ALJABAR LINIER DAN MATRIKS 1 ALJABAR LINIER MATRIKS

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS 1

ALJABAR LINIER & MATRIKS 1. 2. 3. 4. 5. 6. Matriks (1, 2, 3) Determinan (4) Matriks Invers (5) Sistem Persamaan Linier (6, 7, 8) Transformasi Linier (9, 10) Nilai Eigen dan Vektor Eigen (11, 12) 2

MATRIKS Pengertian dan Notasi Matriks Operasi-Operasi pada Matriks Transpose Matriks Jenis-Jenis Matriks Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks 3 10/29/2020 3

MATRIKS Matriks Ekuivalen Matriks Elementer Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks Rank Matriks Partisi Matriks 4 10/29/2020 4

Jenis-Jenis Matriks q Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n q Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0. 5 5

q Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : q Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama Contoh 6 6

q Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A q Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol q Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol 7 7

q Matriks simetris Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 2. 8 8

q Matriks Antisimetris Sebuah matriks dikatakan Antisimetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan negatif dari matriks A itu sendiri. Contoh : 9 9

q. Matriks Invers q JIka A dan B matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. q Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C. q Notasi matriks invers : A − 1 10 10

q Matriks Komutatif q Jika A dan B matriks - matriks persegi dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. q Contoh 11 11

q Matriks Idempoten, periodik, Nilpoten q Jika berlaku AA = A 2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. q Jika p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAA…A = Ap = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. q Jika Ar = 0, maka dikatakan A nilpoten dengan indeks r. 12 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 12

q Contoh 13 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 13

Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks q Transformai (operasi) pada baris atau kolom suatu matriks A 1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom. 14 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 14

2. Memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k, ditulis Ki(k)(A). 3. Menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A) dan menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis Kij(k)(A). 15 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 15

Matriks Ekuivalen q Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. q Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut EKUIVALEN BARIS, sedangkan q jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut EKUIVALEN KOLOM. 16 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 16

Matriks Elementer q Matriks Elementer adalah suatu matriks yang dihasilkan dari satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I. q Anxn disebut matriks elementer jika dengan sekali melakukan transformasi elementer terhadap suatu matriks identity I diperoleh Anxn. q Contoh 17 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 17

Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks q Ruang baris dari matriks Amn adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk oleh vektor-vektor baris dari A q Ruang kolom dari matriks Amn adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A 18 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 18

q Contoh : Amn q Ruang baris dari matriks Amn adalah q Ruang kolom dari matriks Amn adalah 19 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 19

Rank Matriks q Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon / eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer. q Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks. q Rank baris dari matriks A adalah banyaknya baris yang bukan baris nol dari matriks eselon/ eselon tereduksi. q Rank kolom dari matriks A adalah banyaknya kolom yang bukan kolom nol dari matriks eselon/ eselon tereduksi. q Jika Rank Baris = Rank Kolom, maka ditulis r(A) 20 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 20

Petunjuk menentukan Rank (Baris/Kolom) 1. Tentukan elemen Pivot (pada baris/kolom), untuk mempermudah pilih elemen 1 atau – 1 2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom/sebaris dengan pivot tersebut. 3. Pada baris /kolom yang tertinggal ( tanpa baris atau kolom yang terdapat pivot): 1. apabila tinggal dua baris /kolom yang tersisa maka tinggal diperiksa apakah baris/kolom tersebut kelipatan jika ya maka salah satu baris /kolom tersebut dapat dijadikan nol. jika tidak langkah selesai 2. apabila masih lebih dari dua baris/kolom lakukan lagi langkah 1 di atas sampai langkah 3. 1. 21 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 21

q Contoh q tentukan Rank dari matriks A q Dengan menentukan Rank Baris 1. Pilih Pivot pada baris satu kolom satu, yaitu elemen =1 2. Dengan transformasi elementer baris H 21(-2) (A); H 31(-1) (A); H 41(-1) (A) diperoleh matriks 22 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 22

23 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 23

24 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 24

25 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 25

Partisi Matriks q Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. q. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks. q. Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. q. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya. 26 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 26

q Contoh A 4 x 4 disekat dengan satu partisi horizontal menjadi A 1; 2 x 4 dan A 2; 2 x 4 27 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 27

q Contoh B 3 x 4 disekat dengan satu partisi vertikal menjadi B 1; 3 x 2 dan B 2; 3 x 2 28 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 28

Operasi transpose 29 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 29

Operasi penjumlahan dan pengurangan 30 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 30

Operasi perkalian 31 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 31

32 10/29/2020 destyrakhmawati@yahoo. com 32