DETERMINAN Atau Contoh Tentukan determinan matriks Sifat sifat

DETERMINAN

◦ Atau - - - + Contoh : Tentukan determinan matriks + +

◦ Sifat – sifat Determinan ◦ Teorema ◦ Jika A matriks bujur sangkar maka: i) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det(A) = 0. ii) det(A)=det(AT) ◦ Teorema 2. 3 ◦ Jika A adalah suatu matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya, yaitu ◦ Latihan: ◦ Tentukan determinan dari matriks – matriks berikut ini:

◦ Teorema Misalkan A matriks nxn 1. Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari A dikalikan dengan suatu skalar α, maka det(B) = α. det(A). 2. Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika dua baris atau kolom dari A dipertukarkan maka det(B) = -det(A). 3. Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu panggandaan suatu baris A ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka det(B) = det(A). ◦ Contoh dari penggunaan teorema di atas: 1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan mengalikan satu baris A dengan k maka Det (B) = k Det (A) dan maka

2. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) sehingga 3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A) perhatikan OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah – 2 b 1 + b 2

◦ Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-sifat Determinan ◦ Tentukan determinan dari matriks berikut:

Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan Beberapa definisi yang perlu diketahui : ◦ Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : 10

◦ Cij dinamakan kofaktor - ij yaitu Cij = (-1)i+j Mij Contoh : sehingga C 12 = (-1)1+2 M 12 = (– 1)3. 2 = – 2 MA-1223 Aljabar Linear 11

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : ◦ Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai 1 Ci 1 + ai 2 Ci 2 +. . . + ain Cin ◦ Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C 1 j + a 2 j C 2 j +. . . + anj Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : 12

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A). 14