MATRIKS Powerpoint Templates Page 1 DAFTAR SLIDE Operasi

MATRIKS Powerpoint Templates Page 1

DAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks Inverse Matriks 2 Powerpoint Templates Page 2

DEFINISI MATRIKS Apakah yang dimaksud dengan Matriks ? kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. 3 Powerpoint Templates Page 3

NOTASI MATRIKS q Nama matriks menggunakan huruf besar q Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka q Digunakan kurung biasa atau kurung siku q Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. 4 Powerpoint Templates Page 4

NOTASI MATRIKS q Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n. Notasi A = (aij) q Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks Dengan i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n A= 5 Powerpoint Templates Page 5

MATRIKS q Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4 x 2 q Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. 6 Powerpoint Templates Page 6

NOTASI MATRIKS Kolom Baris Unsur Matriks berukuran m x n atau berorde m x n 7 Powerpoint Templates 7 Page 7

MATRIKS BARIS DAN KOLOM q Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris q Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 8 Powerpoint Templates Page 8

MATRIKS A = B q Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama. q aij = bij dimana - aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j q A=B dan q A≠B dan 9 Powerpoint Templates Page 9

PENJUMLAHAN MATRIKS q Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. q Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. dan 10 Powerpoint Templates Page 10

PENJUMLAHAN MATRIKS q Contoh Soal 11 Powerpoint Templates Page 11

PENGURANGAN MATRIKS q A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. q Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. dan 12 Powerpoint Templates Page 12

PENGURANGAN MATRIKS q Contoh : 13 Powerpoint Templates Page 13

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR q. Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks k. A=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. q. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. q[C]=k[A]=[A]k 14 Powerpoint Templates Page 14

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : k(B+C) = k. B + k. C k(B-C) = k. B-k. C (k 1+k 2)C = k 1 C + k 2 C (k 1 -k 2)C = k 1 C – k 2 C (k 1. k 2)C = k 1(k 2 C) 15 Powerpoint Templates Page 15

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Contoh : dengan k = 2, maka K(A+B) = 2 A+2 B TERBUKTI 16 Powerpoint Templates Page 16

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Contoh : dengan k 1 = 2 dan k 2 = 3, maka TERBUKTI (k 1+k 2)C = k 1. C + k 2. C 17 Powerpoint Templates Page 17

PERKALIAN MATRIKS q Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif. q Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. q Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana 18 Powerpoint Templates Page 18

PERKALIAN MATRIKS q Contoh : 19 Powerpoint Templates Page 19

PERKALIAN MATRIKS q Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A. A ; A³=A². A dan seterusnya q Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan) q Apabila AB = AC belum tentu B = C q Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0 q Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B+C) = AB+AC 3. (B+C)A = BA+CA 4. A(B-C)=AB-AC 5. (B-C)A = BA-CA 6. A(BC) = (AB)C= B(AC) 7. AI = IA = A 20 Powerpoint Templates Page 20

PERPANGKATAN MATRIKS Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A 2 = A A A 3 = A 2 A A 4 = A 3 A A 5 = A 4 A; dan seterusnya 21 Powerpoint Templates Page 21

PERPANGKATAN MATRIKS Tentukan hasil A² dan A³ 22 Powerpoint Templates Page 22

PERPANGKATAN MATRIKS Tentukan hasil 2 A² + 3 A³ 23 Powerpoint Templates Page 23

JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks bujursangkar berukuran n x n (persegi) adalah matriks yang q Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0. 24 Powerpoint Templates Page 24

JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : q Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama 25 Powerpoint Templates Page 25

JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A q Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol q Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol 26 Powerpoint Templates Page 26

DETERMINAN MATRIKS q Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan q Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. q Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular. 27 Powerpoint Templates Page 27

NOTASI DETERMINAN q Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar q Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) q Jumlah det(A) disebut determinan A q det(A) sering dinotasikan |A| 28 Powerpoint Templates Page 28

NOTASI DETERMINAN q Pada matriks 2 x 2 cara determinannya adalah : menghitung nilai q Contoh : 29 Powerpoint Templates Page 29

METODE SARRUS q Pada matriks 3 x 3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus q Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3 x 3 30 Powerpoint Templates Page 30

METODE SARRUS q Contoh : q Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus det(A) = (-2· 1 ·-1) + (2 · 3 · 2) + (-3 ·-1 · 0) – (-3 · 1 · 2) –(-2 · 3 · 0)-(2 ·-1) = 2 +12+0+6 -0 -2 = 18 31 Powerpoint Templates Page 31

MINOR q Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. q Dinotasikan dengan Mij q Contoh Minor dari elemen a₁₁ 32 Powerpoint Templates Page 32

MINOR q Minor-minor dari Matrik A (ordo 3 x 3) 33 Powerpoint Templates Page 33

KOFAKTOR MATRIKS q Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan q Contoh : Kofaktor dari elemen a 23 34 Powerpoint Templates Page 34

TEOREMA LAPLACE q Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya 35 Powerpoint Templates Page 35

TEOREMA LAPLACE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris q Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3 x 3 q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama |A| 36 Powerpoint Templates Page 36

TEOREMA LAPLACE q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua |A| q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga |A| 37 Powerpoint Templates Page 37

TEOREMA LAPLACE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom q Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3 x 3 q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A| 38 Powerpoint Templates Page 38

TEOREMA LAPLACE q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A| q Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga |A| 39 Powerpoint Templates Page 39

DET MATRIKS SEGITIGA q Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut q Contoh 40 Powerpoint Templates Page 40

TRANSPOSE MATRIKS q Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. q Contoh : matriks A : berordo 2 x 3 transposenya : 41 berordo 3 x 2 Powerpoint Templates Page 41

TRANSPOSE MATRIKS Beberapa Sifat Matriks Transpose : 42 Powerpoint Templates Page 42

TRANSPOSE MATRIKS Pembuktian aturan no 1 : TERBUKTI 43 Powerpoint Templates Page 43

TRANSPOSE MATRIKS Pembuktian aturan no 2 : TERBUKTI 44 Powerpoint Templates Page 44

MATRIKS SIMETRI Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 45 2. Powerpoint Templates Page 45

INVERS MATRIKS q Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I q AB = I q Notasi matriks invers : q Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan q Jika Maka 46 Powerpoint Templates Page 46

INVERS MATRIX q Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3 x 3 adalah : - Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus 47 Powerpoint Templates Page 47

INVERS MATRIX q Contoh Soal : - Cari Determinannya : det(M) = 1(0 -24)-2(0 -20)+3(0 -5) = 1 - Transpose matriks M 48 Powerpoint Templates Page 48

INVERS MATRIX - Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor matriksnya - Hasilnya : ==> 49 Powerpoint Templates ==> Page 49

INVERS MATRIX q Hasil Adjoinnya : q Hasil akhir 50 Powerpoint Templates Page 50

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) • Melakukan operasi perkalian dan pertukaran pada baris-baris di dalam matriks • Contoh: Baris 1 ditukar dengan baris 3 • 1. Oij(I) = Eij Baris 2 dikalikan -2 • 2. Oi(λ)(I) = Ei(λ≠ 0) • 3. Oij(λ)(I) = Eij(λ≠ 0) Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3 Powerpoint Templates Page 51

MATRIKS ELEMENTER • Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal (hanya melakukan operasi baris elementers sebanyak 1 kali) Powerpoint Templates Page 52

CONTOH MATRIKS ELEMENTER Powerpoint Templates Page 53

SIFAT MATRIKS ELEMENTER • Eij = I • Jika matriks A dikenakan operasi OBE padanya, ternyata nilainya sama dengan matriks elementer yang berkaitan dengan OBE tersebut dikalikan dengan matriks A • Oij(A) = Eij. A • Oi(λ)(A) = Ei(λ≠ 0). A • Oij(λ)(A) = Eij(λ≠ 0). A Powerpoint Templates Page 54

CONTOH • O 12(A) = E 12. A Powerpoint Templates Page 55

MENCARI -1 A • Cara I : menggunakan OBE • (A | I) OBE (I | A-1) Menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga Powerpoint Templates Page 56

MENCARI -1 A Menambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Mengalikan baris ketiga dengan -1 Menambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama Menambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama Powerpoint Templates Page 57

MENCARI -1 A Powerpoint Templates Page 58

SOAL • Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan OBE: Powerpoint Templates Page 59

REFERENSI 1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; Mc. Graw Hill; sixth edition; 2007 2. http: //p 4 tkmatematika. org/ 3. http: //www. idomaths. com/id/matriks. php 60 Powerpoint Templates Page 60