MATRIKS Disusun oleh Tri Rahajoeningroem MT DAFTAR SLIDE
- Slides: 36
MATRIKS Disusun oleh : Tri Rahajoeningroem, MT
DAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks Inverse Matriks
Definisi Matriks • Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). • Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. • Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut
Ordo Matriks A Ordo Matriks B Ordo Matriks C Ordo Matriks D : 3 X 2 : 1 X 4 : …….
Notasi Matriks • Matriks dinotasikan dengan huruf besar. • Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan aij untuk menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga A = [aij] • Contoh
Jenis-Jenis Matriks 1. 2. 3. 4. 5. Matriks Nol Matriks Satu Matriks Baris Matriks Kolom Matriks Persegi 6. Matriks Segitiga Atas 7. Matriks Segitiga Bawah 8. Matriks Diagonal 9. Matriks Identitas 10. Matriks Tranpose
JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks bujursangkar berukuran n x n (persegi) adalah matriks yang q Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0.
JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : q Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama
JENIS –JENIS MATRIKS q Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A q Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol q Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol
Operasi Pada Matriks • Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut Berlaku juga untuk Operasi Pengurangan pada Matriks
Soal dan Penyelesaian Jika Maka:
Operasi Pada Matriks • Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali c. A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c.
Operasi Pada Matriks • Perkalian Matriks dengan Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. (n = p) Amxn. Bnxq = Cmxq A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka C = [cij]mxq dengan
Soal dan Penyelesaian Jika Maka:
Soal dan Penyelesaian Tentukan AB jika: Jawab: Apakah AB = BA? ? ?
Matriks Transpose q Jika A adalah suatu matriks m x n, maka transpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. q Contoh : matriks A : berordo 2 x 3 transposenya : berordo 3 x 2
Matriks Transpose Beberapa Sifat Matriks Transpose :
Matriks Transpose Pembuktian aturan no 1 : TERBUKTI
Matriks Transpose Pembuktian aturan no 2 : TERBUKTI Buktikan aturan no. 3 dan no. 4 !
Matriks Simetri Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 2.
Latihan Soal
Latihan Soal 2. Diberikan matriks : Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)T c. ATBT b. BTAT d. BTC + A e. (BT + A)C
Determinan Matriks • JIka maka: • det(A)= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 23 – a 13 a 22 a 13 – a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 atau
Contoh Tentukan determinan matriks Jawab :
Determinan Matriks dengan Ekspansi Kofaktor Misalkan Beberapa definisi yang perlu diketahui : • Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh :
• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij Contoh : maka = (– 1)3 (2 – 0) =– 2
Rumus Determinan Matriks dengan Ekspansi Kofaktor • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai 1 Ci 1 + ai 2 Ci 2 +. . . + ain. Cin= • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j +. . . + anj Cnj =
Contoh Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
Invers Matriks q Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I q AB = I q Notasi matriks invers : q Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan q Jika Maka
Invers Matriks q Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3 x 3 adalah : - Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus
Invers Matriks q Contoh Soal : - Cari Determinannya : det(M) = 1(0 -24)-2(0 -20)+3(0 -5) = 1 - Transpose matriks M
Invers Matriks - Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor matriksnya - Hasilnya : ==>
Invers Matriks q Hasil Adjoinnya : q Hasil akhir
Latihan Soal 1. Tentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dan dengan cara hitung langsung lalu bandingkan hasilnya
Latihan Soal 2. Tentukan invers matriks dari masing-masing matriks di bawah ini
- All'automobile da corsa rime
- Vociani e crepuscolari
- Heel toe polka steps
- Teknik penulisan dan presentasi
- Struktur organisasi disusun oleh
- Makalah previewing and predicting
- Ekosistem disusun oleh
- Sistem gerak manusia disusun oleh organ
- Bahasa inggrisnya disusun oleh
- Jenis chord apa yang disusun oleh nada 135
- Disusun oleh kelompok
- Proposal rancangan kerja
- Naskah drama musikal disusun oleh
- Kalimat disusun oleh
- Contoh metode critical incident
- Nasapi
- Disusun oleh kelompok
- Disusun untuk memenuhi tugas
- Disusun oleh kelompok
- Bahasa inggris disusun oleh
- Disusun oleh kelompok
- Proses penyusunan nspk kearsipan
- Kata khusus
- Disusun oleh
- Disusun oleh kelompok
- Wisnu wijayanto
- Disusun oleh kelompok
- Gambar rangka kepala manusia
- Cara mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas
- Perkalian matriks 2x2 dengan 2x2
- Matrik pertumbuhan pangsa pasar
- X^2 + 25 factored
- Proses janaan eft
- Bagian awal karya ilmiah
- Contoh surat penunjukan penyelia halal
- Request pekerjaan konstruksi
- Daftar riwayat kelakuan