DETERMINAN Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo Pengertian Determinan Determinan

DETERMINAN Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo

Pengertian Determinan • Determinan : nilai yang diperoleh dari matriks bujur sangkar, nilainya bisa + (positif), 0 (nol), - (negatif) • Determinan dari matriks A dinyatakan dengan |A|

Perhitungan Determinan • Matriks 2 x 2 A= 4 5 5 2 1 • Matriks 3 x 3 A= 2 5 0 3 8 4 4 6 7 1 |A| = 4 5 5 2 1 = (4 x 1) – (2 x 5) = -6 2 5 0 2 5 |A| = 3 8 4 6 7 4 6 1 7 |A| = (2 x 8 x 1 + 5 x 4 x 6 + 0 x 3 x 7) – (6 x 8 x 0 + 7 x 4 x 2 + 1 x 3 x 5) |A| = 136 -71 |A| = 65

Penyelesaian Determinan (La Place) a 11 a 12 a 13 |A| = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |A| = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 M 11 - a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 M 12 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 M 13 Mij : minor dari unsur aij yang diperoleh dengan cara menutup baris ke i dan kolom ke j dari determinan |A|

Lanjutan cara La Place… Dalam notasi kofaktor menjadi : |A| = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 ………. Dimana: Aij = (-1)i+j Mij Penyelesaian dalam notasi minor : |A| = a 11 M 11 – a 12 M 12 + a 13 M 13 ……… Cara penyelesaian La Place berlaku untuk determinan berdimensi berapapun

Contoh Soal : 2 5 0 |A| = 3 8 4 4 6 7 1 8 4 3 4 |A| = 2 -5 7 1 6 1 + 0 |A| = 2 (-20) – 5 (-21) + 0 (-27) |A| = -40 + 105 + 0 |A| = 65 2 |A| = 3 6 7 5 0 2 8 4 3 7 1 4 1 0 3 4 3 8 6 7

2 3 6 7 5 0 2 Diketahui: 8 4 3 |A| = 7 1 4 1 0 3 4 Selesaikan dengan metode La Place ! |A| = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 |A| = a 11(-1)2 M 11 + a 12(-1)3 M 12 + a 13(-1)4 M 13 + a 14(-1)5 M 14 3 83 3 84 8 43 3 43 |A| = 2(1) 7 1 4 + 5(-1) 6 1 4 + 0(1) 6 7 4 + 2(-1) 6 7 1 1 0 4 1 0 34 1 34 |A| = 2(-113) – 5(-53) + 0 (-97) – 2(-101) = 241

Cara 2 (La Place) 5 0 2 8 4 3 Mengubah elemen a 23 = 4 dan 7 1 4 a 43 = 3 menjadi nol 1 0 3 4 Caranya : - semua elemen baris kedua dikurangi 4 x elemen baris ketiga - semua elemen baris keempat dikurangi 3 x elemen baris ketiga 2 |A| = 3 6 7 2 5 |A| = -21 -20 6 7 -17 -21 0 2 0 -13 = a 13 A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33 + a 43 A 43 1 4 0 0 -8 |A| = a 33. A 33 = 1. (-1)3+3. |M 33| |A| = 1. |M 33|

2 5 2 |A| = 1. -21 -20 -13 -17 -21 -8 |A| = 1. (320 + 1105 + 882 – 680 – 546 – 840) |A| = 1. 241 |A| = 241

• Cara CHI’OS 2 3 |A| = 6 7 5 8 7 1 4 |A| = 1 2(4 -2) 0 4 1 0 2 3 4 3 25 38 25 67 25 10 = 1 a 11(n-2) 20 34 20 61 20 13 1 1 = 4 (1)3 -2 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 31 a 32 a 11 a 12 a 41 a 42 22 33 22 = 64 22 14 1 8 -16 2 1 8 -5 6 a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 13 a 31 a 33 a 11 a 13 a 41 a 43 a 11 a 14 a 21 a 24 a 11 a 14 a 31 a 34 a 11 a 14 a 41 a 44 1 8 0 1 4 -16 2 -4 -5 6 6 1 0 -16 -4 1 0 -5 6 = 1 130 -4 = 241 4 46 6

Sifat-sifat Determinan 1. Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama. 2 2 2 |A| = 2 2 2 = 8 + 8 – 8 – 8 = 0 2 2. Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur-unsurnya sama 2 6 5 |A| = 1 8 4 = 80 + 48 + 30 – 80 – 30 – 48 = 0 2 6 5

3. Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur-unsurnya sebanding 2 6 5 |A| = 1 8 4 = 160+96+60– 160– 96 = 0 4 12 10 4. Nilai determinan adalah nol jika unsur-unsurnya pada salah satu baris atau kolom semuanya nol 2 6 5 |A| = 1 3 4 = 0 + 0 – 0 – 0 = 0 0 5. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur-unsur diagonalnya 2 0 0 |A| = 0 3 0 = 2. 3. 4 = 24 0 0 4

ADJOIN MATRIKS • Metode untuk menghitung invers matriks A |M 11| -|M 12| |M 13| A. A-1 = I Ak = -|M 21| |M 22| -|M 23| B. A-1 = 1. Ak. T |A| |M 31| -|M 32| |M 33| Contoh : Hitunglah invers matriks di bawah ini 43 - 13 14 2 3 1 83 33 38 |A| = 1 4 3 21 - 23 3 8 3 Ak = - 3 1 83 33 38 |A| = -10 23 31 - 21 14 43 13 -12 6 -4 Ak = -1 3 -7 5 -5 5

-12 6 -4 Ak = -1 3 -7 5 -5 5 Sehingga A-1 -12 -1 5 Ak. T = 6 3 -5 -4 -7 5 -12 -1 5 = 1. Ak. T = 1. 6 3 -5 |A| -10 -4 -7 5 1, 2 0, 1 -0, 5 -1 A = -0, 6 -0, 3 0, 5 0, 4 0, 7 -0, 5 Hasil kali A. A-1 = I 1, 2 0, 1 -0, 5 2 3 1 1 0 0 1 4 3 x -0, 6 -0, 3 0, 5 = 0 1 0 3 8 3 0 0 1 0, 4 0, 7 -0, 5