(1)} = -27 -1 = 27 atau E 1. 3 E 2. 4 1 1 0 0 1 -1 1 0 3 -2 0 -9 10 0 0 3 | M | = |M 11| |M 22| = {(0)-(1) } {(-27)-(0)} = -1 -27 = 27