MATRIK DETERMINAN II Transpose Matrik Kebebasan Ketidak Bebasan

MATRIK & DETERMINAN II • Transpose Matrik • Kebebasan & Ketidak Bebasan. Linier • Invesi Matrik • Penyelesaian Persamaan Linier dgn Invesi Matrik TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO FIKA HASTRITA R, ST AHMAD SAHRU R, S. Kom

Transpose Matrik Transpose AT dari matrik m x n A = [ aik ] adalah matrik n x m yang diperoleh dari pertukaran baris dan kolom [AT] ik = [aik] = a 11 a 12. . a 1 n a 22. . a 2 n : : am 1 am 2. . amn Contoh : -4 0 -4 6 3 T = A= , maka A 6 1 0 1 2 3 2

Matrik Simetrik adalah matrik square A dimana akj = ajk untuk seluruh j dan k. atau dengan kata lain : AT = A A = 5 3 2 3 4 -3 2 -3 1 Adalah matrik simetrik 3 x 3

Matrik Skew-Simetrik adalah matrik square A dimana akj = - ajk untuk seluruh j dan k. atau dengan kata lain : AT = - A 5 -3 2 A = 3 4 5 Adalah matrik skew-2 -5 1 simetrik 3 x 3 Matrik A dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari matrik simetrik R dan matrik skew-simetrik S , dimana R = ½ (A + AT ) dan S = ½ (A – AT)

Contoh: A= 2 3 5 -1 Matrik berikut bukanlah matrik simetrik ataupun skew-simetrik. maka A dapat dituliskan dalam bentuk A=R+S 2 4 R = ½ (A + AT) = 4 -1 dan S = ½ (A - A T) = 0 -1 1 0

Sifat – sifat Transpose Matriks § ( A T )T = A § ( A + B ) T = AT + BT § ( A – B ) T = AT - BT § ( AB )T = BT AT

Kebebasan & Ketidak Bebasan Linier Misalkan terdapat vektor sejumlah m (dengan jumlah masing-masingkomponen sama), kombinasi linier vektor –vektor ini adalah dalam bentuk: c 1 v 1 + c 2 v 2 +. . + cm vm dengan c 1, c 2, . . cm dalam bentuk skalar

Untuk bentuk persamaan c 1 v 1 + c 2 v 2 +. . + cm vm = 0 (6) § Vektor v 1, v 2, . . vm dikatakan memiliki kebebasan linier jika semua nilai dari c 1, c 2, . . . cm adalah nol yaitu: c 1 v 1 + c 2 v 2 +. . + cm vm = 0 c 1 = c 2 =. . = cm = 0 § Jika dalam persamaan (6), tidak semua nilai c 1, c 2, . . . cm adalah nol, maka vektor v 1, v 2. . . . vm dikatakan memiliki ketidak bebasan linier, yaitu (setidaknya) satu dari vektor tersebut dianggap sebagai kombinasi linier dari yang lainnya.

Sebagai contoh, jika dalam persamaan (6), katakanlan c 1 tdk sama dgn 0, maka persamaan (6) dapat diselesaikan dengan v 1 = k 2 v 2 +. . + km vm dengan ki = - ci / c 1

Contoh: Tiga buah vektor 3 -6 21 0 42 -21 v 1 = , v 2 = , dan v 3 = 2 24 0 2 54 -15 Dikatakan memliki ketidak bebasan linier karena 6 v 1 – 1/2 v 2 – v 3 = 0 Namun, perlu dicatat bahwa v 1 dan v 2 memiliki kebebasan linier karena c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 Menyatakan bahwa c 2 = 0 (dari yang kedua) Dan kemudian c 1 = 0 (dari komponen yang lain)

INVERSI MATRIKS Syarat : Matriks square Inversi matriks n x n A = [aik] didenotasikan sebagai A-1 dan juga merupakan matriks n x n, sehingga ; A A-1 = A-1 A = I -) Jika A memiliki invers (invertible), maka A disebut sebagai matriks nonsingular. -) Jika A tidak memiliki invers, maka A disebut sebagai matriks singular.

Metode reduksi baris juga dapat digunakan untuk menentukan inversi dari suatu matriks terutama dengan menggunakan pendekatan Gauss-Jordan. Yang harus dilakukan adalah menjadikan dalam bentuk matriks [ A : I ] kemudian dilakukan operasi baris sehingga menjadi bentuk [ I : A-1 ]. Contoh : Hitunglah invers dari : A = 1 1 3 2 1 1 1 3 5

Bentuk augmented matriks : (A: I) = 1 1 3 : 1 0 0 2 1 1 : 0 1 3 5 : 0 0 1 Rangkaian opersi ini mengenolkan elemen 2 yang ada di kolom 1, baris 2 dan 3. R 2 – 2 R 1; R 3 – R 1; 1 1 3 : 1 0 0 0 -1 -5 : -2 1 0 0 2 2 : -1 0 1

Opersi ini menge-nol-kan kolom 2 baris 3. R 3 + 2 R 2; 1 1 3 : 1 0 0 0 -1 -5 : -2 1 0 0 0 -8 : -5 2 1 Selanjutnya adalah menge-nol-kan kolom-kolom diatas diagonal. Yaitu kolom 3 baris 1 dan 2 R 2 – 5/8 R 3; R 1 + 3/8 R 3; 1 1 0 : -7/8 0 -1 0 : 9/8 0 0 -8 : -5 3/4 3/8 -1/4 -5/8 2 1

Opersi ini menge-nol-kan kolom 2 baris 1. R 1 + R 2; 1 0 0 : 1/4 0 -1 0 : 9/8 0 0 -8 : -5 1/2 -1/4 -5/8 2 1 1/2 -1/4 5/8 Menjadikan 1 baris 2 kolom 2 dan baris 3 kolom 3 R 2 - R 2; R 3 - 1/8 R 3 1 0 0 : 1/4 0 1 0 : -9/8 0 0 1 : 5/8 -1/4 -1/8

A-1 = 1/4 1/2 -1/4 -9/8 1/4 5/8 -1/4 -1/8 Buktikan bahwa : A A-1 = I ? ?

Persamaan Sistem Linier dengan Inversi Matriks Jika A adalah matrik n x n yang invertible, maka untuk setiap matriks bn x 1 , sistem persamaan Ax = b mempunyai satu solusi, yaitu x = A -1 b. Contoh : x 1 + x 2 + 3 x 3 = 8 2 x 1 + x 2 + x 3 = 16 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 24

1 1 3 A= 2 1 1 1 3 5 x 1 x = x 2 x 3 8 b = 16 24 Dari contoh sebelumnya, A-1 = 1/4 1/2 -1/4 -9/8 1/4 5/8 -1/4 -1/8

Maka, x = A-1 b = 1/4 1/2 -1/4 -9/8 1/4 5/8 -1/4 -1/8 Jadi : x 1 = 4 x 2 = 10 x 3 = -2 8 16 24 4 = 10 -2

§ Sifat – sifat Inversi Matriks (a) A A-1 = I dan A-1 A = I (b) (AB) -1 = B-1 A-1 a 12 a 22 -a 12 -1 (c) Jika A = , maka A = 1/det a 22 -a 22 a 11 dimana det A = a 11 a 22 – a 12 a 21 (d) (AT)-1 = (A-1)T (e) (A-1)T AT =(A A-1)T = I

§ Jika A adalah matriks square dan invertible, maka A 0 = 1 An = AA. . . A A-n = Ar+s (Ar)s = Ars r, s = integer (A-1)-1 = A dan (An)-1 = (A-1)n (k. A)-1 = 1/k A-1

TUGAS § Buktikan SIfat – Sifat Inversi Matriks diatas!!!

Daftar Pustaka § Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 § Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta § Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta § Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear