Vekto R Vektor memiliki besaran dan arah Beberapa

Vekto. R

Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.

Penyajian Vektor • Vektor sbg pasangan bilangan – u = (a, b) • a : komponen mendatar, b : komponen vertikal • Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j – u = ai + bj • Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

Kesamaan Vektor • Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. – Misalkan u = (a, b) dan v = (c, d) – Jika u = v, maka • |u| = |v| • arah u = arah v • a=c dan b=d

a b Dua vektor sama, a = b a b Dua vektor arah sama, besaran beda a b Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda a b Dua Vektor besar dan arah berbeda

Sifat-Sifat Operasi Vektor • • Komutatif a + b = b + a Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1 u = u 0 u = 0, m 0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Lanjutan. . • • • (mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0

Contoh Sifat Vektor: * Komutatif :

* Assosiatif :

Penjumlahan Vektor u v w=u+v v u w=u+v • Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang • Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

Pengurangan Vektor • Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v) • Dalam bentuk pasangan bilangan v u u w=u-v -v

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan v θ u+v u u-v v θ u

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan v α u+v β u u-v v β α u

Komponen vektor • merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat Komponen vektor :

Besar vektor : Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus : Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : Dalil sinus :

Vektor satuan: Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda :

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut : • Penjumlahan vektor dengan komponen

Vektor Ortogonal • Teorema – Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus • Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a • b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. • Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. • Untuk vektor bukan-nol – a • b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90 o = π/2

Perkalian vektor : • Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s. • Perkalian vektor dengan vektor : ØMenghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : Scalar product berlaku hukum komutatif Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

Ø Menghasilkan vector : Vector Product Dikenal sebagai : Cross Product Dengan besar c adalah : Besaran ditulis dan maksimum jika

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor dikenal sebagai hukum tangan kanan.

Penulisan dalam vektor satuan : Hasil akhir :

Latihan soal : • Dua buah vektor bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut. Jika besar vektor dua kali vektor dan , hitung ! Jawab :

• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : Dalil Sinus :

• Diketahui 3 buah vektor Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z jika. Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab : Sudut antara dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan arah sumbu z. Sudut antara diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.

• Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah: Sehingga diperoleh :