Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang

Determinan

Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2

Menghitung determinan Hitunglah determinan matriks berikut ini: A= Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10 B= Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0 C= Det(C) = tidak didefinisikan

Aturan Sarrus A 1 = + - Det(A 1) = (a 11. a 22) – (a 12. a 21) a 11 a 12 A 2 = a 21 a 22 - - Det(A 2) = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 – (a 13. a 22. a 31 + a 11. a 23. a 32 + a 12. a 21. a 33) - + a 31 a 32 + +

Aturan Sarrus (lanjt) Det(M) = 3. -2 – (1. 4) = -10 M = 3 2 K = 1 - - - 4 2 Det(K) = 3. 2. 5+2. 3. 4+2. 1. 4 - (2. 2. 4 + 3. 3. 4 + 2. 1. 5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0 4 + + + Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4 x 4, 5 x 5 dst?

MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥ 3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb : A= a 11 a 21 : ai 1 : an 1 a 12……. a 1 j ……a 1 n a 22 ……a 2 j……. a 2 n : : : ai 2 ……aij……. . ain : : : an 2……anj……. ann Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C 13 adalah (-1)i+j Mij= det a 11 a 21 : ai 1 : an 1 a 12……. a 1 j ……a 1 n a 22 ……a 2 j……. a 2 n : : : ai 2 ……aij……. . ain : : : an 2……anj……. ann Cij =(-1)i+j Mij

Definisi determinan matriks dengan kofaktor A= a 11 a 21 : ai 1 : an 1 a 12……. a 1 j ……a 1 n a 22 ……a 2 j……. a 2 n : : : ai 2 ……aij……. . ain : : : an 2……anj……. ann Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A. Cij=(-1)i+j. Mij Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah : Det(A) = =

Contoh: Minor dan kofaktor Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C 13 adalah (-1)i+j Mij A= M 13 = det a 21 a 22 a 31 a 32 C 13 = (-1)1+3 M 13 Cij = (-1)i+j. Mij

Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini: 3 1 4 + + 0 2 4 0 0 5 - + + - + M 11= Det 2 0 4 5 = 10 C 11= (-1)1+1 10 = 10 M 12= Det 1 0 4 5 =5 C 12= (-1)1+2 5 = -5 M 13= Det 1 2 4 4 = -4 C 13= (-1)1+3 -4 = -4 C 21= ? 0 C 22= ? 15 C 23= ? -12 C 31= ? 0 C 32= ? 0 C 33= ? 6

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom A= Det(A) = C 11 C 12 C 13 Det(A) = Ekspansi baris pertama Det(A) = Ekspansi baris kedua

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom A= Det(A) = ekspansi baris pertama = ekspansi baris kedua = ekspansi baris ketiga = ekspansi kolom pertama = ?

Contoh: 3 1 4 0 2 4 0 0 5 ada 9 (= 3 x 3) kofaktor C 11= 10 C 21= 0 C 31= 0 C 12= -5 C 22= 15 C 32= 0 C 13= -4 C 23= -12 C 33= 6 Determinan A dengan ekspansi baris ketiga: Det(A) = 4 x 0 + 5 x 6 = 30 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga: Det(A) = 5 x 6 = 30

Determinan matriks 4 x 4 dengan kofaktor A= M 34= det Ada berapa banyak kofaktor? Det(A) = C 34=(-1)3+4 M 34 Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4 ekspansi baris pertama = ekspansi ……… 8 Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor baris ke tiga

Menghitung determinan matriks 4 x 4 dengan kofaktor matriks 4 x 4 berikut: Ekspansi baris 1:

SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1 det(At) = det(A) Contoh : det(A) = 7 det(At) = 7 Sifat 2 Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka det(B) = - det(A)

Contoh Diberikan matriks maka det(A) = 6. Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.

Sifat 3 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil. real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(B) = k. det(A) Contoh: Diberikan matriks Jika dgn det(A) = 6 det(B) = 2 x det(A) = 2 x 6 = 12

Sifat 4 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil. real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka det(B) = det(A) Contoh : Diberikan matriks , det(A) = 12. Jika , maka det(B) = det(A) = 12

Sifat 5 Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol. Contoh Matriks determinannya = nol. Sifat 6 Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.

Sifat 7 Jika matriks A=[aij], 1 i n, 1 j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka det(A) = a 11. a 22. …. ann Contoh : Diberikan matriks det(A) = 1. (-2). 2 = -4 maka

Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan, maka det(AB) = det(A). det(B) Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka det(A-1) =

Determinan matriks sederhana Matriks diagonal a 11 0 A= : 0 0 … 0 a 22 … 0 : : 0 …aij… 0 : : 0… 0. . ann Matriks segitiga a 11 0 B= : 0 a 12…a 1 j …a 1 n a 22 …a 2 j…a 2 n : : : 0 …aij…. ain : : 0… 0. . ann Det(A) = a 11 a 22 a 33…ann Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a 11 a 22 a 33…ann. Det(B) = a 11 a 22 a 33…ann Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.

Determinan matriks dengan baris/kolom nol Matriks dengan baris / kolom nol A= a 11 a 21 : ai 1 : 0 a 12……. a 1 j ……a 1 n a 22 ……a 2 j……. a 2 n : : : ai 2 ……aij……. . ain : : : 0……. 0 B= a 11 a 21 : ai 1 : an 1 0……. a 1 j ……a 1 n 0……a 2 j……. a 2 n : : : 0……aij……. . ain : : : 0……anj……. ann Det(A) = 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol. Det(B) =0 Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?

Contoh : Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini: Det(D) =0 Det(B) =0 Det(K) =0 Det(M) =0

Determinan dan operasi baris elementer

Pengaruh tukar baris pada nilai determinan R 1 R 2 Det(A’) = 2 Det(A) = -2 R 1 R 3 Det(B) = 45 Det(B’) = -45 menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan semula. X X’ dengan tukar baris det(X’) = -det(X)

Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan R 2 10 R 2 Det(A’) = -20 Det(A) = -2 R 3 1/3 R 3 Det(B) = 45 Det(B’) = 15 = 1/3 det(B) satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks semula. X X’ dengan mengalikan baris dengan k det(X’) = kdet(X)

Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan R 2 + 2 R 1 Det(A’) = -2 Det(A) = -2 R 2 +1/3 R 3 Det(B) = 45 Det(B’) = 45 = det(B) Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah. X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain: det(X’) = det(X)

Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan Kesimpulan: menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan semula. satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks semula. Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.

Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE) A mempunyai inverse Bentuk ebt A A I Det(A) r kali tukar baris s kali perkalian baris dengan skalar (k 1, k 2, k 3, …, ks), Det(I) = 1 t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain Det(I) = (-1)r k 1 k 2 k 3 … ks det(A) 1 = (-1)r k 1 k 2 k 3 … ks det(A) Det(A) = (-1)r / (k 1 k 2 k 3 … ks) A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0

Menghitung determinan dengan operasi baris elementer Bentuk ebt A Mempunyai baris nol A TIDAK mempunyai inverse A r kali tukar baris Det(A) s kali perkalian baris dengan skalar (k 1, k 2, k 3, …, ks), 00… 0 Det(A’) = 0 t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain Det(A’) = (-1)r k 1 k 2 k 3 … ks det(A) 0 = (-1)r k 1 k 2 k 3 … ks det(A) A TIDAK mempunyai inverse Det(A) = 0

Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer B 2 = 0 4 0 0 0 1 1 0 0 R 2 R 3 0 4 0 1 0 0 1 R 1 R 2 1 0 0 0 4 0 0 0 1 R 2 ¼ * R 2 B 2 direduksi menjadi matriks identitas dengan 2 kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼ Det(B 2) = (-1) 2 1/( ¼ ) = (+1). 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4 1 0 0 0 1 I

Aplikasi determinan: Aturan Cramer Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan Linier

Penyajian SPL dengan persamaan matriks SPL a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +… + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +…+ a 2 nxn : = b 2 an 1 x 1 + an 2 x 2 + an 3 x 3 + …+ annxn = bn matriks koefisien A= a 11 a 12 a 13 … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n an 1 an 2 : an 3 … ann x= Ax = b x 1 b 1 x 2 b = : : xn bn

Aturan Cramer A= a 11 a 12 … a 1 j … a 1 n a 21 a 22 … a 2 j … a 2 n : an 1 an 2 … anj … ann A 1 = Det(Aj) = x 1 x= b 1 x 2 b = : xn b 2 : bn b 1 a 12 … a 1 j … a 1 n b 2 a 22 … a 2 j … a 2 n : bn an 2 … anj … ann a 11 a 12 … b 1 … a 1 n a 21 a 22 … b 2 … a 2 n : an 1 an 2 … bn … ann Penyelesaian SPL: xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n

Contoh: SPL A 1 1 2 2 -1 -1 2 SPL dalam persamaan matriks x y z = 1 1 -3 Det(A) = 10 1 1 2 A 1= 1 -1 -1 -3 -1 2 Det(A 1) = -10 A 2= 1 1 2 2 1 -1 1 -3 2 Det(A 2) = -20 X = det(A 1)/det(A) =-10/(-10) = 1 y = det(A 2)/det(A) =-20/(-10) = 2 z = det(A 3)/det(A) = 10/(-10) = -1 A 3= 1 1 1 2 -1 1 1 -1 -3 Det(A 3) = 10

Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan SPL: Ax = b Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan? Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.